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1、223向量数乘运算及其几何意义 特点:首尾相接，首尾连 特点:共起点，指向对角复习1:向量的加法 如图， 已知向量a?和向量&作向量計E 复习2:向量的减法 如图，已知向量芝和向量&作向量壬龜 特点：共起点，连终点，方向指向被减数 讲授新课 忌考题1:已知向量5,如何作出 a + a + a 和一a) + (-a) + (-a)? OABCNMQP OC = OA + AB + BC = a+a+a ta： a + a+a = 3a 即：OC = 3a同理可得：PN = (-a)4-(-a)+(-a) = -3a 脛考题2:向童3a与向童5有什么关糸？向童-3a 与向童a有什么关糸 (1) 向
2、童3孑的方向与5的方向相同，向量3丘的长度是a 的 3得 9 即 |3a| = 3|a|. (2) 向童-3诙方向与E的方向相反，向童-3矗的长度是a 的 3偽即 |-3a| = 3|a|. 向量的数乘运算的定义: 实数兄与向量a的积是一确定的向量，记为加/, 其方向和长度规定如下： (1) |/la| = |2|a ; (2)当AO,Aa与三 的方向相同； 当的方向与匚的方向相反; 当 2 = 0, /la = 0. 根据定义，求作向量3(2和(6孑)(孑为 非零向量)，并进行比较。 向量的数乘运算满足如下运算律： 兄，“是实数， (1) 兄(“a) = (%/) ; (2) (兄 + ju
3、)a = Aa + jua; (3) l( + b) = Aa + Ab. 特别地：(一 A)6Z = 2(a) A(a A(a b b 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算 例例1：计算：计算： (1) (-3)x4： (2) 3(Q+ b) 2(a b) a T T T (3) (2a+3bc) (3Q2b+c)练习：计算： （1） 2（2： + 6b-3c） - 3（-3： + 4方-2c）; （2） 己矢 口 3（兀 + a） + 2（兀一2 ） 4（兀一ci + b） 0 求兀 解： 0）原式=4a + 2b 6c + 9a l2b + 6c （2） 3x + 3a + 2兀4
4、。 4兀 + 4。 4Z? = 0 x + 3ci 4Z? 0 x 3d + 4b 关于向量救乘的几点说朗 (1)向童数乘结系是一个与巳知向量共线 的向量； (2)卖数与向量不能进行加减运算， 女口： k + a Z-b C3J任意卖救与零向量的柬积仍为零向量;思考: (1) 若庁=加( H 6),则立置关系如何? blla (2) 若 a(a工6),则Z?=加/是否成立？ 成立 向量6与非零向量孑共线昨要条件是 有且只有一个实数儿使得b：ka 一 忌考:1)玄为什么要是非零向量？ 2) 6可以是零向量吗？ 对于任意一个三角形， 三角形的三条高的交点叫做垂心， 三角形的三条中线的交点所为重心，
5、 三角形的三条角平分线的交点叫内心, 三角形的三条中垂线的交点叫外心 例2如图：已知 A 判断讐：AE=AD+D AE/AC =3AB+3BC =3(AB+BC) =3AC 3AB, 例？:一迦二毎阿个丕共线的向量；已知 AB=a+b, BC=2a+8b, CD=3(ab),求证: A, 证朗： B, D三点共线。 J BD=BC+CD =(2a+8b)+3(a-b) =5a+5b =5(a+b) =5AB BD/AB又它们有公共占B, A, B, D三点共线 练习练习2 1、 课本90页第4题 2、 沒哥，E是两个不共线向量，己知 AB=2石 +叵，CB=e+3e2，若A, B, C三点共线
6、，求r的值. 例2如图，己知任意两个非零向量a a、 b b , , 试作亦=匸+万,OB,OB =匸+ 2万JOC JOC = = 例3女口图，平行四边 ABCDABCD两对角线 相交于点M,且AB AB = = a.AD a.AD = = b b9 9你能用 你能判断A、B B、 为什么？ a a、b b 表示C 條习 (1) 设a a是非零向量,几是非零实数，下列结论正确的 是(B ). _ _ 化2与一兄俞勺方向相反 C.兄二 B. 2与；I2注I勺方向相同 D.卜司=|丸|方 (2) 下列四个说法正确的个数有(C ). 对于实数n和向量aZ 恒有加Ca Ca b) = ma b) =
7、 ma ivi)ivi) 对于实数n、比和向量恒 n)a n)a = = ma ma nana 若力61 = mb(rnmb(rn e 7?人贝I有6/ = b b 若ma ma = = na(m nna(m n e R)R)y ya a 工 0,则有加=n; A1个 B.2个 C3个 D.4个 练习 (3)D是AABCAABC中3C边上一点，&BD=&BD=- -BC,BC,设AB = a,AC =b, AB = a,AC =b, 则：于(C) AA 4*(cZ?) B B g (b g (b _ _ a)a) / / C.丄(2匚+ &) Q.苛(2厅+ 7) B (： 3 。 (4)在平行四边形ABCD中,= AD = AN AN = = 3NC3NC M为BC的 中点，则 顾等于方+丄方 4 4 ra 一、 入纳定义及运算里 向量共线定理（CO） _ b = Aa 向量 厅共线 二. 定理的应用. L证明向量共线一 一 2证明 三点共线：AB=kBC总,B,C三点共线 3证明两直线平行： AB=kCD XR7/CD =直AB与