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1、差分方程模型,在实际中许多变量是离散变化的，如人口.商品件数.生产周期等，而离散的运算具有可操作性，差分方程正是联系连续变量与离散的一座桥梁（如摩尔.库仑）。差分方程主要用来解决离散型问题。,在本节我们将介绍差分方程的求解方法以及在实际中的应用。 差分方程是处理离散性问题的一种方法，在实际中有广泛的应用，它和微分方程是相辅相成的，对连续性数据的处理也可以采用离散的方法，这时也可以用差分方程。,差分方程的平衡点及其稳定性,设有未知序列 ，称,为k阶差分方程，若有 ，满足：,则称 是差分方程 的解,包含k个任意常数的解称为 的通解,为已知条件时，称其为 的初始条件,通解中的任意常数都有初始条件确定
2、的解称为 的特解,形如：,称为k阶线形差分方程，其中 为已知的系数，且,若差分方程 中 的，则称差分方程 为k阶齐次线性差分方程，否则，称为k阶非齐次线性差分方程,若有常数a是差分方程的 解，即 则称a是差分方程的平衡点,若 已知，则形如 的差分方程的解可以在计算机上实现，下面给出一些理论上容易求解的特殊差分方程的解及其简单应用。,的通解为：,当 时，它有一特解 ，当 时，且 时，它有一特解 ，不管哪种情形， 是方程 的平衡点，设方程 的特征方程,其解为：,（1）当 是两个不同实根时，方程 的通解为：,（2）当 是两个相同实根时，方程 的通解为：,易知，当且仅当特征方程的任意特征根 时，平衡点
3、 是稳定的,二阶方程的上述结果可以推广到k阶线形方程，即k阶线性方程平衡点稳定的条件是特征方程的根 均满足： （即均在复平面上的单位圆内）,差分方程的求解方法和微分方程相似，为什么会这样呢？,其平衡点 由代数方程 解出，为分析其平衡点的稳定性，将方程 的右端 在 点作Taylor展开,只取一次项近似为：,（7）是（6）的近似线性方程， 也是 的平衡点，关于线性方程平衡点稳定的条件上面已给出。,而当 时，方程 与 的平衡点的稳定性相同，于是得到：,1 市场经济中的蛛网模型2 减肥计划节食与运动3 差分形式的阻滞增长模型4 按年龄分组的种群增长,差分方程建模举例,1 市场经济中的蛛网模型,问 题,
4、供大于求,现象,商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定,当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定,描述商品数量与价格的变化规律,数量与价格在振荡,蛛 网 模 型,xk第k时段商品数量；yk第k时段商品价格,消费者的需求关系,生产者的供应关系,减函数,增函数,f与g的交点P0(x0,y0) 平衡点,一旦xk=x0，则yk=y0,xk+1,xk+2,=x0, yk+1,yk+2, =y0,设x1偏离x0,x1,P0是稳定平衡点,P0是不稳定平衡点,曲线斜率,蛛 网 模 型,在P0点附近用直线近似曲线,P0稳定,P0不稳定,方 程 模 型,方程模型与蛛网模型的一致, 商品数量减少1单位, 价格上涨
5、幅度, 价格上涨1单位, (下时段)供应的增量,考察 , 的含义, 消费者对需求的敏感程度, 生产者对价格的敏感程度,小, 有利于经济稳定, 小, 有利于经济稳定,结果解释,xk第k时段商品数量；yk第k时段商品价格,结果解释,经济不稳定时政府的干预办法,1. 使 尽量小，如 =0,以行政手段控制价格不变,2. 使 尽量小，如 =0,靠经济实力控制数量不变,结果解释,模型的推广,生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。,生产者管理水平提高,设供应函数为,需求函数不变,二阶线性常系数差分方程,x0为平衡点,研究平衡点稳定，即k, xkx0的条件,方程通解,(c1, c2由初始条件确
6、定),1, 2特征根，即方程 的根,平衡点稳定，即k, xkx0的条件:,平衡点稳定条件,比原来的条件 放宽了,模型的推广,2 减肥计划节食与运动,背景,多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持,通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标,分析,体重变化由体内能量守恒破坏引起,饮食（吸收热量）引起体重增加,代谢和运动（消耗热量）引起体重减少,体重指数BMI=w(kg)/l2(m2). 18.525 超重; BMI30 肥胖.,模型假设,1）体重增加正比于吸收的热量每8000千卡增加体重1千克；,2）代谢引起的体重减少正比于体重每周每公斤体重消耗200千卡 320
7、千卡(因人而异), 相当于70千克的人每天消耗2000千卡 3200千卡；,3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；,4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。,某甲体重100千克，目前每周吸收20000千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至75千克。,第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（10000千卡）；,第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标,2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。,1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。,减肥计划,3）给出达到目标后维持体重的方案。,确定某甲的代谢消耗系数,即
8、每周每千克体重消耗 20000/100=200千卡,基本模型,w(k) 第k周(末)体重,c(k) 第k周吸收热量, 代谢消耗系数(因人而异),1）不运动情况的两阶段减肥计划,每周吸收20000千卡 w=100千克不变,第一阶段: w(k)每周减1千克, c(k)减至下限10000千卡,第一阶段10周, 每周减1千克，第10周末体重90千克,吸收热量为,1）不运动情况的两阶段减肥计划,第二阶段：每周c(k)保持Cm, w(k)减至75千克,1）不运动情况的两阶段减肥计划,基本模型,第二阶段：每周c(k)保持Cm, w(k)减至75千克,第二阶段19周, 每周吸收热量保持10000千卡, 体重按
9、 减少至75千克。,运动 t=24 (每周跳舞8小时或自行车10小时), 14周即可。,2）第二阶段增加运动的减肥计划,t每周运动时间(小时),3）达到目标体重75千克后维持不变的方案,每周吸收热量c(k)保持某常数C，使体重w不变,不运动,运动(内容同前),3 差分形式的阻滞增长模型,连续形式的阻滞增长模型 (Logistic模型),t, xN, x=N是稳定平衡点(与r大小无关),离散形式,x(t) 某种群 t 时刻的数量(人口),yk 某种群第k代的数量(人口),若yk=N, 则yk+1,yk+2,=N,讨论平衡点的稳定性，即k, ykN ？,y*=N 是平衡点,离散形式阻滞增长模型的平
10、衡点及其稳定性,一阶(非线性)差分方程,(1)的平衡点y*=N,讨论 x* 的稳定性,变量代换,(1)的平衡点 x*代数方程 x=f(x)的根,稳定性判断,(1)的近似线性方程,x*也是(2)的平衡点,x*是(2)和(1)的稳定平衡点,x*是(2)和(1)的不稳定平衡点,补充知识,的平衡点及其稳定性,平衡点,稳定性,另一平衡点为 x=0,不稳定,的平衡点及其稳定性,初值 x0=0.2,数值计算结果,b 3, x,b=3.3, x两个极限点,b=3.45, x4个极限点,b=3.55, x8个极限点,倍周期收敛x*不稳定情况的进一步讨论,单周期不收敛,2倍周期收敛,(*)的平衡点,x*不稳定，研
11、究x1*, x2*的稳定性,倍周期收敛,的稳定性,倍周期收敛的进一步讨论,出现4个收敛子序列 x4k, x4k+1, x4k+2, x4k+3,平衡点及其稳定性需研究,时有4个稳定平衡点,2n倍周期收敛, n=1,2,bn 2n倍周期收敛的上界,b0=3, b1=3.449, b2=3.544, ,n, bn3.57,b3.57, 不存在任何收敛子序列,的收敛、分岔及混沌现象,b,4 按年龄分组的种群增长,不同年龄组的繁殖率和死亡率不同,建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律,假设与建模,种群按年龄大小等分为n个年龄组，记i=1,2, , n,时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记k
12、=1,2,以雌性个体数量为对象,第i 年龄组1雌性个体在1时段内的繁殖率为bi,第i 年龄组在1时段内的死亡率为di, 存活率为si=1- di,假设与建模,xi(k)时段k第i 年龄组的种群数量,按年龄组的分布向量,预测任意时段种群按年龄组的分布,Leslie矩阵(L矩阵),(设至少1个bi0),稳定状态分析的数学知识,L矩阵存在正单特征根1，,若L矩阵存在bi, bi+10, 则,P的第1列是x*,特征向量,解释,L对角化,稳态分析k充分大种群按年龄组的分布, 种群按年龄组的分布趋向稳定，x*称稳定分布, 与初始分布无关。, 各年龄组种群数量按同一倍数增减， 称固有增长率,3）=1时, 各年龄组种群数量不变, 1个个体在整个存活期内的繁殖数量为1,稳态分析,存活率 si是同一时段的 xi+1与 xi之比,（与si 的定义 比较）,3）=1时,