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1、考研数学高数知识点总结多元函数微分学的应用多元函数微分学的应用一、无条件极值1、基本概念设D是二元函数Z f(x,y)的定义域，P0 Xo,yo是D的内点，若存在PO的邻域U(P0) ， 使得 对任 意异 于 P0 的 点 x,y U(P0) 均有 f x,yf(x0,y0) (或f x,yf(xo,yo),则称函数Z f (x, y)在点FO处取得极大值(或极小值)，点P)称为函数Z f (x, y)的极大值点(或极小值点)，极大值点与极小值点统称为极 值点 .2、常用公式、定理(1 )极值的必要条件：定理：设函数Z f(x, y)在(Xo,y)点具有偏导数，且在该点能够取到极值，则有 fx
2、(xo,yo) o, fy(xo,yo) o.(2 )极值的充分条件：定理：设函数Z f (x, y)在(Xo,y)点的某邻域内具有连续的一阶及二阶偏导数，又设 f(o,y) o, fy(xo, yo) o.令fxx(xo,yo) A, fxy(xo,yo) B, fyy(xo,yo) C，(1) 若AC B2 o,贝U函数Z f(x, y)在(x,y)点具有极值.当A 0时取得极 小值；当 A o 时取得极大值 .(2) 若ACB2O，贝U函数Zf(x, y)在(x。，y。)点不能取到极值(3) 若ACB2O ,则函数Zf (x, y)在(x,y)点可能有极值，也可能没有极值.【例1】：设可
3、微函数U f(x,y)在点(xo,y)取得极小值，则下列结论中正确的是().(A) f (o,y)在 y(B) f (o,y)在 y(C) f (o,y)在 yyo处的导数等于Oyo处的导数大于0yo处的导数小于0(D) f (o, y)在 yyo处的导数不一定存在答案：(A).【例2】:设函数Zf (X) y)的全微分为dz XdX ydy ,则点(0,0).(A)不是Z f (X, y)的连续点；(B)不是Z f (X, y)的极值点(C)是Z f (X, y)的极大值点；(D)Z f (X, y)的极小值点答案：(D).【例3】：计算下列函数的极值(1) f (X, y) 4(x y) X2 y2 ； ( 2) f(x,y) e2X(x2 y2 2y).-1-.;5 15 ,答案：(1)8极大值；(2) e 2 极小值.【例4】：求二元函数f (, y) X2 2 y2ylny的极值.答案：1丄极小值.e【例5】：设函数Z 1 ey CoSX yey ,证明：函数Z f (, y)有无穷多个极大值点，而无极小值点.在紧张的复习中，中公考研提醒您一定要充分利用备考资料和真题，并且持 之以恒，最后一定可以赢得胜利。更多考研数学复习资料欢迎关注中公考研网。