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1、2016 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理数 、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分“在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项. A. 0 , 1 B. 0 , 1, 2 C . -1 , 0, 1 D. - 1, 0, 1, 2 r2x-yy 0，则（ ） A . - 0 B . si nx - si ny 0 C. （ ） X-（ ） yv 0 D .In x+l ny 0 K y 2 2 6. （ 5 分）（2016?北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ） 侧（左）视图 正（主）视團 D. 1 7. （5 分）（2016?北京）将函数 y
2、=sin （2x - ）图象上的点 P , t）向左平移 s （s 0） 3 4 若 P 位于函数 y=sin2x 的图象上，则（ ） K B. 7T D. 个单位长度得到点 P, t=0, b0）的渐近线为正方形 OABC 的边 OA，OC 所在的直线，点 a= _ . B 为该双曲线的焦点.若正方形 OABC 的边长为 2,则 14. （ 5 分）（2016?北京） 设函数 f （x）= 若 a=0，则 f （x）的最大值为 _ ; 若 f （x）无最大值，则实数 a 的取值范围是 _ . 三、解答题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 2 2 2 l 15
3、. （13 分）（2016?北京）在 ABC 中，a +c =b + :ac. （I）求/ B 的大小； （n）求 :cosA+cosC 的最大值. 16. （13 分）（2016?北京）A , B, C 三个班共有 100 名学生，为调查他们的体育锻炼情况, 通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时） ： A 班 6 6.5 7 7.5 8 B 班 6 7 8 9 10 11 12 C 班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 （I）试估计 C 班的学生人数； （n）从 A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选取一个人， A 班选出的人记为甲， C 班选出
4、 的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相对独立， 求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的 概率； （川）再从 A , B, C 三班中各随机抽取一名学生， 他们该周锻炼时间分别是 7, 9, 8.25（单 位：小时），这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为 由，表格中数据的平 均数记为 闪，试判断（J0 和 m 的大小.（结论不要求证明） 17. （14 分）（2016?北京） 如图， 在四棱锥 P-ABCD 中， 平面 PAD 丄平面 ABCD , PA 丄 PD, PA=PD, AB 丄 AD , AB=1 , AD=2 , AC=CD=. （I）求证：PD 丄平面 PAB ;
5、 （n）求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值； （川）在棱 PA 上是否存在点 M,使得 BM /平面 PCD ?若存在，求 的值，若不存在， 说明理由. a x 18. (13 分)(2016?北京)设函数 f (x) =xe +bx，曲线 y=f (x)在点(2, f ( 2)处的 切线方程为 y= (e 1) x+4 , (I)求 a, b 的值； (n)求 f (x)的单调区间. 19. (14 分)(2016?北京)已知椭圆 C： + 一 . =1 (a0, b0)的离心率为,A (a, 0), a b 2 B (0, b) , O (0, 0) , OAB 的面积为 1 .
6、 (I)求椭圆 C 的方程； (H) 设 P 是椭圆 C 上一点，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N .求证： |AN|?|BM| 为定值. 20. (13 分)(2016?北京)设数列 A: ai, a2,，aN (N 丝).如果对小于 n (2 韦 a1,则 G (A)老; (川)证明：若数列 A 满足 an- an-K| (n=2 , 3,，N),则 G (A)的元素个数不小于 aN - a1.2016 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理数 参考答案与试题解析 一、选择题 1. C 【分析】先求出集合 A 和 B,由此利用交集的定义能求出 A AB
7、 . 【解答】解：“集合 A=x|x| v 2=x| - 2vxv 2, B= - 1 , 0,1, 2, 3, A AB= - 1, 0, 1. 故选：C. 2. C 【分析】作出不等式组对应的平面区域， 目标函数的几何意义是直线的纵截距， 利用数形结 合即可求 z 的取值范围. r2x-y0 【解答】解：作出不等式组 r+y2+2=4 . 即目标函数 z=2x+y 的最大值为 4. 【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 模拟程序的运行过程，可得答案. 【解答】解：输入的 a 值为 1，则 b=1 ,S 的值, 4. D 【分析】根据向量模相等的几何意义，
8、结合充要条件的定义, 【解答】解：若 ii=i，则以：.为邻边的平行四边形是菱形; 若 k+b=i 为-b I，则以日，b 为邻边的平行四边形是矩形; 故 i|=|讨是“i+l|=| I-讨的既不充分也不必要条件; 故选：D. 5. C 【分析】x, yR,且 x y 0,可得：,sinx 与 siny 的大小关系不确定, K y -, lnx+lny 与 0 的大小关系不确定，即可判断出结论. 2 【解答】解：T x, y R，且 xy 0，则-.,sinx 与 siny 的大小关系不确定, x y 1 =丄， 2 2 高为 1, 故棱锥的体积v=, 故选：A 7. A K 1 x=代入得：
9、t= “，进而求出平移后 P 的坐标，进而得到 s 的最小值. 4 2 将 x= 代入得：t=s in =丄 4 6 2 将函数 y=sin (2x-p)图象上的点 P 向左平移 s 个单位， K 1 得到 P(广 s, J 点， 4 2 若 P位于函数 y=sin2x 的图象上， 贝U sin ( - 2s) =cos2s=_ 第一次执行循环体后, 第二次执行循环体后, 第a=-,不满足退出循环的条件, 2 a=- 2,不满足退出循环的条件, a=1，满足退出循环的条件， k=1 ； k=2; 可得答案. 【分析】 将 【解答】2 2 则 2s= +-H+2k n, k 包, 3 则 s=
10、+2!+k n, kZ, 6 由 s0 得：当 k=0 时，s 的最小值为 6 故选：A. 【分析】分析理解题意： 乙中放红球，则甲中也肯定是放红球；往丙中放球的前提是放入甲 中的不是红球，据此可以从乙中的红球个数为切入点进行分析. 【解答】解：取两个球共有 4 种情况： 红+红，则乙盒中红球数加 1 个； 黑+黑，则丙盒中黑球数加 1 个； 红+黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加 1 个； 黑+红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加 1 个. 设一共有球 2a 个，则 a 个红球，a 个黑球，甲中球的总个数为 a,其中红球 x 个，黑球 y 个, x+y=a . 则乙中有 x 个球，其中
11、 k 个红球，j 个黑球，k+j=x ； 丙中有 y 个球，其中 I 个红球，i 个黑球，i+l=y ； 黑球总数 a=y+i+j，又 x+y=a，故 x=i+j 由于 x=k+j，所以可得 i=k，即乙中的红球等于丙中的黑球. 故选 B. 二、填空题 9. - 1 . 【分析】(1+i) (a+i) =a- 1+ (a+1) i,则 a+仁 0,解得答案. 【解答】(1+i) (a+i) =a - 1+ (a+1) i, 若复数(1+i) (a+i)在复平面内对应的点位于实轴上, 则 a+1=0, 解得：a=- 1, 故答案为：-1 10. 60 . 【分析】利用二项式定理展开式的通项公式即
12、可得出. 【解答】解：(1- 2x) 6的展开式中，通项公式 +1= - (- 2x) r= (- 2)xr, 6 6 令 r=2，则 x2的系数= .：| -=60. 故答案为：60. 11. 2 . 【分析】把圆与直线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用圆心 C 在直线上可得|AB| . 【解答】解：直线 pcos 0- VC psin 0-仁 0 化为 y 直线 x - V zy - 1=0. 圆 p=2cos 0化为 p =2 pcos0, x +y =2x，配方为(x- 1) +y =1，可得圆心 C (1, 0)，半 径 r=1. 则圆心 C 在直线上，“ |AB|=2 . 故答案为
13、：2. 12. 6 . 【分析】由已知条件利用等差数列的性质求出公差， 由此利用等差数列的前 n 项和公式能求 出 Se. 【解答】解：“ an为等差数列，Sn为其前 n 项和. ai=6, a3+a5=0, - ai+2d+ai+4d=0, “ 12+6d=0 , 解得 d= - 2, “ S6=- 一11_ =36 - 30=6. 故答案为：6. 13. 2 . 【分析】根据双曲线渐近线在正方形的两个边， 得到双曲线的渐近线互相垂直， 即双曲线是 等轴双曲线，结合等轴双曲线的性质进行求解即可. 【解答】解：“双曲线的渐近线为正方形 OABC 的边 0A , OC 所在的直线， “渐近线互相
14、垂直，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为 y=丸, 即 a=b, “正方形 OABC 的边长为 2, “ 0B=2 匚，即 c=2 匚， 贝 H a2+b2=c2=8, 即 2a2=8, 则 a2=4, a=2, 故答案为：2 2 ; (-O- 1) . 【分析】 将 a=0 代入，求出函数的导数，分析函数的单调性，可得当 x= - 1 时，f (x) 的最大值为 2; aV -1 若 f (X)无最大值，则 3 ，或* -2a a - 3aQ - 1 一|:-,解得答案. -2a2 ()由(I)得: 7COSA+COSC=/COSA+COS ( - - A) 4 = .：cosA- cos
15、A+s inA 2 2 V2 V2 = cosA+ si nA 2 2 K =sin (A+ ). 4【解答】若 a=0，则 f (x) 则 f (x)=：, -2 :f0 当 XV- 1 时，f ( x) 0，此时函数为增函数, 当X- 1 时，f ( X)V 0，此时函数为减函数, 故当x= - 1 时，f (x)的最大值为 2; 令 f ( x) =0,则 x= 1, fa-l 解得：a (- g,- 1). 故答案为：2, (- g,- 1) 三、解答题 15. 【分析】(I)根据已知和余弦定理，可得 W:，进而得到答案; ()由(I)得：C= - A，结合正弦型函数的图象和性质，可得
16、 4 值. 【解答】解：(I)：在 ABC 中，a2+c 2=b2+ - ac. a2+c2- b2=匚 ac. :cosA+cosC 的最大 cosBJ= 2ac f ( x) 若 f (x )无最大值，则 或 * - 2a a3 _ 3a， -2a2 “/ A (0, J), 4 -A+一 (一，n), 4 4 故当 A+ 1二时，sin (A+ 1 )取最大值 1, 4 2 4 即电；jcosA+cosC 的最大值为 1. 16. 【分析】(I)由已知先计算出抽样比，进而可估计 C 班的学生人数； (n)根据古典概型概率计算公式，可求出该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率; (川)根据
17、平均数的定义，可判断出 *灼. 【解答】解：(I)由题意得：三个班共抽取 20 个学生，其中 C 班抽取 8 个， 故抽样比 K= 一=, 100 5 故 C 班有学生=40人, (n)从从 A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选取一个人, 共有 5 8=40 种情况， 而且这些情况是等可能发生的， 6 时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有 6.5时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有 7 时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有 7.5 时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有 8 时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有 故周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率P=-； (川)(JQ m. 17. 【分析】(I)由
18、已知结合面面垂直的性质可得 AB 丄平面 PAD，进一步得到 AB 丄 PD,再 由 PD 丄 PA，由线面垂直的判定得到 PD 丄平面 PAB ； (n)取 AD 中点为 O,连接 CO , PO,由已知可得 CO 丄 AD , PO 丄 AD .以 O 为坐标原点， 建立空间直角坐标系，求得 P (0, 0, 1), B (1, 1, 0), D (0, - 1 , 0), C (2 , 0 , 0), 进一步求出向量：、：的坐标，再求出平面 PCD 的法向量 I ,设 PB 与平面 PCD 的 正弦值; (川)假设存在 M 点使得 BM /平面 PCD ,设:,M ( 0 , y1 ,
19、Z1),由 T 施可得 AP M (0 , 1 -入):| . - “. ,由 BM /平面 PCD,可得 ,由此列式求得当 J 时,M点即为所求.当甲锻炼时间为 当甲锻炼时间为 当甲锻炼时间为 当甲锻炼时间为 当甲锻炼时间为 2 种情况； 3 种情况; 3 种情况； 3 种情况; 4 种情况； 夹角为 0 ,由-U .1： I 八 求得直线PB与平面PCD所成角的 【解答】(I)证明： “平面 PAD 丄平面 ABCD， 且平面 PAD 门平面 ABCD=AD 且 AB 丄 AD , AB?平面 ABCD , AB 丄平面 PAD , / PD?平面 PAD , “ AB 丄 PD, 又 P
20、D 丄 PA，且 PA HAB=A , “ PD 丄平面 PAB; (H)解：取 AD 中点为 0,连接 CO, PO, CD=AC= I, “ CO 丄 AD , 又 PA=PD, “ PO 丄 AD . 以 O 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图： 则 P ( 0, 0, 1), B (1 , 1, 0), D (0 , - 1 , 0), C (2 , 0 , 0), 则-J:.- . -1 ，: .一丨“-一 , PC二(2, 6 -1) , CD二(-2t - 1, 0) 设.为平面 PCD 的法向量, n*PD=O t n-PC=O 设 PB 与平面 PCD 的夹角为0,则 sin
21、S = |cos 0 得 x 2,由 f (x)v 0 得 xv 2, 即当 x=2 时，f( x)取得极小值 f (2) = (1 - 2) e2 2+e=e- 1 0, “ f ( x) 0 恒成立， 即函数 f (x)是增函数, 即 f (x)的单调区间是(-8, + 8). 19. 【分析】(I)运用椭圆的离心率公式和三角形的面积公式，结合 a, b, c 的关系，解方程 可得 a=2, b=1，进而得到椭圆方程； (H)方法一、设椭圆上点 P (xo, yo),可得 xo2+4yo2=4，求出直线 PA 的方程，令 x=0 , 求得 y, |BM| ;求出直线 PB 的方程，令 y=
22、0，可得 x, |AN|，化简整理，即可得到|AN|?|BM| 为定值 4. 方法二、设 P (2cosB, sinB), (0 a3不满足条件，3 不满足条件， a2 a4不满足条件，4 不满足条件，ai, a2, a3, a4,均小于 a5,因此 5 满足条件，因此 G (A) =2 , 5. (n)因为存在 an ai,设数列 A中第一个大于 ai的项为 ak,则比 ai為i,其中 2耳乂- 1, 所以 ak G ( A) , G (A)老; (川)设 A 数列的所有 G 时刻为 iiv i2V Lv ik, 对于第一个 G 时刻”ii,有 ai沏(i=2 , 3, L, ii-i),则
23、 昨 - % _ W . 丄i 丄L 11 1 对于第二个 G 时刻”ii,有j . 為(i=2 , 3, L, ii-i),则 T2 - -W -. 21 22 七 W. 类似的 & - J W,- ,& -屯 W. H l 于是， 心(.1 . - j. )+ (丄 亠 )+L+ ( - - - ) + G. - ai) = 1 . 1 1 2k-z 12 21 ai. 对于 aN，若 NG (A),则 j =aN. 1 若 N?G (A),则 aNW-,否则由(2)知J , - , L , aN ,中存在 G 时刻与只有 k 1k 叫 xi+i 个 G 时刻矛盾. 从而 k- ai為N - ai. =2| |=4.