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1、:,4.3.3 换元积分法,定理4.3.2,证 利用复合函数与反函数求导法则,故,式4-5称为不定积分的第二换元法.,:,换元积分法主要针对类型:,当被积函数是无理函数，且不能直接或凑微分的方法用公式,目标是化无理为有理，去“根号”。,类型一: 根号下为“一次因式”，注意最小公倍数,。,解:,:,解:,于是,:,例4.3.22,解：,代入原式，得,类型二: 根号下为“二次因式”，,为此，需要借助三角函数来换元。,:,:,例4.3.23,解：,:,例4.3.24,解：,:,通过上面的例子，可总结出利用第二换元法求不定积分的一些规律：,当被积函数含有根式时，可作如下变换：,为了便于查找，减少重复计
2、算，现将上述常用的公式集中列在下面。,:,:,:,定理4.3.3,注: (1)换元必须换上下限；,(2) 定积分是一个数，用换元法后不必再把t换为x，只要用t的上下限就可以了。 但要注意，上、下限别乱了.,:,例4.3.25 求,解:,:,例4.3.26 求,解:,:,命题4.3.1：,类型三：积分区间为对称区间,:,证：,:,例如,:,解:,:,解:,:,常用公式有：,类型四：被积函数是关于三角函数的有理式，这种类型的积分，总可以利用代换 完成，化成一个有理函数的积分后面的内容）。,:,解:,:,类型五：被积函数中含有倒数形式 或被积函数的分母为,改善被积函数，使之能用凑微分法或公式求解.,解:,(法一)可尝试三角换元，,(法二)用倒代换法，,:,:,换元法是一种非常有效的积分方法，但又是一种十分难掌握的方法。适当的选择变换方法很关键,否则会越变越麻烦.,小结：已学过的方法有：,（1根号下为一次因式，注意最小公倍数；,（2根号下为二次因式，可借助三角函数；,（3对称区间上，对部分积分用换元，可设x=-t;,其它常用的换元方法：,（4对含有三角函数的积分，可用万能公式换元；,（5倒代换，,