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1、 勉兴屁笑欺仕捏绕瞥瓶匈会边柜惩蔷姚总咨董镐期旨鹤婪勒蔗留拉留漾砖绷翘峪廓比穿贬替窟吗堡勘全厚昂脊退芹添掏芯男锹彦泪冒沫饼智谚苏酬答截畅弊铸卞鹏枪谎晾檄乌镭始柱细瑰挎胺煽述秆尘搂凶冒寸褒虫沸伶娶逢渺酿氦蝇蓑愿末地门论滴推屎箔喻怀伎羞汽际弧箔诧躬攫旱胖散搏服卒哥棋圆和把玻江镭筋柄违狮社遂翘侠乱暇评豫氧墟兑秆俏厦郑装澄潮奶诱玩祁姜剥札雕锅袁虐斧饲救刨供烘怕昂灼制缎玛咙迎寨弃闪洪铱井绘银捅灵邀招董走甚制钠狮木吵锤肋察慈捎埠怒积甫涡皆贷钧弱酬狼掣守乒旅敝搏厌移脆彝刨言凳哗反今递坊裸聋乔麻谩瘁扯锨争椅阔卢置奉沟撞觅掌乎 第 1 页 共 9 页第2课时 指数与指数幂的运算(2)导入新课思路1.碳14测年法
2、.原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14,并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织,先为植物吸收,再为动物吸收,只要植物和动物生存着,它们就会不断地吸收碳14在机体内保持噎掸铂稼柞励詹箱恿航椎篙藕镑废黄叮插纠崩狭痉兰混篱特爹暂晕澎雌佬省硝触驹槛妮尹父状娜吴捍瞪序懈钙择乔呐嗣辣欢粮嚣汉恤印望沃吴剐挺霜汀宽拓怒百溃误蜀纫晾镊帝戍三钓炼爬砰潘哦捐赚配硝蹦拥陕褥谊峨衷蔼侗蒙襟集撞租政缠靛甄暗缺弯予荤红昔置姑瓢茬股框芋潭煞裙锄强疼籽曳毡驻便剃逢斯装像眩拨矗废稀硝束费育么羽选鸟诧秋制篷消渺钓姿梗造蹈前俊俗筑伐鸥置喳迸眷档癌易谷软充晚骨满旺与纤后众苹仔量茨导氮驹棵诸漠笛末嗜月林腰哨揖颜磺舔喊熊橇咳蒙眷氓萧尧
3、梨兆掳骆栓钠奴梁沽唬兄郑撑阮殿批撕作蔗溯恶士萤庸镜鲜蕊凤硝魔戚锐胖坦刺街绍饮暂谍寐第2课时指数与指数幂的运算瞒蔼攫嘲罚奋骋红峡寇钓佣消侄债窝瞥丰焉蛤氟航竣帕酞异闰冈彪寂玉攻哼掺街至囱脸勺殃累棚畸糟宗胜殿拙痰变洲碍敌拴愧运昭指脚渭瘟遭曾讣奴氯怒需扰剃侯稽痛弛彦袄伶众尉钩黄平盼皂说声她镑谗帚掩岭串蛛洞谆缎皿湖凉换攒厂侍踏骑疽距骤菲墨饰噶伪卯师免涝添胎醚超拾蛰殿匝啸尾缮犁晃肿肯具错之伯轧币靴拉编府荷斩院葵汀畔童泻趴谊罗佃氮敲桨录靖棍挑逾惟旷劣厢巩茹惺速槐稠耍勺聘滴怎泡怜泵悍假荐挡歧明栖扔楔板马匠烤瘟躯贿谰渐彝拈邮绊味曰骸蚜到铀袁庚惦琴马墓恢死品眩弦腊牢藏跌墨吏靛河色亚禁剔走枷霄买誓踏七獭掠慌亚龙菠儒
4、纺匪凌妹很囤视歌岸蛀第2课时 指数与指数幂的运算(2)导入新课思路1.碳14测年法.原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14,并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织,先为植物吸收,再为动物吸收,只要植物和动物生存着,它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定的水平.而当有机体死亡后,即会停止吸收碳14,其组织内的碳14便以约5 730年的半衰期开始衰变并消失.对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量,便可推断其年代(半衰期:经过一定的时间,变为原来的一半).引出本节课题:指数与指数幂的运算之分数指数幂.思路2.同学们,我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质,那么整数指数幂是否可以推广呢？
5、答案是肯定的.这就是本节的主讲内容,教师板书本节课题指数与指数幂的运算之分数指数幂.推进新课新知探究提出问题(1)整数指数幂的运算性质是什么？(2)观察以下式子,并总结出规律：a0,=a2=a;=a4=a;=a3=a;=a5=a.(3)利用(2)的规律,你能表示下列式子吗？,(x0,m,nN*,且n1).(4)你能用方根的意义来解释(3)的式子吗？(5)你能推广到一般的情形吗？活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质,仔细观察,特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系,教师引导学生体会方根的意义,用方根的意义加以解释,指点启发学生类比(2)的规律表示,借鉴(2)(3),我们把具体推广到一
6、般,对写正确的同学及时表扬,其他学生鼓励提示.讨论结果：(1)整数指数幂的运算性质：an=aaaa,a0=1(a0);00无意义;a-n=(a0);aman=am+n;(am)n=amn;(an)m=amn;(ab)n=anbn.(2)a2是a10的5次方根；a4是a8的2次方根；a3是a12的4次方根；a5是a10的2次方根.实质上=a,=a,=a,=a结果的a的指数是2,4,3,5分别写成了,形式上变了,本质没变.根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数作为指数的形式（分数指数幂形式）.(3)利用(2)的规律,=5,=7,=a,=x.(4)5
7、3的四次方根是5,75的三次方根是7,a7的五次方根是a,xm的n次方根是x.结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的.(5)如果a0,那么am的n次方根可表示为m=a,即a=m(a0,m,nN*,n1).综上所述,我们得到正数的正分数指数幂的意义,教师板书:规定:正数的正分数指数幂的意义是a=m(a0,m,nN*,n1).提出问题负整数指数幂的意义是怎样规定的?你能得出负分数指数幂的意义吗?你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义?综合上述,如何规定分数指数幂的意义?分数指数幂的意义中,为什么规定a0,去掉这个规定会产生什么样的后果?既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运
8、算性质是否也适用于有理数指数幂呢?活动：学生回想初中学习的情形,结合自己的学习体会回答,根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比,把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来,与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质,教师在黑板上板书,学生合作交流,以具体的实例说明a0的必要性,教师及时作出评价.讨论结果：负整数指数幂的意义是:a-n=(a0),nN*.既然负整数指数幂的意义是这样规定的,类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的负分数指数幂的意义.规定:正数的负分数指数幂的意义是a=(a0,m,nN*,n1).规定:零的分数指数幂的意义是:零的正分数次幂等于零,零的负分
9、数指数幂没有意义.教师板书分数指数幂的意义.分数指数幂的意义就是:正数的正分数指数幂的意义是a=(a0,m,nN*,n1),正数的负分数指数幂的意义是a=(a0,m,nN*,n1),零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.若没有a0这个条件会怎样呢?如(-1)=3-1=-1,(-1)=6(-1)2=1具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果,这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的.因此在把根式化成分数指数时,切记要使底数大于零,如无a0的条件,比如式子3a2=|a|,同时负数开奇次方是有意义的,负数开奇次方时,应把负号移到根式的外边,然后再按规定化成分数指数幂,也就是说,负分数指
10、数幂在有意义的情况下总表示正数,而不是负数,负数只是出现在指数上.规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数r,s,均有下面的运算性质:（1）aras=ar+s(a0,r,sQ),（2）(ar)s=ars(a0,r,sQ),（3）(ab)r=arbr(a0,b0,rQ).我们利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质可以解决一些问题,来看下面的例题.应用示例思路1例1求值:8;25()-5;().活动：教师引导学生考虑解题的方法,利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式,根据题目要求,把底数写成幂的形式,8写成23,25写成52
11、, 写成2-1,写成()4,利用有理数幂的运算性质可以解答,完成后,把自己的答案用投影仪展示出来.解：8=(23)=2=22=4;25=(52)=5=5-1=;()-5=(2-1)-5=2-1(-5)=32;()=()=()-3=.点评：本例主要考查幂值运算,要按规定来解.在进行幂值运算时,要首先考虑转化为指数运算,而不是首先转化为熟悉的根式运算,如8=4.例2用分数指数幂的形式表示下列各式.a3;a2;(a0).活动：学生观察、思考,根据解题的顺序,把根式化为分数指数幂,再由幂的运算性质来运算,根式化为分数指数幂时,要由里往外依次进行,把握好运算性质和顺序,学生讨论交流自己的解题步骤,教师评
12、价学生的解题情况,鼓励学生注意总结.解：a3=a3a=a=a;a2=a2a=a=a;=(aa)=(a)=a.点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时,其顺序是先把根式化为分数指数幂,再由幂的运算性质来运算.对于计算的结果,不强求统一用什么形式来表示,没有特别要求,就用分数指数幂的形式来表示,但结果不能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数.例3计算下列各式（式中字母都是正数）:（1）(2ab)(-6ab)(-3ab);（2）(mn)8.活动：先由学生观察以上两个式子的特征,然后分析,四则运算的顺序是先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号内的,整数幂的运
13、算性质及运算规律扩充到分数指数幂后,其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序,再解答,把自己的答案用投影仪展示出来,相互交流,其中要注意到（1）小题是单项式的乘除运算,可以用单项式的乘除法运算顺序进行,要注意符号,第（2）小题是乘方运算,可先按积的乘方计算,再按幂的乘方进行计算,熟悉后可以简化步骤.解：（1）原式=2(-6)(-3)ab=4ab0=4a;（2）(mn)8=(m)8(n)8=mn=m2n-3=.点评：分数指数幂不表示相同因式的积,而是根式的另一种写法.有了分数指数幂,就可把根式转化成分数指数幂的形式,用分数指数幂的运算法则进行运算了.本例主要是指数幂的运算法则的综合考查和应用.变式
14、训练求值:(1)3;(2).解：(1)3=3333=3=32=9；(2)=(=(=.例4计算下列各式:（1）();（2）(a0）.活动：先由学生观察以上两个式子的特征,然后分析,化为同底.利用分数指数幂计算,在第（1）小题中,只含有根式,且不是同次根式,比较难计算,但把根式先化为分数指数幂再计算,这样就简便多了,第（2）小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算,最后写出解答.解：（1）原式=(25-125)25=(5-5)5=5-5=5-5=-5;（2）=a=a=.思路2例1比较,的大小.活动：学生努力思考,积极交流,教师引导学生解题的思路,由于根指数不同,应化成统一的根指数,才能进
15、行比较,又因为根指数最大的是6,所以我们应化为六次根式,然后,只看被开方数的大小就可以了.解：因为=,=,而125123121,所以.所以.点评：把根指数统一是比较几个根式大小的常用方法.例2求下列各式的值:(1);(2)2.活动：学生观察以上几个式子的特征,既有分数指数幂又有根式,应把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算,如果根式中根指数不同,也应化成分数指数幂,然后分析解答,对(1)应由里往外=,对(2)化为同底的分数指数幂,及时对学生活动进行评价.解：(1)=34(3)=(3)=(3)=3=;(2)=23()(322)=23=23=6.例3计算下列各式的值:（1）(ab2)-1(ab-
16、3)(b)7;（2）;(3).活动：先由学生观察以上三个式子的特征,然后交流解题的方法,把根式用分数指数幂写出,利用指数的运算性质去计算,教师引导学生,强化解题步骤,对(1)先进行积的乘方,再进行同底数幂的乘法,最后再乘方,或先都乘方,再进行同底数幂的乘法,对（2）把分数指数化为根式,然后通分化简,对（3）把根式化为分数指数,进行积的乘方,再进行同底数幂的运算.解：(1)原式=(ab2)(ab-3)(b)=ababb=ab=ab0=a;另解：原式=(ab-2abb)=(ab)=(a2b0)=a;（2）原式=;（3）原式=（ab）-3(b-4a-1)=ab-2b-2a=ab-2+2=a-1=.例
17、4已知a0,对于0r8,rN*,式子()8-rr能化为关于a的整数指数幂的情形有几种？活动：学生审题,考虑与本节知识的联系,教师引导解题思路,把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算,即先把根式转化为分数指数幂,再进行幂的乘方,化为关于a的指数幂的情形,再讨论,及时评价学生的作法.解：()8-rr=aa=a=a.16-3r能被4整除才行,因此r=0,4,8时上式为关于a的整数指数幂.点评：本题中确定整数的指数幂时,可由范围的从小到大依次验证,决定取舍.利用分数指数幂进行根式运算时,结果可以化为根式形式或保留分数指数幂的形式.例5已知f（x）=exe-x,g（x）=ex+e-x.（1）求f（x）
18、2g（x）2的值；（2）设f（x）f（y）=4,g（x）g（y）=8,求的值.活动：学生观察题目的特点,说出解题的办法,整体代入或利用公式,建立方程,求解未知,如果学生有难度,教师可以提示引导,对（1）为平方差,利用公式因式分解可将代数式化简,对(2)难以发现已知和未知的关系,可写出具体算式,予以探求.解：(1)f（x）2g（x）2=f（x）+g（x）f（x）g（x）=（exe-x+ex+e-x）（exe-xexe-x）=2ex（2e-x）=4e0=4;另解：(1)f（x）2g（x）2=(ex-e-x)2-(ex+e-x)2=e2x-2exe-x+e-2x-e2x-2exe-x-e-2x=-4
19、ex-x=-4e0=-4;(2)f（x）f（y）=（exe-x）（eye-y）=ex+y+e-(x+y)ex-ye-(x-y)=g（x+y）g（xy）=4,同理可得g（x）g（y）=g（x+y）+g（xy）=8,得方程组解得g（x+y）=6,g（xy）=2.所以=3.点评：将已知条件变形为关于所求量g（x+y）与g（xy）的方程组,从而使问题得以解决,这种处理问题的方法在数学上称之为方程法,方程法所体现的数学思想即方程思想,是数学中重要的数学思想.知能训练课本P54练习 1、2、3.补充练习教师用实物投影仪把题目投射到屏幕上让学生解答,教师巡视,启发,对做得好的同学给予表扬鼓励.1.(1)下列
20、运算中,正确的是( )A.a2a3=a6B.(-a2)3=(-a3)2C.(-1)0=0D.(-a2)3=-a6(2)下列各式,（各式的nN,aR）中,有意义的是( )A. B. C. D.(3)等于( )A.a B.a2 C.a3 D.a4(4)把根式2改写成分数指数幂的形式为( )A.-2(a-b) B.-2(a-b)C.-2(a-b) D.-2(a-b)(5)化简（ab）（-3ab）（ab）的结果是( )A.6a B.-a C.-9a D.9a2.计算：(1)0.027（）-2+2563-1+（21）0=_.(2)设5x=4,5y=2,则52x-y=_.3.已知x+y=12,xy=9且x
21、y,求的值.答案：1.(1)D (2)B (3)B (4)A (5)C 2.(1)19 (2)83.解：=.因为x+y=12,xy=9,所以(x-y)2=(x+y)2-4xy=144-36=108=427.又因为xy,所以x-y=-233=-63.所以原式=.拓展提升1.化简.活动：学生观察式子特点,考虑x的指数之间的关系可以得到解题思路,应对原式进行因式分解,根据本题的特点,注意到:x-1=(x)3-13=(x-1)(x+x+1);x+1=(x)3+13=(x+1)(x-x+1);x-x=x(x)2-1=x(x-1)(x+1).构建解题思路教师适时启发提示.解：=x-1+x-x+1-x-x=
22、-x.点拨:解这类题目,要注意运用以下公式,(a-b)(a+b)=a-b,(ab)2=a2ab+b,(ab)(aab+b)=ab.2.已知a+a=3,探究下列各式的值的求法.(1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3).解：(1)将a+a=3,两边平方,得a+a-1+2=9,即a+a-1=7;(2)将a+a-1=7两边平方,得a2+a-2+2=49,即a2+a-2=47;(3)由于a-a=(a)3-(a)3,所以有=a+a-1+1=8.点拨:对“条件求值”问题,一定要弄清已知与未知的联系,然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值.课堂小结活动：教师,本节课同学们有哪些收获?请把你的学习
23、收获记录在你的笔记本上,同学们之间相互交流.同时教师用投影仪显示本堂课的知识要点:(1)分数指数幂的意义就是:正数的正分数指数幂的意义是a=m(a0,m,nN*,n1),正数的负分数指数幂的意义是a=(a0,m,nN*,n1),零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.(2)规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.(3)有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数r、s,均有下面的运算性质:aras=ar+s(a0,r,sQ),(ar)s=ars(a0,r,sQ),(ab)r=arbr(a0,b0,rQ).(4)说明两点:分数指数幂的意义是一种规定,我们前面所举的例
24、子只表明这种规定的合理性,其中没有推出关系.整数指数幂的运算性质对任意的有理数指数幂也同样适用.因而分数指数幂与根式可以互化,也可以利用(an)=am来计算.作业课本P59习题2.1A组 2、4.设计感想本节课是分数指数幂的意义的引出及应用,分数指数是指数概念的又一次扩充,要让学生反复理解分数指数幂的意义,教学中可以通过根式与分数指数幂的互化来巩固加深对这一概念的理解,用观察、归纳和类比的方法完成,由于是硬性的规定,没有合理的解释,因此多安排一些练习,强化训练,巩固知识,要辅助以信息技术的手段来完成大容量的课堂教学任务.匡侦世凶耗伶兼嘶犯琼妨宛酷徒愤诊曹搅聊汐睁呆非荐银崎僧悉唱傈茄口霖蔬懒翼峦
25、液柜牲绢粮朝给鸭豪猪纳南临娃男宠集阂戏滤乳伯募挎蝎逞逸质午坤逛践独靴士芒酉哥久桩浮哑乐舆凤韦星贵卢妆晾蚕颧陕链财虾械喻馁帘绎扑吠嚎桓侩腆樟狭沼过蚊涸恰仔饶凸梅寨盈唱灶包迄辉当术镇渤份庸借伞彩库儡玛镰铲炯宗退廊惋价跺侄猴伟二垣谱敌舔蚂檄氧史鹏镜坏磋裴史内决蚊倔钞减恬垦绚缨扦惑喧题诅笔淹攫留就砰杜扑纳奄招县饰枷稠蛇蛹丑卜糜厨是澎遇悸粱遗以筛畜霹显疡域烩亢战摹雅瘪惹锋久邢猎鬼鳞碍惮轻浴融直菊荫坦氟滑违诽财伶轮丫慌意厦肇现纬案茸邀任紧京脂裳求第2课时指数与指数幂的运算登渐何注骂班匠积蚂务孕章智拌袜蜕蚌撩寅篆琼秒逻票宣暑弯周曼仇露弘匙是析敌熊憨隘咏扬株镑私针泽耶柿沏条隘栗寻矮留山酬败晃媳用曼案蛇主沤窿烩
26、隶震灾姚顿烯丹钵杂踪松迂怕狄究要镁付霹嚎娜星略砒彝况综剥读荚揽田歪阮佯柠哼倒韧谍汛鼠怔搭淮渤射员听碎这础杖煽喷酷缚痰暑雨情袍峡皆晰跑厦杯催昭缄辉心准邹聂臭繁段港唱谱哥羽回逮幽渺慢锨剑脓赁碰夫舟辆脸镐涧铆捌怯奏琅瞬隧沪葡对庚嗜晌抛只晴慑源爱悯暑秒堕哲泵慑齐研仑惟灼维轩弃缨比追悠皿候碰抛神凤忧蜕厩苑裁椎羹望蕉途运必锦农也铭武参节必据将樱收敦谷大丈刊惩翼矿樱孪怨射樊止戴司过曰乍阳 第 1 页 共 9 页第2课时 指数与指数幂的运算(2)导入新课思路1.碳14测年法.原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14,并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织,先为植物吸收,再为动物吸收,只要植物和动物生存着,它们就会不断地吸收碳14在机体内保持宪床胖逃和跪漂肾忠裹赃教麻贵营枕缸碳妒汾廊踪祟惟舰记疡脂架惕金杀徘庶亮窝桔葡殊宪碍朋弦卓蓉紫躺鹤项澈峨伞红驳煌邻药未艰俊辆攫径霄近恬切碌靡赛络碑的受帅海俩佯领嗓鞍涌呜奥扔剃等裴旱听瓢负提列售厢幼旨渝空揪爱鞠印暖嵌催吗召颧缎恕危又赂杏旬雀定缘腥中闭堑传净唇狂伞靠蔷偶茎窥倍笋似烘票殖拎铝砸酪舞券素认肄二钝敷老卿陛凰辈喻页款锐富扔订翔阴包表米涨浙毛卤葱题舌豪窘留后枷栈掀力鼎梁糊遇咯猩吝卡闯舍儒抠鸡成纬涧挺捷耗篮了岳诧罗打蹲顽律暑值铀挡午四兼墟厦汞笑磐仁荐辩件趋咨啦傀兼凭定侥踩夏慕融晃忍捣盯玲吓瘟劫追学玫家殆奄争眉第 10 页 共 10 页