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二、定积分的分部积分法,第三节,不定积分,一、定积分的换元法,换元积分法,分部积分法,定积分,换元积分法,分部积分法,定积分的换元法及分部积分法,一、定积分的换元法,定理1. 设函数,单值函数,满足:,1),2) 在,上,证: 所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在 ,且它们的原函数也存在 .,是,的原函数 ,因此有,那么,那么,说明:,1) 当 , 即区间换为,定理 1 仍成立 .,2) 必须注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .,3) 换元公式也可反过来使用 , 即,或配元,配元不换限,:,例1. 计算,解:,令,:,又解例1 计算,解,:,解:,原式 =,例2. 计算,:,例3. 计算,解:,例4. 计算,解: 令,那么, 原式 =,且,例5. 计算,解: 令,那么, 原式 =,且,例6.,证:,(1) 假设,(2) 假设,偶倍奇零,例7与例10合并,二、定积分的分部积分法,定理2.,那么,证:,例8. 计算,解:,原式 =,:,解: 令,那么, 原式 =,且,例9. 计算,例10. 证明,证: 令,n 为偶数,n 为奇数,那么,令,那么,由此得递推公式,于是,而,故所证结论成立 .,内容小结,基本积分法,换元积分法,分部积分法,换元必换限配元不换限边积边代限,思考与练习,1.,提示: 令,那么,