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1、精品文档5.1平面向量的概念及线性运算1.向量的有关概念名称定义备注向量既有 _又有 _的量；向量的大平面向量是自由向量小叫做向量的 _(或称 _)零向量长度为 _的向量；其方向是任意的记作 _单位向量长度等于 _的向量非零向量 a 的单位向量为 a|a|平行向量方向 _或 _的非零向量共线向量_ 的非零向量又叫0 与任一向量 _或共线做共线向量相等向量长度 _且方向 _ 的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度 _且方向 _的向量0 的相反向量为 02.向量的线性运算向量运算定义法则 (或几何意义 )运算律(1) 交换律： a b求两个向量和的运_.(2) 结加法合律： (a b
2、) c算_.精品文档精品文档求 a 与 b 的相反向减法量 b 的和的运算叫做 a 与 b 的差求实数 与向量 a数乘的积的运算a b a ( b)_法则(1)|a| _；(2) 当 0 时，a 的方向与(a) _； (a 的方向 _；当 |b|，则 ab ；(2)若 |a| |b|，则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反；(3)若 |a| |b|，且 a 与 b 方向相同，则 a b；(4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；(5)若向量 a 与向量 b 平行，则向量 a 与 b 的方向相同或相反；(6)若向量 AB与向量 CD 是共线向量，则 A， B， C，D 四点在一
3、条直线上；(7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；(8)任一向量与它的相反向量不相等.题型二向量的线性运算例 2 在 ABC 中，D、E 分别为 BC、AC 边上的中点， G 为 BE 上一点，且 GB2GE， 设 AB a，AC b，试用 a， b 表示 AD， AG.探究提高(1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：观察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形；运用法则找关系；化简结果.精品文档精品文档在 ABC 中， E、 F 分别为 AC、
4、AB 的中点， BE 与 CF 相交于 G 点，设 AB a， AC b，试用 a， b 表示 AG.题型三平面向量的共线问题例 3设两个非零向量a 与 b 不共线，(1)若 AB a b，BC 2a 8b，CD 3(a b)，求证： A、B、 D 三点共线；(2)试确定实数k，使 ka b 和 a kb 共线 .探究提高(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量 a、b 共线是指存在不全为零的实数，使 a b 0 成立，若 a b121212 0，当且仅当 1 2时成立，则向量a、 b 不共线 .
5、0如图所示，ABC 中，在 AC 上取一点 N，11使得 ANAC，在 AB 上取一点 M，使得 AM AB，33在 BN 的延长线上取点 P，使得 NP1BN，在 CM 的延长2线上取点 Q，使得 MQ CM 时， AP QA，试确定 的值 .11.用方程思想解决平面向量的线性运算问题试题： (14 分 )如图所示，在1 ABO 中， OCOA，4 1OD OB， AD 与 BC 相交于点 M，设 OA a，2OB b.试用 a 和 b 表示向量 OM .审题视角(1) 用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去.(2)既然 OM 能用 a、b
6、 表示，那我们不妨设出OM ma nb.(3)利用共线定理建立方程，用方程的思想求解.规范解答解设OM manb，精品文档精品文档则 AM OM OA ma nb a(m 1)anb.1 1AD OD OA2OB OA a2b.3 分又A、M、D 三点共线， AM与AD共线 . 存在实数t，使得 AM tAD ，15 分即 (m 1)a nb t a b .2 (m 1)a nb ta1tb.2m 1 tt，消去 t 得， m 1 2n，n 2即 m 2n1.7 分11又 CM OM OC ma nb4a m 4 a nb，11CB OB OCb 4a 4a b.10 分又C、M、B 三点共线
7、， CM与CB共线 . 存在实数t1，使得 CM t1CB ，11 m 4 a nb t1 4a b ，m1 1t144，消去 t1 得，4m n 1.12分 n t 1131 3由 得 m 7， n7， OM 7a7b.14分 批阅笔记(1) 本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度 .(2) 学生的易错点是， 找不到问题的切入口， 亦即想不到利用待定系数法求解.(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时， 多数习题要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧.如本题学生易忽视 A、
8、M、D 共线和 B、 M、C 共线这个几何特征 .(4) 方程思想是解决本题的关键，要注意体会.精品文档精品文档方法与技巧1.将向量用其它向量(特别是基向量)线性表示，是十分重要的技能，也是向量坐标形式的基础 .2.可以运用向量共线证明线段平行或三点共线问题 .如ABCD 且 AB 与 CD 不共线，则 AB CD ；若 AB BC，则 A、B、 C 三点共线 .失误与防范1.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.2.在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误
9、.精品文档精品文档5.1平面向量的概念及线性运算(时间： 60 分钟 )A 组专项基础训练题组一、选择题1.给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； a 0 (为实数 )，则 必为零； ， 为实数，若ab，则 a 与 b 共线 .其中错误命题的个数为()A.1B.2C.3D.42.设 P 是 ABC 所在平面内的一点， ()BC BA 2BP，则0A. PA PBB.PC PA0C.PBPC 0D.PA PBPC 03.已知向量 a， b 不共线， c ka b (kR )， d a b.如果 c d，那么()A. k 1 且 c 与
10、d 同向B.k 1 且 c 与 d 反向C.k 1 且 c 与 d 同向D.k 1 且 c 与 d 反向二、填空题4.设 a、 b 是两个不共线向量，AB 2a pb， BC a b， CD a 2b，若 A、 B、 D 三点共线，则实数p 的值为 _.5.在平行四边形 ABCD 中， E 和 F 分别是边中 ， R，则 _.1 6.如图，在 ABC 中， AN 3NC， P 是 BNCD 和 BC 的中点，若 AC AE AF，其上的一点，2若 AP mABAC，则实数 m 的值为 _.11三、解答题精品文档精品文档7.如图，以向量 OA a， OB b 为边作 ?OADB ，1 1 BM
11、BC， CNCD ，用 a、 b 表示 OM、ON、33MN.18.若 a， b 是两个不共线的非零向量，a 与 b 起点相同，则当t 为何值时， a， tb，3(ab)三向量的终点在同一条直线上？B 组专项能力提升题组一、选择题 )1.已知 P 是 ABC 所在平面内的一点， 若 CB PAPB ，其中 R ，则点 P 一定在 (A. ABC 的内部B.AC 边所在直线上C.AB 边所在直线上D.BC 边所在直线上2.已知 ABC 和点0，若存在实数 M 满足 MA MBMCm 使得 AB AC mAM 成立，则 m 等于()A.2B.3C.4D.53.O 是平面上一定点，A、B、 C 是平
12、面上不共线的三个点，动点P 满足： OP OA AB AC， 0， )，则 P 的轨迹一定通过 ABC 的()|AB|AC|A. 外心B. 内心C.重心D. 垂心二、填空题4.已知向量a， b 是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使a、 b 共线的条件是_( 将正确的序号填在横线上). 2a3b 4e，且 a 2b 3e；存在相异实数 、 ，使 a b 0； xa yb 0(实数 x， y 满足 x y 0)； 若四边形 ABCD 是梯形，则 AB与CD 共线 .精品文档精品文档5.如图所示，在 ABC 中，点 O 是 BC 的中点 .过点 O 的直线分别交直线AB、 AC 于不同的两点 M
13、、 N，若 ABmAM， AC nAN，则m n 的值为 _.1 6.在 ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点， 若 AD 2DB，CD CA CB，则 _.37.已知直线 x y a 与圆 x2 y24交于 A、B 两点，且 |OA OB| |OA OB|，其中 O为坐标原点，则实数a 的值为 _.三、解答题8.已知点 G 是 ABO 的重心， M 是 AB 边的中点 . (1)求 GA GB GO；11(2)若 PQ 过 ABO 的重心 G，且 OA a，OB b，OP ma，OQ nb，求证：m n3.精品文档精品文档答案要点梳理1.大小 方向长度模零01 个单位相同相反方向相同或相
14、反平行 相等相同相等相反2.三角形平行四边形(1)b a(2)a (b c)三角形(1)|a|(2) 相同 相反0aaaab3.b a基础自测13.4.25.A1.OS 2.b a2题型分类 深度剖析例1变式训练1解(1)不正确，因为向量只讨论相等和不等，而不能比较大小.(2)不正确，因为向量模相等与向量的方向无关.(3)正确 .(4) 不正确， 因为规定零向量与任意向量平行 .(5) 不正确，因为两者中若有零向量，零向量的方向是任意的.(6) 不正确，因为与 CD 可以不共线即AB CD .(7)正确 .(8)不正确， 因为零向量可与CD共线，而 ABAB以与它的相反向量相等 .例 2 11
15、1b；解 AD(AB AC) a222 1 AG AB BG AB2 AB1 BC)2 AB)3BE3( BA3AB3(AC1111 3AB 3AC 3a 3b. 变式训练 2 解 AG AB BG AB BEAB 2(BA BC) 12 AB 2(AC AB) (1 )AB2AC (1 )a 2b.精品文档精品文档又 AG ACCG AC mCFm AC2(CA CB)mm (1 m)AC 2 AB 2 a(1 m)b，m1 22，解得 m 3，1 m 211 AG3a3b.例 3 (1)证明 AB a b， BC 2a 8b， CD 3(ab) ， BD BCCD 2a 8b 3(a b)
16、 2a8b 3a3b 5(ab) 5AB. AB、 BD 共线，又 它们有公共点B，A、B、D 三点共线 .(2)解 kab 与 akb 共线， 存在实数，使 ka b(a kb)，即 ka b akb. (k )a(k 1)b. a、 b 是不共线的两个非零向量， k k 10， k2 1 0. k 1.变式训练3课时规范训练A 组121.C2.B3.D4. 14 35.3 6.117.解 BA OA OB a b， 111 BM 6BA 6a 6b，精品文档精品文档15 OM OB BMa b.又 OD ab，661 1 1 ONOC CD OD OD3262 2 3OD 3(a b).2
17、21511b. MN ON OMa b6ab a33626152 2即 OM 6a 6b， ON 3a3b， 1 1MN 2a 6b.8.解1设 OA a， OBtb，OC (a b)，3 21b， AC OC OA3a3AB OB OA tb a.要使 A、 B、 C 三点共线，只需AC AB.21即 3a 3b tb a.223 ， 3， 有?113 t，t2.1 当 t2时，三向量终点在同一直线上.B 组1.B2.B3.B4.5.226.37. 28.(1)解GA GB 2GM，又 2GM GO， GA GB GO GO GO0.精品文档精品文档1(2)证明显然 OM 2(a b).因为 G 是 ABO 的重心，2 1所以 OG 3OM 3(a b).由 P、 G、 Q 三点共线，得PG GQ，所以，有且只有一个实数，使 PG GQ. 1而 PG OG OP 3(a b)ma11 3 m a 3b， 1GQ OQ OG nb 3(a b)1 1 3a n 3 b，1 1所以 3 m a 3b1 1 3a n 3 b .又因为 a、 b 不共线，1 13 m 3所以，1 13 n 3消去 ，整理得3mn mn，故 m1 1n 3.精品文档精品文档精品文档