《“距离之和最短”问题探讨.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《“距离之和最短”问题探讨.docx（3页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、“距离之和最短”问题探讨在数学教学活动中, 学生们常遇到一些题目涉及求“某一点到两定点之间的距离之和最短”( 距离之差最长)或某一个三角形、四边形周长最小的问题。碰到这类题目,他们常常束手无策。事实上, 解决这类题目的基本思路, 是将不在同一直线上的两条( 或几条 ) 线段通过对称、平移, 转化成一条线段的办法解决问题。一、基本图形如图 :A 、 B 两点是直线L 同侧的定点 , 在 L 上求作一点P, 使 PA+PB最短。方法 : 作 A、 B 两点中任一点关于 L 的对称点 A(B), 连接 AB(AB) 交 L 于点 P, 则 P 为 L 上所求作的点。此时PA+PB=AB,故 PA+P
2、B最短。这是常用办法 , 学生理解了这个基本图形的解题思路,就能以不变应万变。二、变式图形变式图形常将基本图形与三角形、四边形、平面直角坐标系、圆等知识融合。( 一) 如图 : 四边形 ABCD是边长为 8 的正方形 ,E 为 CD边上的定点 ,CE=2,M 为对角线 BD上的一点 , 且能满足 ME+MC最短 , 试在图中确定 M点的位置 , 并求出 MC+ME的最小值。分析 : 此题应将BD视为基本图形中的直线L,C、 E 为 BD同侧两点 , 考虑到 A、C 关于直线 BD对称 , 故只需直接连接AE,与 BD的交点即为 M,此时 MC+ME=AE=62+82=10。( 二) 如图 :
3、在平面直角坐标系中 ,A 、 B 两点在第四象限 , 两点的坐标分别是 A(1,-1) 、B(3,-2), 在 x 轴上求作一点 P, 使 PA+PB最短 , 并求出 P 点的坐标。分析 : 作出 A 点关于 x 轴的对称点 A(1,1), 连接 AB 交 x 轴于 P,P 点即为所求作的点。求出直线 AB的解析式为 y=-23x+52, 令 y=0 可得出 P 点的横坐标为 (53,0) 。( 三) 如图 : MON=30,A为 ON上的定点 ,OA=4,B 为 OM上的动点 , 过点 B 作 BHON于 H, 试问 : 当 B 点运动至何处时 ,AB+BH最短 ?分析 : 此题的关键是将B
4、H+AB转化成一条线段, 可通过轴对称和“点到直线的距离最短”来实现这种转化。方法 : 作 A 点关于 OM的对称点 A, 过 A作 AHON 交 OM与 B点, 则 B为所求的点。此时 AB+BH=AH。要求 AH的长 , 可连接 OA, 不难得到三角形 AOA是等边三角形 , 其边长为 4, 易得高 AH=42-22=23, 故 AB+BH的最小值为 23。三、拓展创新求 x2+1+(4-x)2+9 的最小值。运用数形结合思考, 将 x2+1 看成以 x 和 1 为直角边的直角三角形的斜边长, 将 (4-x)2+9看成以 4-x 和 3 为直角边的直角三角线的斜边长, 可构成如右图形:图中 AB=4,ACAB,BDAB,AC=1,BD=3,P 为 AB上的一点 ,设 AP=x,则 BP=4-x 。 PC=x2+1,PD=(4-x)2+9, 则求代数式x2+1+(4-x)2+9的最小值 , 即使 PC+PD最短 , 可利用基本图形解决这一问题 ( 过程略 ), 其最终结果为42。