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1、:,5.2 基本积分法,一、第一类换元法凑微分法）,二、第二类换元法变量代换法）,三、分部积分法,:,问题,解决方法,利用复合函数，设置中间变量.,过程,令,一、第一类换元法凑微分法）,:,在一般情况下：,由此可得换元法定理,:,第一类换元公式凑微分法）,说明,使用此公式的关键在于将,化为,观察重点不同，所得结论不同.,定理1,:,例1 求,解一）,解二）,解三）,:,例2 求,解,一般地,:,例3 求,解,:,例4 求,解,:,例5 求,解,:,例6 求,解,:,例7 求,解,:,例8 求,解,:,例9 求,原式,:,例10 求,解,:,例11 求,解,说明,当被积函数是三角函数相乘时，拆开
2、奇次项去凑微分.,:,例12 求,解,:,例13 求,解一）,（使用了三角函数恒等变形）,:,解二）,类似地可推出,:,解三）,类似地可推出,:,解,例14 设 求 .,令,:,例15 求,解,:,问题,解决方法,改变中间变量的设置方法.,过程,令,（应用“凑微分即可求出结果）,二、第二类换元法变量代换法）,:,证,设 为 的原函数,令,那么,:,第二类积分换元公式,:,例16 求,解,令,:,例17 求,解,令,:,例18 求,解,令,:,说明(1),以上几例所使用的均为三角代换.,三角代换的目的是化掉根式.,一般规律如下：当被积函数中含有,可令,可令,可令,:,说明(2),积分中为了化掉根
3、式除采用三角代换外还可用双曲代换.,也可以化掉根式,例,:,积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换或双曲代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.,说明(3),（三角代换很繁琐）,令,解,:,例20 求,解,令,:,说明(4),当分母的阶较高时, 可采用倒代换,令,解,:,例22 求,解,令,（分母的阶较高）,:,:,例23 求,解,令,:,:,基本积分表(补充),:,:,小 结,两类积分换元法：,（一凑微分,（二三角代换、倒代换、根式代换,基本积分表(2),:,思考题,求积分,:,思考题解答,:,练 习 题,:,:,:,:,练习题答案,:,:,:,问题,解决思路,利用两个函数乘积的求导法则
4、.,分部积分公式,三、分部积分法,:,例1 求积分,解一）,令,显然， 选择不当，积分更难进行.,解二）,令,:,例2 求积分,解,（再次使用分部积分法）,总结,若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函数为 , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数),:,例3 求积分,解,令,:,例4 求积分,解,总结,若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为 .,:,以下不同类型函数乘积的积分可用分部积分求出：,:,例5 求积分,解,典型技巧：,1. 还原法,:,例6 求积分,解,注意循环形式,有时候使用若干次分部积分可导出所求积分的方程式，然后解此方程求出积分。,:,例5 求,解,2. 递推公式:,:,例7 求积分,解,3. 多种积分方法结合使用,:,令,:,解,两边同时对 求导, 得,:,合理选择 ，正确使用分部积分公式,小结,:,思考题,在接连几次应用分部积分公式时， 应注意什么？,:,思考题解答,注意前后几次所选的 应为同类型函数.,例,第一次时若选,第二次时仍应选,:,练 习 题,:,:,练习题答案,:,