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1、:,设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有,( 格林公式 ),函数,在 D 上具有连续一阶偏导数,或,一、 格林公式,(不要求单连通域),11.3 内容回顾,推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积,:,二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件,设D 是单连通域 ,在D 内具有,一阶连续偏导数,则对D 中任一分段光滑曲线 L,曲线积分,与路径无关的充要条件是：,函数,(要求是单连通域),2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;,1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;,当 常数时,常用格林公式计算,:,三、二元函数的全微分求积,定理
2、. 设D 是单连通域 ,在D 内,具有一阶连续偏导数,那么,函数,假设,则称u(x,y) 为P(x,y)dx+Q(x,y)dy的原函数 .,求u(x,y)的过程,叫做二元函数的全微分求积.,在 D 内是某一函数,的全微分的充要条件是：,证:,(必要性),设,那么,所以,:,证:,(充分性),因为,记,C.,B.,A.,同理可证,所以,:,另证:,(充分性),因为,故记,对x求导不方便 ,对y求导方便 , 且,所以,:,定理 设D 是单连通域 ,在D 内,具有一阶连续偏导数,(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有,(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分,(3),(4) 在 D 内每
3、一点都有,与路径无关, 只与起止点有关.,函数,则以下五个条件等价:,在 D 内是某一函数,的全微分,即,(5) 力,在D内是保守力,:,及动点,或,则原函数为,取定点,可用通过第二类曲线积分的方法求得 u (x ,y),二元函数的全微分求积,简单情况下提倡用凑微分的方法凑出 u(x,y),:,一、对面积的曲面积分的概念与性质,二、对面积的曲面积分的计算法,11.4对面积的曲面积分,第十一章,:,一、对面积的曲面积分的概念与性质,引例: 设曲面形构件具有连续面密度,类似求平面薄板质量的思想, 采用,可得,求质,“分割, 近似, 求(近似)和, (取)极限”,的方法,量 M.,其中, 表示 n
4、小块曲面的直径的,最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).,另外按微元法,所以,这就是我们下面要讲的,:,定义:,设 为光滑曲面,“乘积,都存在,的曲面积分,其中 f (x, y, z) 叫做被积,据此定义, 曲面形构件的质量为,曲面面积为,f (x, y, z) 是定义在 上的一,个有界函数,或第一类曲面积分.,若对 做任意分割和局部区域任意取点,则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积,函数, 叫做积分曲面.,的和式,极限”,:,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似(7+1).,（k 为常数),( 由 组成),( S为曲面 的面积),(5)若fg则,(中
5、值定理,其中 ),(f 在上连续).,:,性质8. ( 对称性的应用),若f(x,y,z)为关于x(或y,z)的连续奇函数,即,=0,请看P246 总习题十一 2,一卦限中的部分, 则有( ).,请看P181 总习题十 1,且关于面yoz(或xoz面,xoy面)对称,那么:,:,定理: 设有光滑曲面,f (x, y, z) 在 上连续,存在, 且有,二、对面积的曲面积分的计算法,则曲面积分,证明: (略),(在xoy面投影),实际是换元法:三换,:,说明:,1) 如果曲面方程为,2) 如果曲面方程为,:,例1. 计算曲面积分,其中是球面,被平面,截出的顶部.,解:,:,考虑:,假设 是球面,被
6、平行平面 z =h 截,出的上下两部分,那么,:,例2. 计算,其中 是由平面,坐标面所围成的四面体的表面.,解: 设,上的部分, 那么,与,原式 =,分别表示 在平面,:,例3.,设,计算,解: 锥面,与上半球面,交线为,为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xoy 面上的,投影域为,那么,(其他部分为零),:,:,例4. 求半径为R 的均匀半球壳 的质心坐标.,解: 设 的方程为,利用对称性可知质心的坐标,而,S在xoy面上的 投影,=,=,所以,则质心坐标为(0,0, ),:,例5. 计算,其中 是球面,利用对称性可知,解: 显然球心为,半径为,利用质心公式,:,内容小结,1. 定义:,2. 计算: 设,那么,(曲面的其他两种情况类似),注意利用对称性、形心公式,简化计算的技巧.,:,作业,P219 4(3); 5(2); 6(1), (3), (4); 8,:,思考与练习,P219 题1；3；4(1) ; 7,解答提示:,P219 题1.,P219 题3.,设,那么,:,P219 题4(1)., 在 xoy 面上的投影域为,这是 的面积 !,:,P220 题7.,如下图, 有,