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1、2020年全国初中数学联赛（初三组）初赛试卷（考试时间：2020年3月4日下午3: 005: 00 ）班级：姓名： 成绩：题号一二三四五合计得分评卷人复核人考生注意：1、本试卷共五道大题，全卷满分140分;2、用圆珠笔、签字笔或钢笔作答；3、解题书写不要超出装订线；4、不能使用计算器。、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、已知实数a、b满足|a 3| |b 2|4aA、1B、2C、3D、52、如图，点D、E分别在ABC的边AB、AC上,BE、CD相交于点F,设四边形EADF、 BDF、BCF、CEF的面积分别为Si、S2、S3、S,，则S1S3与S2s4的大小关系为（A、SS3S2s4C、
2、S1S3S2S4ab,B、S1S3S2S4第2题图3、对于任意实数c, d,有序实数对（a, b）与（c, d）之间的运算a, b c, d acbdadbc .如果对于任意实数 m, n都有mn x, yn, m ,那么X, y 为（A、 （0, 1）B、（1, 0）C、 （-1, 0）D、（0,-1）4、如图，已知三个等圆。 。1、O。2、。3有公共点。，点A、B、C是这些圆的其他交点,则点OABC 的（）A、外心B、内心C、垂心D、重心2 5、已知关于x的方程x 24|x 2| k 。有四个根，则k的范围为（）A、 1 k 0B、 4 k 0C、0 k 1D、0 k 46、设在一个宽度为
3、 w的小巷内搭梯子，梯子的脚位于P点，小巷两边的墙体垂直于水平的地面。将梯子的顶端放于一堵墙的Q点时，Q离开地面的高度为 k,梯子的倾斜角为 45 ,将该梯子的顶端放于另一堵墙的 R点时，R离开地面的高度为 h,梯子的倾斜角为 75 ,则小巷的宽度 w等 于（）h kA、 hB、 kC、 JhkD、2二、填空题（本大题满分 28分，每小题7分）7、化简2 V3 &一后的值为.8、如果关于x的实系数一元二次方程x2 2 k 3x k2 3 0有两个实数根 、，那么22. 一.1 1的最小值是.9、设四位数abcd满足10d 3 1000a 100c 10d b,则这样的四位数有 个.10、如图，
4、MN是。的直径，MN2,点A在。O上,AMN 30 , B一为AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA PB的最小值为 .三、（本大题满分20分）22211、设头数 a, b, c满足：abc 0且 14 a b c a2b22bab ac23cbc的值。MN四、 （本大题满分25 分）12、已知抛物线y x2 2m 1x m 3与x轴相交于两点 A、B （点A在x轴的正半轴上，点 B 在 x 轴的负半轴上） ，与 y 轴交于点 C.（ 1）求m 的取值范围；（2）若|OA|:|OB | 3:1 ,在该抛物线对称轴右边图像上求一点P的坐标，使得 PCO BCO .五、（本大题满分25分）13、
5、如图，等腰三角形 ABC中，AB AC, D, E分别在AB, AC边上，且 AD AE . P在AB的延长线上，QR分别在线段 CE、DB上，且BP CQ DR ,连结直线 PQ与BC交于点L, QR与CD, BE分别交于点 M, N.求证:(1) PL LQ ； MQ NR配方得(3 a c)2(2a b)2 (3b 2c)2 0,(10 分)(15 分)(分)(5分)(10 分)(15 分)(分)2020年全国初中数学联赛初赛试卷（考试时间：2020年3月13日下午3: 005: 00）、选择题（本题满分 42分，每小题7分）1、C.2、C.3、D.4、C. 5、B.6、A.二、填空题（
6、本大题满分28分，每小题7分）7、氓.8、18.9、3.10、V2 .三、（本大题满分20分）11、解：由 14（a2 b2 c2） （a 2b 3c）2, 得 13a2 10b2 5c2 4ab 6ac 12bc 0, （5 分）即c3a,b 2a222代入a2b生得abacbc222222a2b3ca 8a 27aabacbc_ 2222a 3a 6a所以 3a c 0, 2a b 0, 3b 2c 0,36.11解法二：由 14(a2 b2 c2) (a 2b 3c)2,得 13a2 10b2 5c2 4ab 6ac 12bc 0, 22 3a 6b、 3a 6b 222(3a 6b)5
7、c2 ()c 2 13a2 10b2 4ab - 0,I 3a 6b、256214256 八5(c -)2a2b2 ab0,所以 5(c 3a6b)2 生(2a b)2 0,55由此得，c困6b 0, 2a b 0, 5解得 b 2a, c 3a.222代人a一在一丝得ab ac bc222222a 2b3ca8a 27 a36222 ,ab ac bc2a 3a 6a11四、(本大题满分25分)12、解：（1）由已知得，x2 2（m 1）x m 3 有两个不相同的实数解，所以 2（m 1） 4（m 3） 4m 12m 16 （2m 3） 30,可知m是任意实数. （5分）又因为点A在x轴的负
8、半轴上，点 B在x轴的正半轴上.所以方程，x2 2（m 1）x m 3 的两根一正一负，所以（m 3）v0,解得m 3.所以所求 m的取值范围是 m 3. （10分）(2)解法一：设点 A(a, 0), B(b, 0), a0, b0, b1).当 1vcw2 时，Z PCO90Z BCO.当 c 2 时，tan/ PCO 2c,3 ( c 2c 3)PCO /BCO 得 tan/PCO tan/BCO.即 3 ( c2c 2c 3)解得c 5.当x 时，y 12,此时点P的坐标为(5, 12).故抛物线对称轴右边图象上有一点P(5, 12),使得/ PCO /BCO.五、(本大题满分25分)
9、13、证明：(1)过P作PH平行于AC交直线BC于点H ,连结PH , BH。贝叱 PHB Z ACB Z ABC / PBH ,A所以 HP BP CQ。又/ HLP /CLQ, / PHL /QCL,所以 HLPA CLQ .所以PL LQ.（5分）（10 分）法二：过Q作QX / BC交AB于点X,所以/ AQX Z ACB Z ABC /AXQ,所以AX AQO（5分）故 BX CQ BP。又因为QX / LB,（10 分）所以PL LQ.(2)设直线QR交直线DE于点S,交直线BC于点T,则 DR DSRB BTCQ CTQE ES由 DR CQ,RBDS CT 所以一 一,BT ES即DSCTBTES又 D S DM CT CM BT BNES ENDM BN所以CM ENDM CMCMBN ENENAEU KLPC TCD BE oCM EN（20 分）CD BE 得 CM EN.DB, EB 中点 F, G,连结FG ,分别交 BE、CD、QR于U、V、K因为FR GQ,由(1)的结论知 RK QKo设BE与CD交于点O,则4 OUV为等腰三角形。由 CM EN 得 NU MV.由（ 1）的结论知NK MK 。所以 MQ NR。（25 分）