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1、精品文档精品文档一阶线性非齐次微分方程一、线性方程方程dydxP(x)y 二 Q(x)叫做一阶线性微分方程(由于它对于未知函数及其导数均为一次的)如果Q(x) = 0,那么方程称为齐次的；如果Q(x)不恒等于零,那么方程称为非齐次的.a)首先,我们讨论1式所对应的齐次方程P(x)y = 0dx2的通解问题.业=-P(x)dx别离变量得y两边积分得InyP(x)dx lncc J P(x)dx其次,我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程i的通解将1的通解中的常数c换成的未知函数u(x),即作变换-JP(x)dxy = u e两边乘以得 P(x)y = uP(x)eP(x)dx两边求导得 dx
2、代入方程i得ue-JP(x)dx = q(x)=Q(x)eJP(x)dxu = c Q(x)e P(x)dxdx于是得到非齐次线性方程i的通解y = e- P(x)dxQ(x)e P(x)dxdx 1将它写成两项之和y = c e P(x)dx e P(x)dx Q(x)e P(x)dxdx不难发现：第一项为哪一项对应的齐次线性方程2的通解；第二项是非齐次线性方程1的一个特解.由此得到一阶线性非齐次方程的通解之结构.非齐次通解=齐次通解+非齐次特解【例1】求方程dy 2ydx x 13二(x 1)2的通解2dxy = e x出解：y3c (x 1)2edxx 1 dx3二 eln(x 1)2
3、c (x 1)2 en(x 1)2dx1=(x 1)2 (x 1) 2dx 1=(x 1)2 c 2(x 1)2 由此例的求解可知,假设能确定一个方程为一阶线性非齐次方程,求解它只需 套用公式.二、贝努利方程方程dy P(x) y = Q(x) yn ( n - 0,1) dx叫做贝努利方程.当n = 0时,它是一阶线性非齐次微分方程dx p(x)y=Q(x)当n =1时,它是一阶线性齐次微分方程学P(x)-Q(x)厂 0 dx当n = , 1时,它是一阶非线性的微分方程,通过变量代换可化归为一阶线性微分方程.具体解法如下:dydxP(x) y = Q(x) yn_n ydydx1 nP(x) y1 二 Q(x)d(yi)dx1 nP(x) y1 n = Q(x)塑 )(1 - n)P(x) yn = (1 - n)Q(x) dx令y1n = z,方程化为关于z的一阶线性非齐次微分方程dz川dx (1-n)P(x) z=(A- n)Q(x)【例2】求贝努利dydxya(ln x)yx2的通解.丄dy 解：y2 dx1 a xyIn xd(y1) 1, dx(厂)=a Inxxd(yjdx-(y) =aln x xdxx dx1- -1dx1y 一 = e x c - a I n x eelnx c - a Inx lnxdxIn xx c - a dx x