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1、4.试写出图1所示单跨梁和矩形板结构的边界条件(10 分)(b)图 1全自由边 a解答:图1(a)的边界条件为:x 0,l,v 0, v A(EIv(EIvF),m) 0图1(b)的边界条件为:5.w0, w 0, x2 w0, w 0,-2x试用初参数法求图0, w 0,2hwb ,2yy2 w-2x0,3 w-3 y(23 wc-2-0x y2中的双跨粱的挠曲线方程式,己弹性文座的柔性系数为:A 3ET(20 分)F2A0 ,故该双跨梁的挠曲线方(1)解：选取图2所示坐标系，并将其化为单跨梁。由于 v00程为：MoX2 Nx3R(x l)32EI 6EI xl 6EI式中M。、N。、R1可
2、由x=l的边界条件 v(l)=0,和x=2l的边界条件 EIv (2l) 0及v（2l） AEIv （2l） F。由式（1）,可给出三个边界条件为:MoNolM0 2N0l Rl 0(2)解方程组式（2）,得M04 2M0 N1 3RlF)6N0R1竺F 11将以上初参数及支反力代入式（1）,得挠曲线方程式为:v(x)5F11EI 11EIx 1 33EI(x l)3（15分）用初参数法求图示梁的挠曲线方程，已知133EIq均布。EI ,L挠 曲 线 方2EI 6EI+口:仃:乎MJX = 0处的边界条件为:% = a 综= tzAf0 = - 3EI-Mx EIM口 弧工工 乂工3 11W
3、2BI 6EIX-/v = Q3v = AEIvX J处的边界条件：EIQ EIEI EI故有：一及 1A_3EI 2EI 6EI 24ET_ 屯片 , 3qi3,军4于是梁的挠曲线方程为:-20EI 40EI 120Z 24E?三、(20分)用能量法求解如图所示梁的静不定性。已知图中E为常数，柔性系数A l3/(12EI)，端部受集中弯矩 m作用，悬臂端的惯性矩是其余部分的2倍。/解：取挠曲线函数为窜=也,满足梁两端的位移边界条件，即x=0v(0)-0v(0)=0v(Z) # 0 v (Z)手 0x=3L/2时，22说明此挠曲线函数满足李兹法的要求，下面进行计算 (1)计算应变能。是弹性支座
4、的此梁的应变能包括两部分，一是梁本身的弯曲应变能 匕 ，二 应变能 / 。注意到梁是变断面的，故有3匕!班”心:十工产1万(27”乐=4的a气% = = 63、2 2A总的应变能为匕匕刈二HI(2)计算力函数。劣U = -Afif (/) = 3aml此梁的力函数为2(3)计算总位能nV-UlOEIi-3mal由普瞬2QEI故梁的挠曲线方程为z X 3携v(x) r20 EZ弹性支座处的挠度为v(Z)=20 EI,画出弯矩图四、(20)用位移法求解下图连续梁的静不定问题。已知:P ql l12 l23 l I12 I 23 I l/(6EI)解:设节点1、2、3的转角为% /鸟，由题意可知名=
5、 根据平衡条件有%之二材陞+%2=-&节点1 :a节点2：的十MJ十%十/)=Mvi hdlY其中：Pl qP4Efa 2EIaM -2EI 21 ,M zj fflM 32 -12,2EZ八 W n4 及2EIOr 斗ft将其代入整理，联立求解得：口-四114/ 912瓦.;故 ：/二桨二 0-1184时塌二一黑：二008，尸.23 =誓=-0.11叼/蛰76型二 0.066/弯矩图:025-ql20,118ql2四、（20分）用力法求解下图连续梁的静不定问题。已知：其中杆件EI为常数,分布力q 2P/L,集中弯矩m=PL画出弯矩图。解：本例的刚架为一次静不定结构，现将支座1处切开，加上未知
6、弯矩Mi,原来作用于节点1上的外力矩m可考虑在杆0-1上亦可考虑在杆1-2上，今 考虑在杆1-2上。于是得到两根单跨梁如上图所示。变形连续条件为节点1转角连续，利用单跨梁的弯曲要素表，这个条件给出3EI 24EI 前 16EI9=PL=-O_28PL解得:132弯矩图:0.75PL0.25PL100.E3PL6、用位移法计算下面刚架结构的杆端弯矩为了书写方便，将钢架的各节点分别命名为 0、1、2和3,如上 面右图所示。解：1、确定未知转角的数目本题0、1、2三个节点都可能发生转动，故有三个未知转角00、01、022 、计算各杆的固端弯矩解题时将以上三个节点作刚性固定。qL2M01 =4EI01
7、00+2EI016112LLqL212M0 =4EI01 L01+2EI01 L00M1 =0m2 =4EI1201+2EI1202LLM1 =0m1 =4EI1202+2EI12013、计算因转角引起的杆端弯矩M01 =-Mb =M3 =m3 = 4E113 QiMi =坐39i4、对节点0、1、2列出弯矩平衡方程式q, q qL 也上 q _qL2 4EI oi 2EI01对 o 下点：m)i+ M0i=彳2 + l0o + -l 0i= 0_ qL2 8E 八 4E ,- = i2 + 0o + -l- % - 0对“1”节点：M0 + M0 + M2+ M2 + M3 + M3 = 0
8、qL2+ 4EI01 2EI01 4E|122E|12 +受 0尸0=12 + - 01+-l-%+-l-01+-L_ 2 LqL2 4E = _ +.12 L32E00 + 01 +6ET-02 = 0对“2”节点:即:沪L02解得未知转角:4EI21 L12E L8ET4E020200-。06ET0091022EI21 L6EL91914E 91 = 032E一 01+罟 02= 091 = 0二 11qL3=864E=_ 3_216E二 qL3432E5、计算各杆的杆端弯矩M01 =M1 + M01qL2 4EI01 论 + T- 002EI01 + .qL2 8E+ -12L4E-00
9、 + L01-01qL2 8E 11qL3 4E qL3 立 + C 864E + C( - -216E.) 0.083+0.102-0.0185M。=环+qL2 12 +qL2 12 +qL2 4EI012EI01 八M0 = +-+ -： 01 + -： 0012 LL年一。1+半一。08E / qL3 、上 4E 11qL3-L- (- 216E)+864E=0.083+0.051-0.037=0.097qL212E / qL3、 6E qL3IM2 = IM2IM2 = -L-( - -216E-)+ T 432E=-0.056+0.0139 =-0.042qL212E / qL3 、
10、M3 = Mb + M3 = L (- 216E)=-0.056qL2M21 = MF+ M 1 = 专包 82 + 专区 01二 12E qL3 . 6EL 432E LM31 = M1 = 2EI13 01=L JL3_)L (- 216E)=-0.028qL2二、（16 分）图1所示结构，已知作用在杆中点的弯矩 M ,和EI ,l用初参数法求单跨梁的挠曲线方程。解:V= V0 +0X+23M 0XN0X3+2EI6EIII2M (X 0.5L)0.5L 2EI边界条件:X=0 处,V。M 0 =0;X=L处,V(i)V (i) =0由此解出:V24EIMX3X-6lEI+ 110.5LM
11、 (X 0.5L)22EI四（18分）如图4所示，用李兹法计算图中结构的挠曲线方程，计算时基函数取v(x) a(1 cos解：检验得，基函数满足边界条件梁应变能一 l 2 .V=0.5EI V 2dx04EIa2 4l3力函数U=2 2 Pa(1cos-2-) =3Pa3总位能4EIal324+3Pa 0 a3P2EIl33Pl3a 2EI所以3Pl3V(X)=翦F12 xcos)l用初参数法写出如右图示的单跨梁的挠曲线和边界条件， 不用求解。（6分）.（6 分）解:单跨梁的挠曲线方程为2M ox 0 0 -2EINx3 6EI2P（xl 2）3i 2 6EI；（2 分）左端边界条件:O，o
12、o EIMo （2 分）；右端边界条件:0 , Mi = 0 （2 分）.一块矩形板如右图所示，其弯曲刚度为D , ab。（合计5分）（1）试给出该板的边界条件；（2分）（2）试给出适宜求解该板的级数形式的 挠曲面函数；（2分）（3）试求出板中心点的挠度（用级数的 第一项即可）。（1分）4 .（合计5分）2解：（1）当* = 0, x=a 时：w 0, w 0 （1 分） x当丫 = 0, y=b 时：w 0, w 0 （1 分）； y（2）适宜求解该板的挠曲面函数；w（x, y）fm（y）sing（2 分）P= ql/2 。选取其它基本结构形式参照给分。由支座2处转角连续得Md M21 叫 t6EI 3EI 16（2） EIM2I3EIql324EI（3分）.用力法求解右图所示的连续梁，并定性画出弯矩图。乎 t 2）I | M | t t 1代其中，各杆长均为i,弯曲L上 小鱼/ 矣刚度均为 EI;P = q 1/2。（12 一一 -7分）5 .（12分）解：连续梁为二次超静定结构，有二个未知数（1 分）。选取力法 基本结构形式如图,由支座1处转角为零得（3分）Mil M2I工禺上3EI 6EI 16（2； EI整理上两式得2M1M14M 2 176 q12（1分）由此解得M1信靖房心M21116 7ql211112ql2（1分）弯矩图为（3分）