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1、数系的扩充和复数的概念 教学设计长岛中学 朱晓娜教学目标：1. 知识目标：了解数系扩充的实际性；理解虚数单位 i 的产生及意义2. 水平目标：掌握复数的概念、代数形式及其分类.3. 情感目标：体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作 用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.教学重点：对引入复数的必要性的熟悉,理解复数的根本概念以及复数相等的充要 条件.教学难点：由于学生对数系扩充的知识不熟悉, 对了解实数系扩充到复数系的过程 有困难.由于理解复数是一对有序实数并不习惯,对于复数概念理解也有 一定困难.学情分析：在学习复数之前,学生对数的概念已经扩充到实数,也已清楚各种数 集之
2、间的包含关系等内容,但知识是零碎、分散的,对数的生成开展的历 史和规律缺乏整体熟悉与理性思考,知识体系还未形成.另一方面学生对 方程解的问题会默认为在实数集中进行,缺乏严谨的思维习惯.因此在介 绍新知识之前,可以先回忆一下以前是如何进行扩充的,然后给出新的问 题,为什么现在又要进行扩充.教学过程：数系的扩充及问题的引入我们最早接触到的数-自然数,第一次扩充是在初中,向东走八米与 向西走八米,虽然都是八米但是有着不同的含义,为解决这个问题我们引 入了正负将自然数扩充到了整数.然而整数还是不够用,如向东走八米半、 将一个苹果四等分等等,为此我们又引入了分数将整数扩充到了有理数. 紧接着我们又将有理
3、数扩充到目前最大的数系 一实数,这一次的扩充也是 为了解决实际生活中存在的问题：边长为 1的正方形的对角线的长度,我 们引入了无理数,将有理数扩充到了实数.由此可见每一次的扩充都有着 实际的需求,那么又是由于要解决什么问题,我们又将实数进行扩充？引 进的是什么数？数集的每一次扩充,都是由于生产和科学开展的需要而逐步扩充,对 数学学科本身来说,也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的 矛盾,分数解决了在整数集中不能整除的矛盾,负数解决了在正有理数集 中不够减的矛盾,无理数解决了开方开不尽的矛盾 但是,数集扩到实数集 R以后,像x2= - 1这样的方程还是无解的,由于没有一个实数的平方等于
4、-1.由于解方程的需要,人们引入了一个新数i,叫做虚数单位并由此产生 的了复数+二、根本概念仁i的含义(1) 它的平方等于-1,即i2 = -1(2) 实数可以与它进行四那么运算,进行四那么运算时,原有加、乘运算律仍然成立(3) i与一1的关系：i就是一1的一个平方根,即方程x2= -1的一个 根,方程x2= 1的另一个根是i(4) i 的周期性：i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=12、复数的定义：形如a bi(a,bR)的数叫复数,a叫复数的实部,b叫复 数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集,用字母C表示复数的代数形式：复数通常用字母z表示,即z = abi(
5、a,bR),把复数表 示成a+bi的形式,叫做复数的代数形式+3、复数的分类：复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数a bi(a,bR),当且仅当b=0时,复数a+bi(a、b R)是实数a;当b0时, 复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b0时,z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0 时,z就是实数0.实数(i = 0)三、质疑问题设置：复数能不能比拟大小？是任何的复数都不能比拟大小？由学生思考总结给出具体的答案,进而继续提出问题：那是否可以说两个复数相等？如何给出复数相等的充要条件？6.两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚局部别相等,那么我们就说这两个复数相等这就是说,如果 a
6、, b, c, d R,那么 a+bi=c+di= a=c, b=d复数相等的定义是求复数值,在复数集中解方程的重要依据四、典型例题实数m取什么数值时,复数z=m+1+(m 1)i是：(1)实数？ (2)虚数？(3)纯虚数？分析：由于m是实数,所以m-1, m+1都是实数.由复数z=a+bi是实数、 虚数和纯虚数的条件可以确定 m的取值.解：(1)当m仁0,即m=1时,复数z是实数；(2) 当m 1工0,即卩mz 1时,复数z是虚数；(3) 当m+仁0,且m 1 z 0时,即m二一1时,复数z是纯虚数. 稳固练习：1如果(x+y) + (y-1) i= (2x+3y) + (2y+1) i,求
7、实数 x, y 的值.2.m R,复数乙=血 2)+(m2+2m 3)i,当m为何值时,m 11(1) z R; (2)z是虚数；(3) z是纯虚数；(4) z=-+4i.五、教学反思及小结通过这堂课的学习你有哪些收获？请同学们对于数系扩充过程方面以及对复数实质理解方面的收获进行小结,可以在课堂上一起交流,也可以整理到自己的笔记本上.1数系的扩充：自然数一整数一有理数一实数一复数2. 虚数单位i含义3. 复数的代数形式4. 复数的分类5. 复数相等的充要条件今天我们的学习仅仅是翻开了研究复数的大门,对复数的熟悉还是肤 浅的,在以后的学习中,大家再慢慢体会复数的作用.在实际教学中,如 果单纯地讲
8、解或介绍会显得较为枯燥无味,学生不易接受,我们采用讲解 或体验已学过的数集的扩充的历史,让学生体会到数集的扩充是生产实践 的需要,也是数学学科自身开展的需要；介绍数的概念的开展过程,使学 生对数的形成、开展的历史和规律,各种数集中之间的关系有着比拟清楚、 完整的熟悉从而让学生积极主动地建构虚数的概念、复数的概念、复数的 分类.六、布置作业1、教材第52页,第1、2题.2、实数m取什么值时,复数 z=mmT m2 -1i是：1实数？ 2虚数？ 3纯虚数？40？3、x+y+x-yi=2-4i 求实数 x, y 的值教学情境设计：问题问题设计意图师生活动将实数扩充到复数是为了解决什么问题？引进的是什
9、么数？创设问题情境,使学 生明确要解决什么问 题,联系旧知了解解 决问题的大致方向.教师提出问题,学生思考 答复,教师再评价引导.把实数和新引进的数 i象实数那样进行加使学生感受为什么新数集是a+bi的形式由学生自己先动手试做, 然后讨论,最后统一认法、乘法运算,并希 望运算时有关的运算 律仍成立,会得到了 什么样的数？识.给出复数的实部、虚部,复数的代数形式的意义熟悉复数的代数结构,熟悉有关名称结合实际例题,稳固练习,以求掌握.复数能不能比拟大 小？ 是任何的复数 都不能比拟大小？ 那是否可以说两个复 数相等？如何给出复 数相等的充要条件？由学生按自己的理 解,归纳总结得出结 论.学生答复,教师点评,还 可让学生自己适当练习.复数z=a+bi在什么条件下是实数？虚数？纯虚数？引出复数的分类,并 弄清楚实数集与复数 集之间的关系.学生自己经历对复数分类的思考与讨论.例题的讲解稳固复数的概念学生自己完成,教师点评反思与小结对于数系扩充方面以及对复数实质理解方面的收获进行小结可以在课堂交流,也可以整理到笔记本上作业7