1999考研数二真题及解析.doc

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1、精品文档 1999 年全国硕士研究生入学统一考试数二试题 、填空题( (本题共 5 5 小题，每小题 3 3 分，满分 1515 分。把答案填在题中横线上。 ) ) lx =e sin 2t (1)曲线 七 ，在点 o,i处的法线方程为 _ y =e cost 2 3 dy 设函数 y =y x 由方程In x - y；=x y - sinx确定，则 一 dx x 5 , dx = -6x 13 (5)微分方程y4y二e2x的通解为 _ 二、选择题( (本题共 5 5 小题，每小题 3 3 分，满分 1515 分。每小题给出得四个选项中，只有一个是 符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括

2、号内。 ) ) 1 -COSX c - ,x 0 设f(x) = f Vx ，其中g(x)是有界函数，则f (x)在x = o处() 2 x g(x), x 兰0 (A) 极限不存在 (B) 极限存在，但不连续 (C) 连续，但不可导 (D) 可导 5x sin tn si nx 1 设 (x )= ( -pdt,B(x)= (1+t$dt，则当 XT (A) 高阶无穷小 设f(x)是连续函数，F x是f (x)的原函数，则( ) (A) 当 当f (x)是奇函数时， F x必是偶函数 (B) 当 i f (x)是偶函数时， F x必是奇函数 (C) 当 i f (x)是周期函数时， F x必

3、是周期函数 (D) 当 当f (x)是单调增函数时， F x必是单调增函数 (B)低阶无穷小 (C)同阶但不等价的无穷小 (D)等价无穷小 1,1, 上的平均值为 ? 2 _ 精品文档 (4)对任意给定的； 0,1，总存在正整数 N，当n - N时，恒有Xn 精品文档 收敛于a的( ) ( (本题满分 5 5 分) ) 求 limn x0 xln 1 x -x 四、( (本题满分 6 6 分) ) :ar ct an 2 dx. x 五、( (本题满分 7 7 分) ) 六、( (本题满分 7 7 分) ) 为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口 见图，已知井深30m30m

4、,抓斗自重400N ,缆绳每米重50N ，抓斗抓 起的污泥重2000N，提升速度为3m/s,在提升过程中，污泥以 20N/S 的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重 力需作多少焦耳的功？(说明：1N 1m=1J;其中m, N,s, J分别表示 米，牛顿，秒，焦耳；抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不 计.) 七、( (本题满分 8 8 分) ) x3 已知函数y = 2，求 (x-1) (1) 函数的增减区间及极值； (2) 函数图形的凹凸区间及拐点 函数图形的渐近线. 八、( (本题满分 8 8 分) ) 设函数f x在闭区 间-1,1上具有三 阶连续导数，且f

5、-1 =0， f 1 =1， f 0=0，证明：在开区间 T,1内至少存在一点 ，使f = 3.(A) 充分条件但非必要条件 (C) 充分必要条件. (B) 必要条件但非充分条件 (D)既非充分条件又非必要条件 (A) 1. x-2 x-1 x-2 x-3 2x-2 2x-1 2x-2 2x-3 3x-3 3x-2 4x/ 3x5 4x 4x3 5x7 4x3 f x，则方程f x = 0的根的个数为( (C) 3. (D) 4. 计算 求初值问题 y x2 y2 yj dx - xdy 二 0(x 0) 的解. 为 (5)记行列式 (B) 2. 精品文档 九、( (本题满分 9 9 分) )

6、 设函数y x x _ 0二阶可导，且 y x 0 , y 0 = 1.过曲线y二y x上任意一点 P x, y作该曲线的切线及 x轴的垂线，上述两直线与 x轴所围成的三角形的面积记为 3， 区间0,x 上以y =y x为曲边的曲边梯形面积记为 S2，并设2S -S2恒为 1，求此曲线 十、( (本题满分 6 6 分) ) r n n 设f x是区间0, 上单调减少且非负的连续函数， an - 7 f k - f x dx i=1 n =1,2，川，证明数列：an /的极限存在. ( (本题满分 8 8 分) ) -1 1 ，矩阵X满足A*X =A+2X，其中A*是A的伴随矩阵, 1 十二、(

7、 (本题满分 5 5 分) ) 设向量组 =(1,1,1,3) , 02=(7,-3,5,1$，旳=(3,2,-1,p + 2,，也2,-6,10,pj (1) p为何值时，该向量组线性无关？并在此时将向量 X ： 4,1,6,10 T用1,2,；, 4 线性表出； (2) p为何值时，该向量组线性相关？并此时求出它的秩和一个极大线性无关组 广1 1 设矩阵A = 1 1 J -1 求矩阵X . 精品文档 1999 年全国硕士研究生入学统一考试数二试题解析精品文档 一、填空题 【答案】y 2x -1 =0 【详解】点 0,1对应t=0，则曲线在点 0,1的切线斜率为 dy t t dy dt

8、e cost -e si nt cost -s int dx dx et sin2t 2et cos2t sin2t 2cos2t dt 把t = 0代入得 少=丄，所以改点处法线斜率为 -2，故所求法线方程为 y 2x -仁0 . dx 2 【答案】1 【详解】y(x)是有方程ln x2 y = x3y sinx所确定，所以当x = 0时，y=1. 对方程In x2 y = x3y - sinx两边非别对 x求导，得 2x y 门 2 3 . 2 3x y x y cosx， x y 把x =0和y =1代入得y(0)=吐 dx 1 2 x3 【答案】 jn(x - 6x 13) 4arct

9、an C 【详解】通过变换，将积分转化为常见积分，即 . x _3 x2 -6x 13 2 x dx 二 x2 -6x 13 dx * 8 -6x 13dx 丄尘土卫丄十dx 2 x-6x 13 (x -3)2 4 =-l n(x2 2 =-l n(x2 2 d号) -6x 13) 4 (乞J)2 +1 2 x 3 6x 13) 4arctan C 精品文档 【详解】按照平均值的定义有【答案】 3 1 12 精品文档 I 1 y=C1ex C-x e2x,其中CjC?为任意常数 i 4丿 【分析】先求出对应齐次方程的通解，再求出原方程的一个特解 【详解】原方程对应齐次方程 y-4y=0的特征方

10、程为：24 = 0,解得=2,2 = -2， 故 y_4y =0的通解为 y1 =Gex C2e2x, 由于非齐次项为f (x) =e2x,因此原方程的特解可设为 Axe2x,代入原方程可求得 1 * 2x I 1 I 2 x A ，故所求通解为y = 丫1 y Ge I C2 x e 4 . 4 二、选择题 (1)【答案】(D ) 【详解】由于可导必连续，连续则极限必存在，可以从函数可导性入手 1 2 x 1cosx = |im.=0 一 !m _ _ U, X 2 X、X 从而，f (0)存在，且f (0) = 0，故正确选项为(D). 【答案】(C ) 【详解】当X 0有, 1 X2 .

11、 y 12 dx， 罷 1 2 J1 x2 22 作变换令 x 二 si nt，则 dx 二 costdt，所以 1 isin2tcost 2 3： - 2. y 2 dt sin tdt _3 1,1_s in2t 3-1 6 -1 1 一 1 1 J3 +1 NQ1)学盯刁边缈日於电匕sin巧厂 p 因为“佃1 fglim 卫 xT_ x_0 2 ，-x g(x) 二 lim x)0 - x 二 lim xg(x)二 0, x 0 2x (5)【答案】 二 lim - x 10 X ” X JT 精品文档 所以当x 0时x是x同阶但不等价的无穷小 【答案】(A ) 【详解】应用函数定义判定

12、函数的奇偶性、周期性和单调性 x f (x)的原函数F(x)可以表示为F(x) = J0 f (t)dt+C,于是 -x U -上 x F (-x) = 0 f (t)dt C f (-u)d -u C. 当f (x)为奇函数时，f(-u) - - f(u)，从而有 x x F(-x) f(u)du C f(t)dt C =F(x) 即F(x)为偶函数.故(A)为正确选项. (B) 、(C)、(D)可分别举反例如下： 2 1 3 f(x) =x是偶函数，但其原函数 F(x) x3 1不是奇函数，可排除(B)； 3 2 1 1 f(x)二cosx是周期函数，但其原函数 F(x) x si n2x

13、不是周期函数，可排除 2 4 (C) ； 1 2 f(x)=x在区间内是单调增函数，但其原函数F(x) x2在区间 2 内非单调增函数，可排除(D). 【答案】(C ) 【详解】 【方法 1 1】必要性”：数列极限的定义 对于任意给定的0，存在N1 0 ,使得当n N1 时恒有|焉-a|v% ” .由该定义可以直接推出题中所述，即必要性； 充分性”：对于任 lim 凶二 lim x 0 - (x) x 0 5xsinsin5x _ dt 5 J lim 冲 sinx _ x 争0 _ o (1 t)t dt (1 sin x)sinx cosx si n5x 二 5lim x 5x =5 1

14、lim (1 sinx)sinx limcos x sinx )0 x 0 精品文档 意给定的0，取；:二min , 1，这时厂(0,1) ，由已知，对于此；存在N 0, 13 3J 使得当n亠N时，恒有| xn -a卜：2 ；，现取N1 = N -1，于是有当n亠N N1时，恒精品文档 2 有|Xn -a| ! :： ；1.这证明了数列 总 收敛于a.故(C)是正确的 3 【方法 2 2】数列极限的精确定义是： 对于任意给定的；.0,总存在N . 0,使得当n . N时 |xn -a|：则称数列收敛于a 这里要抓住的关键是 ；要能够任意小，才能使 |Xna|任意小. 将本题的说法改成：对任意

15、V =2 ； (0,2) 0，总存在Nj 0，使得当 n _ N Ni时，有| Xn -a卜：2 ；-刁，则称数列 浪訂收敛于a . 由于d (0,2)可以任意小，所以|Xn - a|能够任意小.故两个说法是等价的 【答案】(B) 【详解】利用行列式性质，计算出行列式是几次多项式，即可作出判别 x-2 1 0 -1 x 2 1 0 0 2列-例 2x-2 1 0 -1 口2x-2 1 0 0 3列-例 4列 + 2列 3x-3 1 x _2 -2 - 3x3 1 x 2 -1 4列-例 - 4x -3 x -7 -3 4x -3 x 7 -6 1 (若代B,C均为n阶方阵，则 -6 =(x _

16、2) 1 _(2x _2) 1 _6(x_2) _(_1)(x_7) = (-x) (-5x 5) =5x (x -1) 故 f ( x)= x(5x- 5有两个根 洛=0,x2 h，故应选(B). 【详解】进行等价变化，然后应用洛必达法则, x-2 x -1 x-2 x-3 2x-2 2x-1 2x-2 2x-3 3x-3 3x-2 4x 5 3x5 4x 4x3 5x 7 4x3 f (x)= x-2 2x-2 1 x-2 1 x-7 【方法 1 1】 xT xln 1 x ?-x1 2 +tanx -+sin x)&1 +tanx + J1 + sinx) =lim X 0 (xln 1

17、 x -x2)( 1 tanx . 1 sin x) 精品文档 tan xsinx -x(ln (1 +x ) x)L2 一 女鸟 cosx 精品文档 tan x(1cosx) lim x )0 2x(ln 1 x -x) x(1cosx) 1 1 - cosx lim 2 x 0 ln 1 x -x x 卫 2x(ln 1 x -x) 1 1COSX lim 2 J0 In 1 x x 1 洛- lim 2 * x 0 (1 x)sin x -x 【方法 2 2】lim - 辛 jim tanx_sinx T xlnf1+x_x x(ln( 1+x)-x2 2 xln 1 x -x 精品文档

18、 由积分公式得 in(u1 u2) =1 n(Cx)，其中C是常数, = -lim x2 2 2 J0 In 1 x -x 洛lim 2 x )o x =-lim - -x (1 x) 2 x)01 x 四【详解】采用分部积分法 二 arcta nx dx be 1 1 =-1 arcta n xd ()= arcta nx 1 x x -be + 2 x x 1 x2 )dx 1 ln x -丄1 n(1 x2) 4 IL 2 丄 ln2 2 dy _ y X2 y2 =_y dx x x 令y丸，则矽： x dx du 二 u x一， dx 代入上式， 得 化简并移项，得 d u d x

19、1 u2 x 五【详解】将原方程化简 u X叽 dx 因为x 0,所以C 0，去掉根号，得 u 1 u2 = Cx， 把yx# =0代入并化简，得 yx2丄x 0 2 2 六【详解】建立坐标轴如图所示， 解法 1 1：将抓起污泥的抓斗提升至井口需做功 W +W2 +W3，其中W,是克服抓斗自重. 5 U0 即 y x 精品文档 作的功；W2是克服缆绳重力作的功；W3为提出污泥所作的功由题意知 W =400N 30m =12000J. 将抓斗由x处提升到x dx处，克服缆绳重力所作的功为 dW2 =缆绳每米重熾绳长褪升高度 二 50(30 _x)dx, 30 从而 她=.0 50(30 -x)d

20、x =22500J. 在时间间隔t,t dt内提升污泥需做功为 dW3 =(原始污泥重-漏掉污泥重) 提升高度(3dt) = (2000 -20t)3dt 将污泥从井底提升至井口共需时间 昱巴=10s, 3m/s 10 所以 W3 = J0 3(2000 20t)dt = 57000J. 因此，共需做功 W W2 W3 (12000 22500 57000) J = 91500J 解法 2 2：将抓起污泥的抓斗提升至井口需做功记为 W，当抓斗运动到x处时，作用力f(x)包 括抓斗的自重400N ,缆绳的重力50(30 -x)N ,污泥的重力(2000 -仝20)N, 3 20 170 即 f(

21、x) =400 50(30 -x) 2000 x =3900 x, 3 3 于是 30 i 170 85 2 30 I39。盲号“3900-117000-24500 500 七【详解】函数的定义域为(：,1)U(1,r：)，对函数求导，得 2 x (x -3) ” 6x 厂，y 4 (x -1) (X-1) 精品文档 令y、0得驻点x=0,x=3 ；令 厂=0得x=0.因此，需以0,1,3为分界点来讨论，列表 讨论如下:精品文档 函数图形在区间(-： ：,0)内是向上凸的，在区间(0,1),(1, ：)内是向上凹的，拐点为 (0,0)点. x3 由lim 2 ，可知x =1是函数图形的铅直渐近

22、线 7(X-1)2 3 又因为 l i my l i = 1 Yx y x(x-12 故y =x 2是函数的斜渐近线 八、(本题满分 8 分) 设函数f x在闭区间1-1,1上具有三阶连续导数，且 f-1=0，f 1 =1，0=0, 证明：在开区间 -1,1内至少存在一点，使 f =3. 【详解】解法 1 1 ：由麦克劳林公式得 1 1 f(x) =f(0) f (0)x 刁 f (0)x2 ( )x3，其中 介于 0 与 x 之间，x -1,1 分别令X = -1,x =1并结合已知条件得 1 1 f (一 1) = f(0) f (0) 一一 f ( 1) =0, T ： 1 ： 0 2

23、6 1 1 x S0) 0 (0,1) (1,3) 3 (3,址) V 0 + + + + + 0 + 0 + y 凸，增 拐点 凹，增 凹，减 极小值 凹，增 由此可知, 函数的单调增区间为 (-：,1)U(3, ：)，单调减区间为 (1,3)，极小值为 yx* 27 4 lim( y - x)二 lim( x X.;：(x_1) limU】 F(X-1)2 =2 精品文档 f (1 f (0) f (0) f ( 2)=1,0 ： 2 1 2 6 两式相减，得 f ( 2) f ( 1) =6精品文档 于是 由f (X)的连续性，知f (x)在区间1, 2上有最大值和最小值，设它们分别为M

24、和m , 则有 1 m f ( 2) f ( i)H M 再由连续函数的介值定理知，至少存在一点 (-1,1)，使 1 f f ( 2) f ( 1 - 3 解法 2 2:构造函数:(x)，使得X. _1,1时(x)有三个0点，厂(x)有两个0点，从而使 用罗尔定理证明 必然存在 设具有三阶连续导数 (x f (x) ax3 - bx2 cx d d = -f(0) 1 3 1 2 (x) = f(x)?x3 (f(0)?)x2 f(0) 由罗尔定理可知，存在 (_1,0), 2(0,1)，使(J =0, ：:( 2) =0 又因为(0)=0，再由罗尔定理可知， 存在 。 行 _1 11 0

25、02 行汉-1 _1 1： 1 0 0 0 2 00 1 1 2 0 3行疋 0 1 0 0 1/2 1/2 0 0 21 0 1 0 1：1/2 0 1/2 一 换，单位矩阵 精品文档 j -1 01/2 + 0 1/2 j 0 01/2 + 1/2 0 1 1 行- 30 1 0： 0 1/2 1/2 1 行 + 20 1 0： 0 1/2 1/2 - 0 0 + 11/2 0 1/2 i 0 0 + 11/2 0 1/2 十二【概念】向量组r,2,3,4线性无关：=以冷，i =1,2,3, 4为列向量组成的线性齐次 方程组 宀為 乜2X2也3X3乜4焉-2,3, 4 = 0只有零解 向量

26、能否由向量组 r,2,3,爲线性表出二 以门=1,2,3,4为列向量组成的线性 非齐次方程组必 32x2比3x3叱4x4 =是否有解 【详解】作方程组:也川二2X2心3x3也4x4，并对增广矩阵作初等行变换, 件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩， 且等于未知量的个数， 故1-2/- 3,4线性无关，且 方程组（1,234）X =：有唯一解，其同解方程组为1/2 1/2 0 1 _1 =1 C 0 1/2 1/2 1/2 一 4 J/2 0 J X =1 2 1 0 1 1 0 1 2 行-1 行 -1 -1 3 -2 : 41 1 -1 3 -2 : 4 1 0 -2 -1 -4 -3 3 行+

27、 2 行乂 0 -2 _1 -4 : _3 3 行-1 行 0 6 4 12 2 4 行+ 2 行汽 0 0 7 0 : 7 4 行一 1 10 4 p 7 p 卫 0 p -9 p 】3 1 p 2 p ：10 3 行（冷） 1 -1 卜1, 2, 3, 4, J -3 5 3 -2 4 2 $ 1 -1 10 汁 1 1 3 -2 4 1 _1 _1 3 -2 : 4 1 0 -2 _1 -4 -3 4 行3 行 X (n 9) 0 -2 -1 -4 ： 3 0 0 1 0 1 0 0 1 0 : 1 0 p 9 P2 一8 0 0 0 p 2： 1 p （1）当p =2时，re、，3,

28、4）=（：, 2,34,）=4，方程组有唯一解的充要精品文档 / x2 +3x3 - 2% =4 2X2+X3+4X4=3 3p4 , 1 - p 彳 ，解得 Xi = 2, x? = - , X3 = 1, X4 = - X3 -II P-2 P-2 (p2)X4=1 p 代入“论：l2x2 SX3 】t4X4 -中，即可由宀，：/,：*线性表出，且表出式为 ：=2 ：3 口：4 p _2 p _2 （2）向量组：-1, ：-2-3-4线性相关二 以:i,i =1,2,3,4为列向量组成的线性齐次方程 组冷为叱辺X2乜3X3 -工4X4 -、1,2,3,4収=0有非零解 当p =2时， -1

29、 -1 3 坛 4 刁 -1 3 坛 4 &1,口2, 3, 4卫 3 1 -3 2 6 1 0 -2 -1 4-3 亠 T 亠 1 5 -1 10： 6 0 0 1 0 ： 1 - 3 1 4 2 ： 1 0 0 0 0冷一 初等变换不改变向量组的秩， （律：，爲）=3，系数矩阵的秩小于未知量的个数, 冷石 J2X2 二3x3 S-：*x4 二卜“：七二匕，41X = 0 II 3 -2 0 -1 -4=4式0知，G 1,。2,叫（或G 1, 3,。4）线性无关，是其极大线性无关组 0 1 0 有非零解，故向量组:二：七门匕，：,线性相关, 其对应的部分列向 量组具有相同的线性相关性 _1 3 -2 4 1 _1 3 0 -2 -1 -4 中，由 0 _2 0 0 1 0 : 1 + 0 0 1 卫 0 0 0 : _ 列向量组经过初等行变换, .在 =-2 = 0 或 精品文档 1 -cosx 1Sin x 2 x _ln 1 x - x lim