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1、巧观察 ,妙解题观察是认识世界增长知识的主要途径，是智力 发展的基础。同时我们学习也需要观察。高斯靠观察 超于常人算出 1至 100的自然数的和。杨辉靠观察发 现了杨辉三角形。笛卡儿靠观察创立直角坐标系。下 面就如何运用观察法解题进行例述。一、观察数字，寻求突破 题目中的特殊数字，如整数、质数、奇数、偶数、 勾股数组等，经仔细观察，发现数字间的联系，找到 解题突破口。例 1 、求： 12+的和。分析：观察差式：k (k+1) (k+2) - (k-1) k (k+1) =3k (k+1)，我们分别用1、2、3、n代替上式 的k可得：1?2?3-0?1?2=3?1?22?3?4-1?2?3=3?
2、2?33?4?5-2?3?4=3?3?4 n(n+1)(n+2) -(n-1) n(n+1) =3?n?(n+1)上述各式相加得：n(n+1)(n+2)=3(12+)=3Sn所以：Sn=n (n+1) (n+2)。(解略)二、观察外型，联想知识观察一个命题的条件或结论，其外型与那些知识 相似，于是联想到有关知识。运用这些知识去解答问 题。例 2、 a、b 证明：分析 1：外型含有根式，联想到两边平方，得到证明 1证明 1：欲证原不等式成立，只要证1+a2+1+b2 20,则只要证明：(1+ab) 2(1+a2)(1+b2)即证：(a b) 20,这显然成立。分析 2：外型分子含有根式，且被开方
3、式常数项 相同，可否将分子有理化进行证明。证明 2：左边 =。三、观察结构，确定解法仔细观察题中式子的结构特点，联想有关数学知 识和方法，确定解题思路。例 3 、证明：分析：观察题设结构特点和是互为有理化因式。所以：？=2,故可设：=y，则=原式可化为：y2-4y+2=0，解得y=2 （ 2-舍去） 所以： 2-从而左边 =2+2-=4=右边（解略）。四、观察整体，全面审视纵观问题的整体，全方位进行审视，再注意局部 处理，容易发现问题的实质。例 4、已知， a、b、 c 且求证： a + b + c分析： 从题设整体分析得出， 而从结论整体分析得出（1+a） + （1+b） + （1+c）,联
4、想（A+B+C）（的证题的经验，本题即得证。 （解略）五、观察局部，各个击破 对一个数学问题的局部进行观察，有利于发现解 题信息，或把一个问题分成若干个部分，认真观察局 部情况，由局部的突破而使问题逐步得到解决。例5、在锐角 ABC中，求证：sinA+sinB+sinC cosA+cosB+cosCsinA?sinB?sinC cosA?cosB?cosC分析：不等式作整体处理有困难，考虑到 A 、B、 C 是锐角，有 A+B 900 ，00sin(900-B)=cosB0， 同理sinBcosC, sinCcosA。上面三个式子相加和相 乘即得所证。(解略)六、观察结论，联系条件 注意观察结
5、论与条件之间的联系， 寻求解题途径。 例 6 、已知，为锐角，并且 3， 求证：分析：结论中有a、2卩联系所给条件，设法把含 有B、2 a的三角函数式变为a、2 B的三角函数式， 再证明就容易了。(1)*( 2)得 tan。为锐角， 即 (解略)。七、观察全题，挖掘隐含 要搜寻每一个细节，不放过题中的每一个字，尽 可能地发掘隐含条件，最大限度地利用题目所提供的 信息。例 7、已知函数 f( x )对一切实数 x 都有 f( 2+x)=f (2-x),方程f (x) =0有4个互不相等的实数根， 这 4 个根的和等于( )。A、 2 B、 4 C、 6 D、 8分析：此题中函数f (x)没有具体
6、的表达式，f ( x) =0 的根无法具体地知道。 但条件 f( x+2) =f( 2-x) 隐含了 “函数f (x)的图像关于直线x=2对称”这一 性质，观察到这一点，就可推知：函数图像与轴的交 点也关于直线 x=2 对称，因此 4 根之和应为 8。所以 答案为 C。八、观察特值，探求解法 对问题的特殊情况，极端情况进行观察，往往可 以发现问题的一般性结论和解决问题的方法。例&两个数列an和bn，已知an、bn、an+1 成等差数列， bn、 an+1、 bn+1 成等比数列，当 a1=1， b1=2时，求an和bn的通项公式。分析：由已知我们可以得到 an+1=2bn-an,，先观 察=2
7、、3、4的特殊情况，可得b1=2, b3=8,若视2=， 便可猜想：，进一步猜出，然后用数学归纳法加以证明。九、观察规律，寻求思路 通过观察各元素之间的关系，发现它们的内在联 系，从事物的构成规律上来把握问题的实质，寻找到 解题思路，使问题获解。例 9、设 f( x) =，且 f1 ( x) =f( x)， fn+1 ( x)=ffn (x) , n=1, 2, 3,，试求 f2005( 2005)。分析：考察 fl (X)、f2 (x)、f3 (x),，看看有什么规律：fl (X)=, f2 (x) =, f3 (x) =x, f4 (x)=,得出 f3k+1 ( x)=， f3k+2( x)=， f3k( x)=x，有这一规律，f2005 ( 2005)= (解略)可见观察能找到解题的突破口，能使解题巧妙。同时那些新的思维，新的解法总是在变换了观察角度之后自然产生的。我们解数学问题也应观察问题的全貌，要学会细致入微，触及本质的观察，观察越深刻 问题越易于解决。