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1、概率统计下页结束返回一、边缘分布函数的概念二、离散型随机变量的边缘分布列三、连续型随机变量的边缘分布概率密度四、随机变量的独立性3.2边缘分布下页概率统计下页结束返回一 、 边缘分布函数的概念设X，Y的联合分布函数Fx,y）那么X和Y的边缘分布函数FX(x),FY(y)分别为:下页概率统计下页结束返回二、离散型二维随机向量的边缘分布 1 p.1 p.2 p.j PY=yj p1. p2. pi. p11 p12 p1j p21 p22 p2j pi1 pi2 pij x1 x2 xi PX=xi y1 y2 yj XY (i = 1,2, ) (j =1,2, ) 如下页概率统计下页结束返回二
2、、离散型二维随机向量的边缘分布设(X,Y)的联合分布列为pij=PX=xi,Y=yj(i =1,2, ) (j = 1,2, ) 那么(X,Y)的边缘分布列为 FY(y) = F(+ ,y) =FX(x)=F(x,+)=(X,Y)的边缘分布函数为：即p1. p2. pi. pi.x1 x2 xi Xp.1 p.2 p.j p.jy1 y2 yj Y下页概率统计下页结束返回X345pi.Y的分布列为Y012p.jX的分布列为 Y X012pi300405p.j1例1.已知随机向量X，Y的分布如下表，求关于X 和Y 的边缘分布。下页概率统计下页结束返回三、二维连续型随机变量边缘概率密度函数设X，Y
3、的联合概率密度f(x,y)由于所以即的几何意义如右图.其值表示红曲边梯形的面积.下页概率统计下页结束返回三、二维连续型随机变量边缘概率密度函数即若X，Y的联合概率密度f(x,y)那么 例2.设X，Y服从区域 D：抛物线y=x2和直线y=x所围成的区域上的均匀分布，求X，Y的联合、边缘概率密度。下页概率统计下页结束返回解:由于D的面积为故X，Y联合概率密度为（X，Y边缘概率密度：当0 x1时当0y1时即即下页概率统计下页结束返回例3. 已知随机向量，的联合密度函数为求 X ,Y的边缘概率密度。解：当x0时, 当x 0时,即y=xo下页概率统计下页结束返回例3. 已知随机向量，的联合密度函数为求
4、X ,Y的边缘概率密度。解：当y0时,当y0时,即y=xo下页概率统计下页结束返回例4. 已知随机向量，的联合分布函数为求常数a，b，c；（联合密度函数 f(x,y)； （X ,Y的边缘分布函数；（4PX2。解：(1)由F(-,0)=0,F(0,-)=0F(+,+)=1得：解得(2) f(x,y)下页概率统计下页结束返回解得(2) f(x,y)(3) 例4. 已知随机向量，的联合分布函数为求常数a，b，c；（联合密度函数f(x,y)； （X ，Y的边缘分布函数；（4PX2。(4) PX2=1-FX(2)下页概率统计下页结束返回解： 令可见 X N1，12 ) ,Y N2，22 )例5.设X，Y
5、服从N1，12；2，22；），求边缘密度。下页概率统计下页结束返回例6.设X，Y概率密度为下列表达式，求其边缘密度。-x +, -y +解：同理，即XN0，1),YN0，1)但X,Y)不服从二维正态分布。下页概率统计下页结束返回(X,Y)联合分布（X，Y边缘分布普通F(x,y)=PXx,YyFX(x)=PXx,YFY(y)=PX,Yy离散型F(x,y)=PX=xi,Y=yj=pijpi .=PX= xi= p.j=PY= yj=连续型下页概率统计下页结束返回四、随机变量的独立性 1.定义设（X，Y），Fx，y），FXx），FYy）假设对所有的x，y有则称随机变量X与Y是相互独立的。2. 离散型
6、随机向量假设X，Y的所有可能取值为xi，yj）,（i，j=1，2，）那么X与Y相互独立的充分必要条件是对一切i，j=1,2,即有下页即概率统计下页结束返回例1知X，Y的边缘分布律，且X与Y相互独立，求X，Y的联合分布律。X 1 2pi 1/3 2/3 Y 1 2 3. p j 1/2 1/3 1/6解：由独立性p11=p1p1=1/6，p23=p2p3=2/18 1 2 31 1/6 1/9 1/182 2/6 2/9 2/18XY依次类推可得下页概率统计下页结束返回例2设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y的联合分布及关于X和Y的边缘分布中的部分数据，请补充下表： 1/24
7、1/43/41/121/31/23/81/4下页概率统计下页结束返回例3设随机变量X,Y)在矩形区域G=(x,y) | 0 x2, 0y2Y= 0PU=1, V =0=PXY,X2Y= PY2Y= 0PU=1, V =0=PXY,X2Y= PYX2Y=1/4PU=1, V =1=1-1/4-1/4=1/2(U,V)的联合分布与边缘分布为 0 1 pi .0 1/4 0 1/41 1/4 1/2 3/4UVp.j 1/2 1/2PU=0,V=1PU=0PV=1,U和V不独立。例3设随机变量X,Y)在矩形区域G=(x,y) | 0 x2, 0y1，上服求随机变量U和V的联合分布,并判断U和V是否独
8、立。从均匀分布，定义随机变量下页概率统计下页结束返回假设X，Y的联合密度函数f(x,y)处处连续，则X和Y相互独立的充分必要条件是f(x,y)=fX(x)fY(y)3. 连续型随机向量证明： 充分性 假设 f (x,y) = fX(x) fY (y)那么必要性若X、Y互相独立，则有Fx,y）=FX(x)FY(y)，故f(x,y)=fX(x)fY(y)即下页概率统计下页结束返回例4知X，Y的联合概率密度，试判断X，Y是否独立。解：由于由fX(x)fY(y)=f(x,y)知X与Y相互独立可见：联合分布边缘分布。独立下页概率统计下页结束返回例5一电子产品由两个部件构成，以X和Y分别表示两个部件的寿命单位：小时），已知X和Y的联合分布函数(1)问X和Y是否相互独立？(2)求两部件寿命都超过0.1小时的概率。解: (1) 由于 因此， 故X和Y相互独立。下页概率统计下页结束返回例6设随机变量和相互独立且均在，上均匀分布，求方程有实根的概率解：由于和均在,上均匀分布，所以由于和相互独立，所以要使方程有实根，须P有实根的=下页概率统计下页结束返回作业：73-74页10，14，15，18终了