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1、:,1,1.8 数列的极限,一、概念的引入二、数列的概念三、数列的极限四、数列极限的性质,2,:,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,播放,刘徽,一、概念的引入,3,:,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,4,:,2、截丈问题：,“一尺之棰，日截其半，万世不竭”,5,:,二、数列的概念,例如,6,:,注意：,1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,2.数列是整标函数,7,:,2、有界数列,对数列 ，如果存在两个实数 ，使得 则称 为有界数列。其中 分别为数列 的一个下界与一个上界。否则称 为无界数列。(unboun
2、ded sequence of numbers）例如， 有界 无界,（bounded sequence of numbers）,8,:,3、单调数列(monotone sequence of numbers),假如 ，称 为单调增加数列；,假如 ，称 为单调减少数列。,单调增加数列和单调减少数列统称为单调数列。,例如，,单调减,单调增,9,:,4、子数列(subsequence of numbers),注意：,例如，,10,:,播放,三、数列的极限(limit),11,:,问题:,当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?,问题:,“无限接近意味着什么?如何用数学语言刻
3、划它.,通过上面演示实验的观察:,12,:,13,:,如果数列没有极限,就说数列是发散divergent的.,注意：,14,:,几何解释:,其中,15,:,数列极限的定义未给出求极限的方法.,例1,证,所以,注意：,16,:,例2,证,所以,结论:常数列的极限等于同一常数.,注:,用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 寻找N,但不必要求最小的N.,17,:,例3,证,18,:,例4,证,19,:,定理theorem) 1(有界性收敛的数列必定有界.,证,由定义,四、数列极限的性质,注:(1)有界性是数列收敛的必要而不充分条件.,(2)无界数列必定发散.,20,:,例5,证,由定义,区间长度为
4、1.,不可能同时位于长度为1的区间内.,21,:,定理2唯一性每个收敛的数列只有一个极限.,证,由定义,故收敛数列极限唯一.,22,:,定理3收敛数列的保号性）,假设,且,时, 有,证:,对 a 0 ,取,推论corollary):,若数列从某项起,(用反证法证明),23,:,定理4 收敛数列的任一子数列也收敛且极限相同,证,证毕,24,:,注：1、如果数列有两个子列收敛于不同的极限， 则该数列发散。,例如，,同时也说明了一个发散的数列也可能有收敛的子列。,25,:,26,:,五、小结,数列:研究其变化规律;,数列极限:极限思想、精确定义、几何意义;,收敛数列的性质:有界性、唯一性、保号性、子
5、数列的收敛性.,27,:,练 习 题,28,:,1、割圆术：,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,一、概念的引入,29,:,1、割圆术：,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,一、概念的引入,30,:,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,31,:,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,32,:,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆
6、术：,刘徽,一、概念的引入,33,:,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,34,:,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,35,:,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,36,:,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,37,:,三、数列的极限,38,:,三、数列的极限,39,:,三、数列的极限,40,:,三、数列的极限,41,:,三、数列的极限,42,:,三、数列的极限,43,:,三、数列的极限,44,:,三、数列的极限,45,:,三、数列的极限,46,:,三、数列的极限,47,:,三、数列的极限,48,:,三、数列的极限,49,:,三、数列的极限,