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1、第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判定方法如果函数（二）在匚丁上单调增加（单调减少），那么它的图形是一条沿 X轴正向上升（下降） 的曲线这时曲线的各点处的切线斜率是非负的（是非正的），即.1（或】；）由此可见，函数的单调性与导数的符号有着密切的关系.反过来，能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？定理（函数单调性的判定法）设函数00在“力上连续,在内可导.如果在C-内：，那么函数； =/（） 在- 上单调增加；如果在（二:）内：；，那么函数V =在上单调减少.证明只证（1）（ 2）可类似证得）在：上任取两点 备舛伉） ，应用拉格朗日中值定理，得到C） .（a） ：f（-）（.）（
2、- ）.由于在上式中 - - ，因此，如果在 （词 内导数一“ 保持正号，即八二:小， 那么也有 .，于是从而，因此函数/ -1在,；上单调增加证毕例3-19判定函数.1 xi在上的单调性.解因为在；内1网一 0,所以由判定法可知函数-在丄上单调增加.例3-20讨论函数V = ；r 一了 一的单调性.解 由于1且函数的定义域为1）令二一，得二二，因为在一小 内0 2:-，所以函数：亠在I丨上单调减少；又在.：内1 -，所以函数二丁 一 了 -J在上单调增加.例3-21讨论函数J 的单调性.解：显然函数的定义域为（-丨：0,而函数的导数为 八議E）所以函数在 A = 0 处不可导.又因为二 0时
3、，.：0时，丫 ,所以函数在 0,+） 上单调增加说明：如果函数在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续，那么只要用方程代） 的根及导数不存在的点来划分函数/的定义区间,就能保证了（为在各个部分区间内保持固定的符号，因而函数/ I-J在每个部分区间上单调例3-22.确定函数二T二一、的单调区间解该函数的定义域为 （几）而 T二:,令厂，II,得-. - .-列表X(- ,1 1刀2+-+/函数f（x）在区间（刁丄和乂小内单调增加,在区间L2上单调减少例3-23讨论函数丁 V的单调性解函数的定义域为（:丨打） 函数的导数为一上厂，除x 0时，：蛊外，在其余各点处均有因此函数-在
4、区间 （上单调减少;因为当时， ,所以函数在 0,+） 及 0,+） 上都是单调增加的从而在整个定义域（一 ：）内； - 是单调增加的其在x _ 0处曲线有一水平切线说明：一般地，如果在某区间内的有限个点处为零，在其余各点处均为正（或负）时，那么（J在 该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的,2丘3例3-24证明：当.时，丄证明：令.,则.：.-,又由于因为当；1时：厂I，因此_在L， 上单调增加,从而当3 时，m；n)-o,故十)-o,2-(3-) 0x,也就是二、函数的凹凸性与拐点定义3-6-1设一 L)在区间I上连续,如果对I上任意两点?!，恒有严+七)丿g)+他)八2丿2那么称那么称在
5、|上的上凸函数.函数的上凸下凸的性质叫做 函数的凸性 二、判定函数的凸性的充分条件定理 设：在 ；上连续,在(a, b)内具有一阶和二阶导数,那么(1) 若在 (J)内宀；-,则十)在必上是下凸的；若在(二：)内于工,则 4)在切上是上凸的.1+13证明 只证(1)(2)的证明类似).设C I 7-； hC-.)，记- j由拉格朗日中值公式，得血）-他他）炉心馆）生尹,工&純 他）-他）=悠）炉咖饨）号,用两式相加并应用拉格朗日中值公式得临）+/（矿2伦）廿卜馅）号寸如泞丸萄 了（珂）+/（辺）弋（珂+知即 _,所以：【；）在爲上的图形是凹的拐点：连续曲线 J上凸与下凸的分界点称为这曲线的 拐
6、点确定曲线的凹凸区间和拐点的步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求出在二阶导数（；）;（3）求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点；判断或列表判断，确定出曲线凹凸区间和拐点；注:根据具体情况（1 ）、（ 3）步有时省略例3-34判断曲线；一 的凸性.解：因为.令得；-II,当：.0时，,所以曲线在（内为上凸的；当/0时j -,所以曲线在 0,+） 内为下凸的.例3-35求曲线= 一 亠的拐点及凸性区间.解: （1）函数的定义域为（心巧;、 ！，_=心）解方程，（4）列表判断：0)0 2/3)2/3(2/3, +说+00+1C11/272f显在区间拐点.是曲线的 和上曲线是下凸的，在区间上曲
7、线是上凸的.点(0丄)和 23-36问曲线J =:是否有拐点?当?：-0时,-,在区间(z：l)内曲线是下凸的,因此曲线无拐点例3-37求曲线一山 的拐点.解(1)函数的定义域为(丫)；一、一一 ，i1-.-；(3)函数无二阶导数为零的点，二阶导数不存在的点为.V 0判断：当4时；当；0时，.-:因此，点；:l二是曲线的拐点拉格朗日中值定理：如果函数f(x)在(a , b)上可导，a,b上连续，则必有一三 a,b使得f( 8*(b-a)=f(b)-f(a)示意图令f(x)为y，所以该公式可写成y=f(x+ Ox)* x (0 01)上式给出了自变量取得的有限增量x时，函数增量 y的准确表达式，因此本定理也叫有限增曰.Tffl 量定理。