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1、平移与旋转压轴题1.正方形ABCD中,点E、F分别是边AD、AB的中点,连接EF.1如图1,假设点G是边BC的中点,连接FG,那么EF与FG关系为：；2如图2,假设点P为BC延长线上一动点,连接FP,将线段FP以点F为旋转中央,逆时针 旋转90,得到线段FQ,连接EQ,请猜测EF、EQ、BP三者之间的数量关系,并证实你的结 论；3假设点P为CB延长线上一动点,根据2中的作法,在图3中补全图形,并直接写出EF、EQ、BP三者之间的数量关系：.DC2.在RtA ABC中,ZACB=90, ZA=30,点D是AB的中点,DE丄BC,垂足为点E,连接 CD.1如图1,DE与BC的数量关系是:2如图2,
2、假设P是线段CB上一动点点P不与点B、C重合,连接DP,将线段DP绕点 D逆时针旋转60.,得到线段DF,连接BF,请猜测DE、BF、BP三者之间的数量关系,并证 明你的结论；3假设点P是线段CB延长线上一动点,根据2中的作法,请在图3中补全图形,并直 接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系图2图33.如图1,在ZiABC中,ZA=36 , AB二AC, ZABC的平分线BE交AC于E备用團)(2)如图(2),过点E作EFBC交AB于F,将ZiAEF绕点A逆时针旋转角a (0 144 得到ZkAE F,连结 CE,BF,求证：CEf 二BF:(3)在(2)的旋转过程中是否存在CE AB?假设
3、存在,求出相应的旋转角a :假设不存在,请说明理由.4.在数学活动课中,小辉将边长为和3的两个正方形放置在直线1上,如图1,他连结AD、CF,经测量发现AD=CF1他将正方形ODEF绕0点逆时针旋转一定的角度,如图2,试判断AD与CF还相等吗？ 说明你的理由；2他将正方形ODEF绕0点逆时针旋转,使点E旋转至直线1上,如图3,请你求出CF 的长.5某校九年级学习小组在探究学习过程中,用两块完全相同的且含6(T角的直角三角板ABC 与AFE按如图(1)所示位置放置放置,现将RtAAEF绕A点按逆时针方向旋转角 (0 V a 90 ), 如图(2), AE与BC交于点M, AC与EF交于点N, B
4、C与EF交于点P.(1) 求证：AM二AN：(2) 当旋转角a二30时,四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由.6.如图,在RtAABC中,ZC=90,点P为AC边上的一点,将线段AP绕点A顺时针方向 旋转点P对应点P,当AP旋转至AP丄AB时,点B、P、P恰好在同一直线上,此时 作P E丄AC于点E相似当診应时,求线段AB的长.7三角函数.如图1,在平面直角坐标系中,己知AAOB是等边三角形,点A的坐标是0,4,点B在第一彖限,点P是x轴上的一个动点,连接AP,并把AAOP绕着点A按逆时针方 向旋转,使边A0与AB重合,得到ZiABD.是否存在点P,使NPD的而积等于%假设存在,请求
5、出符合条件的点P的坐标；假设不存在,请说明理由8.操作发现,将一副直角三角板如图摆放,能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30 角的直角三角板DEF的长直角边DE重合.问题解决将图中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30,点C落在BF上,AC与BD交于点0,连接CD,如图.(1) 求证：ZCD0是等腰三角形;(2) 假设DF二8,求AD的长.9.如图1, A ABC是等腰直角三角形,四边形ADEF是正方形,D、F分别在AB、AC边上, 此时BD二CF, BD丄CF成立.图1图31当正方形ADEF绕点A逆时针旋转0 0 0 有两张完全重合的矩形纸片,小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90.
6、后得到矩形AMEF 如图甲,连结BD、MF,假设此时他测得BD=8cm. ZADB=30试探究线段BD与线段MF的关系,并简要说明理由；小红同学用剪刀将ABCD与AMEF剪去,与小亮同学继续探究.他们将&BD绕点& 顺时针旋转得 ABiDi,A5交FM于点K 如图乙,设旋转角为606/! (E P-GP)= /2(BP-EQ)o3补图如下,F、EQ、BP三者之间的数量关系为:A2、解：1 DEh鼠 BC.2根据旋转的性质得到ZPDF=60, DP=DF,易得ZCDP=ZBDF,根据SAS可判断A DCP ADBF,那么 CP=BF,利用 CP=BC- BP, DE=BC 可得到 BF+BP=兰
7、匹DE；233补全图形如图,DE、BF、BP三者之间的数量关系为BFBP二迹3、解：(1)证实：AB二BC, ZA=36 , Z. ZABC=ZC=72. 又TBE 平分ZABC, ZABE二ZCBE二36.ZBEC二 180 - ZC - ZCBE=72.ZABE=ZA, ZBEC=ZCoAAE=BE, BE二BC.=BCo(2)证实：TAC二AB 且 EFBC, AAE=AF： 由旋转的性质可知：ZEZ AC=ZF; AB, AE =AF;,AB = AC在CAE和BAF中, ZFAB = ZErAC ,AF = AFCAE竺BAF o Z.CEz 二BF.3存在 CE AB由1可知AE二
8、BC,所以,在AAEF绕点A逆时针旋转过程中,E点经过的路径圆弧与 过点C且与AB平行的直线1交于M、N两点, 如图：当点E的像E与点M重合时,那么四边形ABCM为等腰梯形, A ZBAM=ZABC=72 ,又ZBAC二36. a 二ZCAM二36.当点E的像E,与点N重合时,由 AB:L 得,ZAMN=ZBAM=72 ,TAM二AN, A ZANM=ZAMN=72.A ZMAN=180 - 2X72 二36. a 二ZCAN二ZCAM+ZMAN二72 当旋转角为36或72时,CEZ #ABo4、解：(1) AD=CFo理由如下:在正方形 ABCO 和正方形 ODEF 中,TAO二CO, 0D
9、二OF, ZAOC二ZD0F二90 ,:.ZA0C+ZC0D二ZD0F+ZC0D,即 ZA0D=ZC0Fo 在ZAOD 和ZkCOF 中,TAO二CO, ZA0D二ZCOF, 0D二0F, A AAODACOF (SAS)oAAD=CFa(2)与(1)同理求出CF二AD,如图,连接DF交0E于G,那么DF丄0E, DG二0G二丄0E,2T正方形ODEF的边长为返,Z. 0E= 41 X忑二2.DG二咤OE冷X2二1.AG 二 AO+OG 二 3+1二4,在 Rtaadg 中,ad = Jag + dg=+1- = y/119:.CF二AD二 y/17 o 5、解：(1)证实：用两块完全相同的且
10、含60角的直角三角板ABC与AFE按如图(1) 所示位置放置放置,现将RtAAEF绕A点按逆时针方向旋转角a (0 V a 90 ), AAB=AF, ZBAM=ZFANoZFAN = ZBAM在ABM 和 AAFN 中,(AB = AFZB=ZFAAABMAAFN (ASA)oAM 二 AN.(2)当旋转角a =30时,四边形ABPF是菱形.理由如下:连接AP,V Z a =30 , A ZFAN=30 .ZFAB=120.V ZB=60 , AFBP A ZF=ZFPC=60.ZFPC二ZB二60 o ABFP四边形ABPF是平行四边形.TAB二AF, 平行四边形ABPF是菱形.6、解：(
11、1)证实：TAP是 AP 旋转得到,AAP=APZ./. ZAPPz 二ZAP P. V ZC=90 , APf 丄AB, A ZCBP+ZBPC=90 , ZABP+ZAP P二90.又 ZBPC=ZAPP/ (对顶角相等).ZCBP二ZABP.(2)证实：如图,过点P作PD丄AB于D,TZCBP二ZABP, ZC=90 , .CP=DPVPr E丄AC,ZEAPZ +ZAPr E二90.又 TZPAD+ZEAP二9(T ,AZPAD=ZAPr Eo在ZAPD 和 ZP AE 中,ZPAD=ZAPT ZADP = ZPEA = 90 ,AP = APCP(3) V=PE设 CP二34 PE二
12、2k,那么 AE二CP二3k, APf 二AP二3k+2k二5k. 2AAAPDAPr AE (AAS)o AAE=DPo AAE=CPo在 RtAAEP r 中,PE = J(5k),-(3k) =4k,V ZC=90 , P E丄AC, A ZCBP+ZBPC=90 , ZEP1 P+ZPr PE二90 V ZBPC=ZEPP/ (对顶角相等),ZCBP二ZP PE.又TZBAP =ZPf EP二90 , AAABPZ /3 , DH二一.22点D的坐标为-73,23存在.假设存在点P,在它的运动过程中,使AOPD的面枳等于-荷.设点P为t, 0,下面分三种情况讨论:当 t0 时,如答图
13、2, BD二0P二t, DG=t, ?.DH=2+to2 2VAOPD的面积等于巫,丄t2 +42X解得t严VH-2/33-V2l-2/33舍去.点R的坐标为亜尹0,当D在x轴上时,如答图3,根据锐角三角函数求出BD二0P二斗3,当VtW0 时,如答图 1, BD二0P二DG二VAOPD的面积等于迥,4点匕的坐标为-逅0,点P3的坐标为-JJ, 0o当tW 芈 时,如答图4,BDi,盼迟,DH 二一OPD的面积等于扣_2一孕卜孚解得严牟巫舍去.点P的坐标为-厲;2卡,o.综上所述,点P的坐标分别为匕炉-2羽,o、匕迺,0、P3 -a/3, 0、33g歼 0.38、解； 证实:由图知BC=DE,
14、 A ZBDC=ZBCDoV ZDEF=30 , .- ZBDC=ZBCD=75.V ZACB=45 , ZDOC二30 +45 =75.ZDOC二ZBDC.CD0 是等腰三角形.2作AG丄BC,垂足为点G, DH丄BF,垂足为点H,在 RtADHF 中,ZF二60., DF二8, ADH=4/3 , HF二4. 在 RtABDF 中,ZF二60., DF二8, ADB=8/3 , BF二 16. BC 二BD二 8 屁TAG丄BC, ZABO15.,二BG二AG二4 笛.AAG=DHoVAG/ZDH, J四边形AGHD为矩形. AD 二 GH 二 BF - BG - HF=16 4 馆-4=
15、12-43 o9、解：(1) BD=CF成立.理由如下:VAABC是等腰直角三角形,四边形ADEF是正方形, AB二AC, AD二AF, ZBAC=ZDAF=90.ZBAD=ZCAFo: ZBAD二ZBAC - ZDAC, ZCAF=ZDAF - ZDAC, 在ABAD 和ZXCAF 中,TAB二AC, ZBAD二ZCAF, BAD竺ACAF (SAS)o ABD=CFo(2)证实：VABADACAF (己证),A ZABM=ZGCMo又 I ZBMA=ZCMG, ABMAACMGo A ZBGC=ZBAC=90.BD丄CF.(3)过点F作FN丄AC于点N.在正方形ADEF中,AD二DEm oAAN=FN=AE=lo在等腰直角ZkABC中,AB=4,ACN=AC - AN=3, :.在 RtAFCN 中,在 RtAABM 中,oAAM=o CM=ACAM=4 .