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1、2.5 二次函数与一元二次方程 第 2 课时 利用二次函数求方程的近似根 学习目标： 体会二次函数与方程之间的联系； 掌握用图象法求方程的近似根；理解二次函数图象与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及何时方程有两个不等的实根，两 个相等的实根和没有实根；理解一元二次方程的根就是二次函数 y=h( h 是实数)图象交点 的横坐标. 学习重点： 本节重点把握二次函数图象与 x 轴(或 y=h)交点的个数与一元二次方程的根的关系. 掌 握此点，关键是理解二次函数 y=ax + bx + c 图象与 x 轴交点，即 y=0,即 ax + bx + c=0,从 而转化为方程的根，再应
2、用根的判别式，求根公式判断，求解即可，二次函数图象与 x 轴的 交点是二次函数的一个重要内容，在其考查中也有重要的地位. 学习难点： 应用一元二次方程根的判别式，及求根公式，来对二次函数及其图象进行进一步的理 解.此点一定要结合二次函数的图象加以记忆. 学习过程： 一、实例讲解： 我们已经知道，竖直上抛物体的高度 h(m)与运动时间 t(s)的关系可用公式 h=-5t 2+V0t+h o 表示,其中 ho(m)是抛出时的高度,v o(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面 以 40m/s的速度竖直向上抛出起，小球的高度 h(m)与运动时间 t(s)的关系如图所示，那么 (1) .h 和 t 的
3、关系式是什么？ (2) .小球经过多少秒后落地 ？你有几种求解方法？与同伴进行交流 在同一坐标系中画出二次函数 y=x2+2x,y=x 2-2x+1,y=x 2-2x+2 的图象并回答下列问题： (1) .每个图象与 x 轴有几个交点？ (2) . 一元二次方程？ x2+2x=0,x 2-2x+1=0 有几个根？验证一下一元二次方程 x2-2x+2=0 有根 吗？ (3) .二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和 x 轴交点的坐标与一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根有什么 关系？ 三、例题： 【例 1】已知二次函数 y=kx2- 7x 7 的图象与 x 轴有两个交点，则 k 的取值范围
4、为 _ 2 【例 2】抛物线 y=ax + bx+ c 与 x 轴交于点 A ( 3, 0),对称轴为 x= 1，顶点 C 到 x 轴的 距离为 2，求此抛物线表达式. 【例 5】有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点： 甲：对称轴是直线 x=4; 乙：与 x 轴两个交点的横坐标都是整数； 丙：与 y 轴交点的纵坐标也是整数，且以这三点为顶点的三角形面积为 3. 请写出满足上述全部特点的一个二次函数表达式 _ . 四、随堂练习： 1.求下列二次函数的图象与 x 轴交点坐标，并作草图验证. (1) y=x2 2x; ( 2) y=x2 2x 3. 2 .你能利用 a、b、c 之间的
5、某种关系判断二次函数 y=ax2+ bx + c 的图象与 x 轴何时有两个 交点、一个交点，何时没有交点？ 五、课后练习： 1.抛物线 y=a (x 2) (x + 5)与 x 轴的交点坐标为 _ . 2已知抛物线的对称轴是 x= 1,它与 x 轴交点的距离等于 4，它在 y 轴上的截距是 6,则它的表达式为 _ . 3. _ 若 a 0, b0, c0, 0，那么抛物线 y=ax? + bx + c 经过 _ 象限. 2 4. _ 抛物线 y=x 2x + 3 的顶点坐标是 _ . 2 5. 若抛物线 y=2x ( m+ 3) x _ 7 的对称轴是 x=1，贝 U m= . 6. 抛物线
6、 y=2x + 8x + m 与 x 轴只有一个交点，则 m _ . 7. _ 已知抛物线 y=ax2 + bx+ c 的系数有 a b+ c=0,则这条抛物线经过点 _ &二次函数 y=kx2+ 3x 4 的图象与 x 轴有两个交点，则 k 的取值范围 _ _ 2 2 14 .已知二次函数 y=x 2kx + k + k 2 . (1) 当实数 k 为何值时，图象经过原点？ (2) 当实数 k 在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内? 2 15 .已知抛物线 y=mx+( 3- 2m) x+ m- 2 (0)与 x 轴有两个不同的交点. ( 1 )求 m 的取值范围； (2) 判断点 P
7、 (1, 1)是否在抛物线上； (3) 当 m=1 时，求抛物线的顶点 Q 及 P 点关于抛物线的对称轴对称的点 P的坐标, 并过 P、Q P 三点，画出抛物线草图. 抛物线 y=x2 2 - a x+ a2的顶点在直线 y=2 上，则 10 .抛物线 y=3x2 + 5x 与两坐标轴交点的个数为( A. 3 个 B . 2 个 9. a 的值C. 1 个 D.无 _ _ 2 11.如图 1 所示，函数 y=ax bx+ c 的图象过(一 1, 值是( ) 0), A. 3 B. 3 C. 2 12 .已知二次函数 y=ax2 + bx + c 的图象如图 2 所示, 则下列关系正确的是( b A. 0 v v 1 2a 13 .已知二次函数 交占 b b B . 0V区 v2 C . 1 v W v2 D 2a=1 y=x2 + mx+ m 2.求证：无论 m 取何实数，抛物线总与 x 轴有两个