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1、不等式,1.不等式的基本性质: 性质1: 对称性: 如果ab, 那么bb, 即ab bb, bc, 那么ac, 即ab, bc ac; 性质3: 可加性: 如果ab, 那么 a+cb+c;,性质4: 可乘性: 如果ab, c0, 那么acbc; 如果ab, cb, cd那么a+cb+d; 性质6: 同向均正可乘法: 如果ab0,cd0, 那么acbd; 性质7: 同正乘方法则: 如果ab0, 那么anbn(nN, n2); 性质8: 同正开方法则: 如果ab0, 那么 (nN, n2);,已知、满足试求+3的取值范围。,1+11+23,定理1 如果a，bR，那么a2+b22ab，当且仅当a=b
2、时，等号成立。,2. 定理2(基本不等式),均值不等式： 二元均值不等式：若a, b0, 则 ，当且仅当a=b时,等号成立；,三元均值不等式：若a, b, c0, 则 ，当且仅当a=b=c时, 等号成立;,时, 等号成立；,n元均值不等式：若a1, a2, an0, 则 ，当且仅当a1=an,1. 绝对值三角不等式: 定理1: 如果a, b是实数, 则|a+b|a|+|b|, 当且仅当ab0时, 等号成立. 定理2: 如果a, b, c是实数, 则|a-c|a-b|+|b-c|, 当且仅当(a-b)(b-c)0时,等号成立.,(1)当且仅当ab0时, 右边取等号;(2)当且仅当ab0时, 左边
3、取等号;,2. 涉及绝对值问题的一般研究方法: (1)绝对值运算性质; (2)绝对值三角不等式; (3)几何法; (4)向量法; (5)函数,推论: 如果a, b是实数, 则,1.比较法证明不等式,2.比较法关键：运算的恒等变形。,作差法作商法,1.综合法：由因导果(条件 结论)2.分析法：执果索因(结论 条件),放缩法 (1)一般从不等式的结构形式可观察出放缩的可能性。 (2)放缩时应放缩适度 (3)放缩的一般方法：,突破口,突破口,(3)放缩的一般方法：,n个常用的放缩结论：,分式结构: 对分子或分母适当放缩;根据需要适度舍掉(或引入)某些项,定理1：(二维形式的柯西不等式) 若a, b, c, d都是实数, 则(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2, 当且仅当ad=bc时, 等号成立。,定理2：(柯西不等式的向量形式),定理3：(二维形式的三角不等式)设x1, y1, x2, y2R, 那么,一般柯西不等式 设a1, a2, , an, b1, b2, , bn都是实数, 则(a12+a22+an2)(b12+b22+bn2)(a1b1+a2b2+anbn)2, 当且仅当bi=0或存在一个数k, 使得ai=kbi(i=1, 2, , n)时, 等号成立。,