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1、第五节函数的极值与最大值最小值,一、函数的极值及其求法,二、最大值最小值问题,函数的极值,x1,x2,x3,x4,x5,函数的极大值与极小值统称为函数的极值, 使函数取得极值的点称为极值点.,一、函数的极值及其求法,对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或不存在的点.,函数的极值是函数的局部性质.,设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取得极值,那么f (x0)0.,驻点 使导数f (x)为零的点(方程f (x)0的实根)称为函数f(x)的驻点.,定理1(必要条件),考虑: 极值点是否一定是驻点？ 驻点是否一定是极值点？,考虑: 极值点不一定是驻点. 如y=|x|,x=0是极值点,但不可
2、导 驻点不一定是极值点.如y=x3,x=0是驻点,但不是极值点.,定理 2 (极值第一判别法),且在空心邻域,内有导数,点击图中任意处动画播放暂停,确定极值点和极值的步骤,(1)求出导数f (x); (2)求出f(x)的全部驻点和不可导点; (3)考察在每个驻点和不可导点的左右邻近f (x)的符号; (4)确定出函数的所有极值点和极值.,例1. 求函数,的极值 .,解:,1) 求导数,2) 求极值可疑点,令,得,令,得,3) 列表判别,是极大点，,其极大值为,是极小点，,其极小值为,定理3 (极值第二判别法),二阶导数 , 且,那么 在点 取极大值 ;,那么 在点 取极小值 .,证: (1),
3、存在,由第一判别法知,(2) 类似可证 .,例2 求函数f(x)(x21)31的极值,解,f (x)6x(x21)2,令f (x)0,求得驻点x11 x20 x31,f (x)6(x21)(5x21),因为f (0)60,所以f (x)在x0处取得极小值,极小值为f(0)0,因为f (1)f (1)0 所以用定理3无法判别,因为在1的左右邻域内f (x)0,所以f(x)在1处没有极值,同理 f(x)在1处也没有极值,试问,为何值时,还是极小.,解:,由题意应有,又,取得极大值为,求出该极值,并指出它是极大,例3,二、最大值与最小值问题,则其最值只能,在极值点或端点处达到 .,求函数最值的方法:
4、,若函数f(x)在闭区间a b上连续,(1)求出函数f(x)在(a b)内的驻点和不可导点 设这此点为x1 x2 xn; (2)计算函数值 f(a) f(x1) f(xn) f(b) ; (3)上述函数值中的最大者是函数f(x)在a b上的最大值 最小者是函数f(x)在a b上的最小值,特别:,当 在 内只有一个极值可疑点时,若在此点取极大(小) 值 , 则也是最大(大) 值 .,对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出.,例4. 求函数,在闭区间,上的最大值和最小值 .,解: 显然,且,故函数在,取最小值 0 ;,( k 为某一常数 ),例5. 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工
5、厂C 距 A 处20,AC AB ,要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条,已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5 ,为使货,D 点应如何选取?,解: 设,那么,令,得,又,所以 为唯一的,极小点 ,故 AD =15 km 时运费最省 .,总运费,物从B 运到工厂C 的运费最省,从而为最小点 ,问,Km ,公路,例6. 假设某工厂生产某产品x千件的成本是,售出该产品x件的收入是,解: 由题意，售出x千件产品的利润是,即,令,而在,得,发生局部,处达到最大利润，,又,故在,问是否存在一个能取得最大利润生产水平？若存在，找出这个水平.,解得,最大亏损.,清楚(视角 最大) ?,观察者的眼睛1
6、.8 m ,例7. 一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边高于,解: 设观察者与墙的距离为 x m ,那么,令,得驻点,根据问题的实际意义, 观察者最佳站位存在 ,唯一,驻点又,因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚 .,问观察者在距墙多远处看图才最,内容小结,1. 连续函数的极值,(1) 极值可疑点 :,使导数为0 或不存在的点,(2) 第一充分条件,过,由正变负,为极大值,过,由负变正,为极小值,(3) 第二充分条件,为极大值,为极小值,最值点应在极值点和边界点上找 ;,应用题可根据问题的实际意义判别 .,2. 连续函数的最值,思考与练习,1. 设,则在点 a 处( ).,的导数存在 ,取得极大值 ;,取得极小值;,的导数不存在.,B,2. 设,(A) 不可导 ;,(B) 可导, 且,(C) 取得极大值 ;,(D) 取得极小值 .,D,3. 设,是方程,的一个解,假设,且,(A) 取得极大值 ;,(B) 取得极小值 ;,(C) 在某邻域内单调增加 ;,(D) 在某邻域内单调减少 .,提示:,A,作业：p-162 习题3-5 1 (5), (9); 2 ; 4(3) 5 ; 10; 13; 15,