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1、 =1 5. （ 5 分）（2016?天津）设an是首项为正数的等比数列，公比为 q，贝 U q 0 堤 对任意的 正整数 n, a2n- 1+a2n0 满足约束条件- 60，则目标函数 3x+2y- 90为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于 则双曲线的方程为（ ） D 四点，四边形 ABCD 的面积为 2b, 2 D.：打=1 4 =1 2 2 2 .2 A . =1 B. -=1 C. 7. （5 分）（2016?天津）已知 ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D、E 分别是边 AB、BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F,使得 DE=2EF，则人的值为（ ） B. 1 C. D.
2、 1 8 8 4 8 在 R 上单调递减，且关于 x 的方程|f （x） |=2 - x 恰好有两个不相等的实数解，贝 U a 的取值 范围是（ ） 二、填空题 9. （ 5 分）（2016?天津）已知 a, bR, i 是虚数单位，若（1+i） （1 - bi） =a,贝 U “的值 b 为 _ . 10. _ （5 分）（2016?天津）（X2- ） 8的展开式中 x7的系数为 _ （用数字作答） 11. （5 分） （2016?天津）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所 示（单位：m）,则该四棱锥的体积为 12. （ 5 分）（2016?天津）如图，AB 是圆的直径，
3、弦 CD 与 AB 相交于点 E, BE=2AE=2 , BD=ED，则线段 CE 的长为 _ . & （ 5 分）（2016?天津）已知函数 (x) x2+ (4a _ 3) x+3d x 0,且 a 力) A .( 0, I】B .，1 uu- D.- 13. （5 分）（2016?天津）已知 f （x）是定义在 R 上的偶函数，且在区间（- 汽 0） 上单调 递增，若实数 a 满足 f （2|a-1|） f （-心 0,贝 U a 的取值范围是 _ . 14. ( 5 分)(2016?天津)设抛物线，( t 为参数，p 0)的焦点为 F,准线为 I，过 ,y=2pt 抛物线上一点 A 作
4、 I 的垂线，垂足为 B,设 C( p ,0),AF 与 BC 相交于点 E.若|CF|=2|AF| , 2 且厶 ACE 的面积为 3 二，贝 U p 的值为 . 三、计算题 15. (13 分)(2016?天津)已知函数 f (x) =4tanxsin (-一 - x) cos ( x - 一)- . 2 3 (1 )求 f (x)的定义域与最小正周期； (2)讨论 f (x)在区间-,上的单调性. 4 4 16. (13 分)(2016?天津)某小组共 10 人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次 数为 1, 2, 3 的人数分别为 3, 3, 4,现从这 10 人中随机选出 2
5、人作为该组代表参加座谈 会. (1 )设 A 为事件 选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4”，求事件 A 发生的概率； (2) 设 X 为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值， 求随机变量 X 的分布列和数学期 望. 17. (13 分)(2016?天津)如图，正方形 ABCD 的中心为 O,四边形 OBEF 为矩形，平面 OBEF 丄平面 ABCD，点 G 为 AB 的中点，AB=BE=2 . (1)求证：EG/平面 ADF ; (2 )求二面角 O- EF- C 的正弦值； (3) 设 H 为线段 AF 上的点，且 AH=_HF，求直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值. 1
6、8. (13 分)(2016?天津)已知an是各项均为正数的等差数列， 公差为 d，对任意的 n N +， bn是 an和 an+1的等比中项. (1 )设 Cn=b ，.- b ，n N +，求证：数列Cn是等差数列； 加 k 2 * n 1 / 1 (2)设 a1=d，Tn=_ (- 1) bk， nN，求证:. 一、 . k=l i=l 2d4 =1 (a ；)的右焦点为 F,右顶点为 A .已知(1 )求椭圆的方程; B ( B 不在 x 轴上)，垂直于 I 的直线与 I 交于点 M , 与 y轴于点 H，若 BF 丄 HF，且/ MOA 业 MAO，求直线 I 的斜率的取值范围. 3
7、 20. (14 分)(2016?天 津)设函数 f (x) = (x- 1) - ax-b, xR，其中 a, b 駅. (1 )求 f (x)的单调区间； (2) 若 f (x)存在极值点 xo,且 f (X1)=f (xo),其中 X1(o,求证：x1+2x0=3 ； 19. (14 分)(2016?天津)设椭圆 :+:= |0F| |0A| | FA | ，其中 o 为原点, e 为椭圆的离心率. (2)设过点 A 的直线 I 与椭圆交于点 4 (3) 设 a0，函数 g (x) =|f (x) I,求证：g (x)在区间0, 2上的最大值不小于 . 2016年普通高等学校招生全国统一
8、考试（天津卷）理数 参考答案与试题解析 一、选择题 1. D 【分析】把 A 中元素代入 y=3x - 2 中计算求出 y 的值，确定出 B，找出 A 与 B 的交集即可. 【解答】解：把 x=1 , 2, 3, 4 分别代入 y=3x - 2 得：y=1 , 4, 7, 10,即 B=1 , 4, 7, 10, - A=1 , 2, 3, 4, A QB=1 , 4, 故选：D. 2. B 【分析】作出不等式组表示的平面区域，作出直线 10： 2x+5y=0，平移直线 10,可得经过点 （3, 0）时，z=2x+5y 取得最小值 6. - y20 【解答】解：作出不等式组 * 表示的可行域，
9、 3x+2y- 94=8 , n=2, i 4, 第二次判断不满足条件 n 3： 第三次判断满足条件： S 6,此时计算 S=8 - 6=2 , n=3 , 第四次判断 n3 不满足条件， 第五次判断 S 6 不满足条件，S=4. n=4 , 第六次判断满足条件 n 3, 故输出 S=4, 故选：B. 5. C 【分析】利用必要、充分及充要条件的定义判断即可. 【解答】解：an是首项为正数的等比数列，公比为 q, 若 q v 0”是 对任意的正整数 n, a2n-1+a2n0, 1 + （- 2 2 4 2 ）= 0； 4 4 而 对任意的正整数 n, a2n-i+a2n 0”，前提是 q 0
10、”， 则 q 0是对任意的正整数 n, a2n-i+a2n 0的必要而不充分条件， 故选：C. 6. D 【分析】以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为 X2+y2=4，双曲线的两条 渐近线方程为 y= x，利用四边形 ABCD 的面积为 2b,求出 A 的坐标，代入圆的方程，即 2 可得出结论. 【解答】解：以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为 X2+y2=4，双曲线的 两条渐近线方程为 y= X, 2 设 A （x,也 x）,则四边形 ABCD 的面积为 2b, 2 2x?bx=2b, / x= 2 将 A （1,）代入 x2+y2=4，可得 1+-=4 , b=
11、12 , 双曲线的方程为 -=1 , 4 12 故选：D. 7. B 【分析】运用向量的加法运算和中点的向量表示， 结合向量的数量积的定义和性质， 向量的 平方即为模的平方，计算即可得到所求值. 【解答】解：由 DD、E 分别是边 AB、BC 的中点，DE=2EF，可得 .h =（ 5+ n）?（：-） 1 * =(丨 + 1 * =( + =-：|.2= - ?1?1/- 1 :?（甕一 !） =: 故选：B. & C 【分析】利用函数是减函数，根据对数的图象和性质判断出 a 的大致范围，再根据 f (x)为 减函数，得到不等式组，禾 U 用函数的图象，方程的解的个数，推出 a 的范围. 【
12、解答】解：y=loga (x+1) +在0, + 递减，则 0 v av 1, 函数 f (x)在 R 上单调递减，则则： 3- 4a “ 0a10 g (0+1) +1 I 自 解得，三 由图象可知，在0 , + 8)上，|f (x) |=2 - x 有且仅有一个解, 故在(-m, 0) 上, |f (x) |=2-x 同样有且仅有一个解， 当 3a 2 即 a 时，联立 |x2+ (4a- 3) +3a|=2 - x, 则厶=(4a- 2) 2 - 4 (3a- 2) =0, 解得 a=或 1 (舍去)， 当 1Wa 电时，由图象可知，符合条件， 综上：a 的取值范围为,：U ；, 故选：
13、C.3 3 4 9. 2 . 【分析】根据复数相等的充要条件， 构造关于 a, b 的方程，解得 a, b 的值，进而可得答案. 【解答】解：( 1+i) (1 - bi) =1+b+ (1 - b) i=a, a, b R, .l+E 解得:P=2, Lb=l .=2, 故答案为：2 10. - 56 【分析】利用通项公式即可得出. 【解答】解： Tr+1=J r :丄.；x16-3r, 令 16 - 3r=7,解得 r=3 . ( x2- J 8的展开式中 x7的系数为 | ； 节=-56. 故答案为：-56. 11. 2 【分析】由已知中的三视图可得： 该几何体是一个以俯视图为底面的四棱
14、锥， 进而可得答案. 【解答】 解： 由已知中的三视图可得： 该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥, 棱锥的底面是底为 2,高为 1 的平行四边形，故底面面积 S=2XI=2m2, 棱锥的高 h=3m, 故体积 V= - y. =2m3, 故答案为：2 12. 【分析】由 BD=ED，可得 BDE 为等腰三角形，过 D 作 DH 丄 AB 于 H，由相交弦定理求 得 DH，在 Rt DHE 中求出 DE,再由相交弦定理求得 CE. 【解答】解：如图， 过 D 作 DH 丄 AB 于 H , / BE=2AE=2 , BD=ED , BH=HE=1，贝 U AH=2 , BH=1 , 二 DH
15、2=AH ?BH=2，贝 U DH=.：, 在 Rt DHE 中，则- L .- 由相交弦定理可得：CE?DE=AE ?EB, AE-EB 1X2 2A/3 故答案为：仝-；. 【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化进行求解即可. 【解答】解： f （x）是定义在 R 上的偶函数，且在区间（- 0）上单调递增， f （x）在区间（0, + a）上单调递减， 则 f （21|） f （-逅,等价为 f （2 旧1|） f （屁, 即-V 2|a_1| 二 则|a 1| ，即 a 0）的普通方程为：y2=2px 焦点为 F （卫，0）, 2 如图：过抛物线上一点 A 作 I 的垂
16、线，垂足为 B,设 C（ p,0）,AF 与 BC 相交于点 E.|CF|=2|AF| , 2 |CF|=3p, |AB|=|AF|=卩,A （p,.）, l AF iR 1 ACE 的面积为 3 爲二：., 可得 . . ；=SACE. 即：I, ;.=3 :, 15. 【分析】（1）利用三角函数的诱导公式以及两角和差的余弦公式， 结合三角函数的辅助角公 式进行化简求解即可. （2）利用三角函数的单调性进行求解即可. 【解答】解：（1）： f （x） =4ta nxsin （一 x） cos （x ）* J . 2 3 x 蔬n+ ，即函数的定义域为x|x 承n+ , k Z, 2 2 贝
17、V f (x) =4tanxcosx? (cosx+ sinx) - 2 2 =2sinx ( cosx+ sinx) 、.：l 2 2 =sin xcosx+ sin =sin 2x+-； (1 cos2x) ； =sin2x cos2x 2 2 2 71 Vs =sin (2x ) 则函数的周期T= ； (2)由 2k n 2x |= - = . 二 I 18. 【分析】(1)根据等差数列和等比数列的性质，建立方程关系，根据条件求出数列 项公式，结合等差数列的定义进行证明即可. (2)求出 Tn=_ (- 1) kbk2的表达式，利用裂项法进行求解，结合放缩法进行不等式的 k=l 证明即可
18、. 【解答】证明：(1 ) an是各项均为正数的等差数列，公差为 d,对任意的 n N+, bn是 an和 an+1的等比中项. 2 9 Cn=b 1 . b J=an+1an+2- anan+1 =2dan+1, n+1 n 2 Cn+1 Cn=2d (an+2 an+1) =2d 为定值； 数列Cn是等差数列； k 2 ?. | I 2 2 * (2) Tn=_ ( 1) bk =c1+c3+ +c2n- 1=nc1+ ?4d =nc1+2n (n 1) d， nN , k=l 2 由已知 C1=b22 - b12=a2a3- a1a2=2da2=2d (a1+d) =4d2, 2 2 将
19、 C1 =4d，代入得 Tn=n (n+1) d , f i = 1 卢一 i = 1 (1 丄 4 _1 1 丄 | 儿=: i- l Cn的通 )=J1 - 即不等式 成立. 土 1 耳 2d2 19. 【分(1)由题意画出图形，把|0F|、|0A|、|FAI 代入卄丫 + i 1 3e - ，转化为关于 a 的方程，解方程求得 a 值，则椭圆方程可求; (2)由已知设直线 I 的方程为 y=k (x-2), (k 用)，联立直线方程和椭圆方程，化为关于 x 的一元二次方程，利用根与系数的关系求得 B 的坐标，再写出 MH 所在直线方程，求出 H 的坐标，由 BF 丄 HF，得 . 一 ，
20、整理得到 M 的 坐标与 k 的关系，由/ MOA MAO，得到 xg，转化为关于 k 的不等式求得 k 的范围. 2 1 1 3匹 【解答】解：(1)由 .+ = ,得 - - - lOFl |0A| |FA| 寸3 a 才 J J - 3 即J 一 ； ?/片二_ a2 - 3 a (a- y/a2 - 3 ) 2 2 2 -aa ( a 3) =3a (a 3),解得 a=2. 椭圆方程为 (2)由已知设直线 I 的方程为 y=k (x 2), (k 旳), 设 B (xi, yi), M (xo, k ( xo 2), / MOA 0. .I _ 由根与系数的关系得 .- , 3+4/ ” - _ 0 时，当 x 1+ |或 x 0, 当 1- ，递减，成立； 当 0 a0 时, 0,可得减区间； 分别计算 f (x0), f (3 - 2xo),化简整理即可得证； (3)要证 g (x)在区间0, 2上的最大值不小于 ,即证在-g (X2) .讨论当 a 為时，当 0 a 成立； 4 2 若 a 时，f (1 - )- f (1+ ) = 成立. 4 /3 h 3 V 3 2 综上可得，g (x)在区间0 , 2上的最大值不小于 .