最新高中数学-人教A版-必修2-第二章知识点总结名师优秀教案.doc

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1、第1页 版权所有 不得复制 年 级 高一 学 科 数学 版 本 人教新课标A 版 课程标题 必修2 第二章 第1节 空间点、直线、平面之间的位置关系 编稿老师 一校 二校 审核 一、学习目标: 1. 掌握平面的表示法及水平放置的直观图;掌握平面的基本性质、作用及公理1-3; 2. 了解空间中两条直线的位置关系;理解异面直线的概念、画法,理解并掌握公理4;理解并掌握等角定理;异面直线所成角的定义、范围及应用. 3. 了解空间中直线与平面的位置关系;了解空间中平面与平面的位置关系。 二、重点、难点: 重点:平面的概念及表示;平面的基本性质,公理1-3中的图形语言及符号语言;异面直线的概念;公理4及

2、等角定理;空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系. 难点:平面基本性质的掌握与运用;异面直线所成角的计算;用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系. 三、考点分析: 考纲对这部分知识的要求是:理解空间点、直线和平面的位置关系,掌握平面的基本特性,直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系。在考试中对点、线、面位置关系的考查经常出现在选择题中,求异面直线所成的角经常出现在选择题和解答题中。 1. 平面的含义、画法及表示 2. 点和面的位置关系 点A 在平面内,记作:A 点B 在平面外,记作:B 3. 公理13 (1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 符号语言

3、表示为: A l B l l A B ? ? l B A 公理1作用:判断直线是否在平面内 (2)公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面. 符号语言表示为:A 、B 、 C 三点不共线?有且只有一个平面,使A 、B 、C . 公理2作用:确定一个平面的依据. 推论1:过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面。 推论2:过两条相交直线,有且只有一个平面。 推论3:过两条平行直线,有且只有一个平面。 (3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 符号语言表示为:P ?=l 且P l 公理3作用:判定两个平面是否相交的依据 4. 空间中的两条直线的

4、位置关系 异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点. 5. 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行. 符号表示为:设a 、b 、c 是三条直线 c a b c b a /? ? 公理4作用:判断空间两条直线平行的依据. 6. 异面直线所成的角 (1)已知异面直线a 、b ,经过空间中任一点O 作直线aa 、bb ,我们把a与b所成的锐角(或直角)叫异面直线a 与b 所成的角(夹角). (2)注意: a与b所成的角的大小只由a 、b 的相互位置关系来确定,与O 点的选择无关,为了 简便,点O 一般取在两直线中的一条上; 两条异面直线所成的角(0, 2 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就

5、说这两条异面直线互相垂直,记作a b ; 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角. 7. 直线与平面的位置关系 (1)直线在平面内 有无数个公共点 (2)直线与平面相交 有且只有一个公共点 (3)直线与平面平行 没有公共点 直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用?a 来表示 a ? a=A a 8. 两个平面的位置关系 (1)两个平面平行没有公共点 (2)两个平面相交有且只有一条公共直线 用类比的方法,可使学生快速地理解与掌握新内容,这两种位置关系用图形语言表示为 l =l 知识点一:确定平面 例1. 空间四点

6、可以确定几个平面?三条直线两两相交可确定几个平面?空间四条平行直线可以确定几个平面?一条直线和直线外不在同一条直线上的三点可确定多少个平面? 思路分析:利用公理2可以解决确定平面的问题 解答过程:1. 空间四点可以确定0个、1个、4个平面。 三点确定一个平面,讨论第四个点是否在平面上。 2. 三条直线两两相交可确定1个或3个平面。 3. 空间四条平行直线可以确定1个、4个、6个平面。 4. 一条直线和直线外不在同一条直线上的三点可确定1个、3个、4个平面。 解题后的思考:对于空间中点、线的位置关系要全面分析,不要遗漏。 知识点二:点、线共面 例2. 如图,正方体ABCD 1111D C B A

7、 中E 、F 为1AA 、1CC 中点。求证:1D 、E 、F 、B 四点共面。 思路分析:利用公理1和2可解决点共面的问题,从而解决确定平面的问题。 解答过程:连接E D 1交DA 延长线于M E 为A A 1中点 MA=AD 同理,连接F D 1交DC 延长线于N ,CN=CD 正方体ABCD 1111D C B A MA=AB=BC=CN ?=45MBA ,?=90ABC ,?=45CBN ?=180MBN M 、B 、N 三点共线l l D ?1,1D 、l 确定平面 D 1、E 、M 、B 、N 、F 六点共面,从而D 1、E 、F 、B 四点共面 解题后的思考:将几个公理结合起来使

8、用是解决问题的关键 例3. 如图,正方体1111D C B A ABCD -,E 、F 、G 、H 、M 、N 为各棱中点,求证:EFGHMN 为正六边形。 A F B E D N H G M C A 1 D 1 C 1 B 1 EF/NG ,确定平面 同理,FG/EH , 确定平面 与有三个不在同一条直线上的三点E 、F 、G 、重合 E 、F 、G 、H 、N 五点共面 同理E 、F 、G 、H 、M 、N 六点共面 且EF/MH 、FG/NM 、EN/GH EFGHMN 是正六边形 解题后的思考:证明共面问题有以下两个方法:(1)先确定一个平面,再证明其余元素均在这个平面上(2)先证明这

9、些元素分别在几个平面上,再证明这些平面重合 例4. 如图所示,ABCD A 1B 1C 1D 1是正方体,画出图中阴影部分的平面与平面ABCD 的交线,并给出证明。 思路分析:确定两个平面的交线,就是找两个平面的两个公共点,本题中已经给出一个公共点,只需利用分别在两个平面内且相交的直线来确定另一个交点。 解答过程:如图,过点E 作EN CD 于点N ,连结NB 并延长,交EF 的延长线于点M ,连结AM ,因为直线EN/BF ,所以B 、N 、E 、F 四点共面。 因此EF 与BN 相交,交点为M , 因为EF M ,且NB M , 而?EF 平面AEF ,NB ?平面ABCD , 所以M 是

10、平面ABCD 与平面AEF 的公共点, 又因为点A 是平面AEF 和平面ABCD 的公共点, 所以AM 为这两平面的交线。 知识点三:异面直线所成的角 例5. 正方体1111D C B A ABCD -的棱长为a ,对角线C A 1长为a 3。 1BA 与1CC 所成的角。 异面直线B A 1与C B 1所成的角。 异面直线B A 1与1AC 所成的角。 M 、N 为11C D 、11B C 中点,MN 与AC 所成角。 H 为BC 中点,H C 1与B D 1所成角的余弦值。 思路分析:利用异面直线的定义,构造三角形利用余弦定理求解 解答过程: 11/CC BB 1BA 与1BB 所成锐角即

11、为两条异面直线所成的角 ?=4511BB A 。 D A C B 11/,BD A 1?为等边三角形 B A 1与C B 1所成的角为?60 延长DC 至E 使CE=CD ,E C C D B A 111/ 1AEC ?中,a C A AC 311=,a E C 21=, ADE Rt ?中,DE=a 2,AD=a AE a 5=,由余弦定理?=901E AC MN/BD BD AC 所成角为?90 F 为AD 中点,F D H C 11/,F BD 1?中, a B D 31=,a F D 2 51= a BF 25 =,B D F D BF B D F D B FD 112212112co

12、s ?-+= a a a a a 2 5 32454532 22?-+= 515 15 3= 所成角的余弦值为 5 15 解题后的思考:“平移找角”,“补形法”是求异面直线所成角的基本方法 例6. 四面体ABCD ,棱长均为a (正四面体) 求AC 、BD 所成的角。 E 、F 为BC 、AD 中点,求AE 、CF 所成角的余弦值。 思路分析:利用异面直线的定义,构造三角形利用余弦定理求解 解答过程:H 为CD 中点 EH/BD ,EH= 2 a ,FH/AC 2 a FH = ,EHF 为两条异面直线AC 、BD 所成角或其补角 0cos =EHF ?=90EHF K 为DE 中点,连结FK

13、 ,FK/AE CF 与FK 所夹锐角为异面直线AE 、CF 所成角 a CF 23= ,a AE FK 4 321= a EK CE CK 4 7 22=+= cos 2 222=?-+=a a a a CFK 所成角的余弦值为32 解题后的思考:在封闭几何体中求异面直线所成角,经常利用中位线的平行关系进行平移找角。 一、预习新知 请同学们预习 必修2 第二章 第2节 直线、平面平行的判定及其性质 二、预习点拨 通过预习,请回答下列问题: 1. 直线与平面平行的判定定理,两个平面平行的判定定理的内容是什么? 2. 直线与平面平行的性质定理,两个平面平行的性质定理的内容是什么? (答题时间:5

14、0分钟) 一、选择题: 1. 已知,为平面,A 、B 、M 、N 为点,a 为直线,下列推理错误的是( ) A. ?a B a B A a A , B. MN N N M M =? , C. A A A =? , D. 重合、不共线、,且、?M B A M B A M B A , 2. 在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,已知棱长为a ,则异面直线A 1B 与B 1C 所成角的大小为( ) A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 3. 设P 是异面直线a 、b 外的一点,则过P 点且与a 、b 都平行的平面( ) A. 有且只有一个 B. 恰有两个 C. 没有或只有一个 D.

15、 有无数个 4. 若三个平面把空间分成6个部分,那么这三个平面的位置关系是( ) A. 三个平面共线 B. 有两个平面平行且都与第三个平面相交 C. 三个平面共线,或两个平面平行且都与第三个平面相交 D. 三个平面两两相交 二、填空题: 5. 用符号语言表示下列语句: (1)点A 在平面内,但在平面外 ; (2)直线a 经过平面外一点M ; (3)直线a 在平面内,又在平面内,即平面和相交于直线a 。 6. 分别与两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是 7. 在四面体A-BCD 中,AD=BC ,且BC AD ,E ,F 分别是AB ,CD 的中点,则EF 与BC 所成的角为 三、解答题:

16、8. 证明:已知b a /c /,A l a =?,B l b =?,C l c =?,求证:c b a 、l 、四线共面。 9. 正方体1AC 中,E 、F 为AB 、B B 1中点,求E A 1、F C 1所成的角的余弦值。 一、选择题: 1. C 解析:选项A 反映的是公理1,选项B 反映的是公理3,选项D 反映的是两平面重合的条件,选项C 中与相交,点A 在交线上,故选项C 表述错误。 2. C 解析:如图,连接A 1D ,BD ,A 1D/B 1C ,BA 1D 为所求,在A 1DB 中,A 1D=BD=A 1B ,DA 1B=60。 3. C 解析:设点P 与直线a 确定的平面为,

17、当b 平行于a 时,过点P 且与a 、b 都平 行的平面不存在;当b 不平行于a 时,过点P 且与a 、b 都平行的平面有且只有一个。 4. C 二、填空题: 5. (1)?A A 且 (2)a M M ?, (3)a a a =? ,即且 6. 相交或异面 7. 解析:如图所示,取BD 的中点G ,连接EG ,GF ,则EFG 为异面直线EF 与BC 所 成的角。因为BC AD GF EG BC AD BC GF AD EG =。因为,所以且,2 1 ,21, EG/AD ,GF/BC ,所以EG GF ,所以EGF 为等腰直角三角形,所以EFG=45。 三、解答题: b a /A 、B ?

18、l ,?b c b /确定平面 同理?l ?b B l b =? 过两条相交直线l 、b 有且仅有一个平面 、重合 c b a 、l 、四线共面 9. 证明:H 在11B A 上,1114 1 B A H B = M 为11B A 中点 HF BM E A /1 HF 与F C 1所成角等于异面直线E A 1、F C 1所成的角 设棱长为a a HF a F C 4 5,251= a H C 4 17 1= FH C 1?中,5 2 cos 1= FH C E A 1、F C 1所成角的余弦值为5 2 年 级 高一 学 科 数学 版 本 人教新课标A 版 课程标题 必修2 第二章 第2节 直线

19、、平面平行的判定及其性质 编稿老师 一校 二校 审核 一、学习目标: 1. 理解并掌握直线与平面平行的判定定理;理解并掌握两平面平行的判定定理. 2. 掌握直线与平面平行的性质定理及其应用;掌握两个平面平行的性质定理及其应用. 二、重点、难点: 重点:直线与平面平行的判定定理及其应用;两个平面平行的判定;直线与平面平行的性质定理及其应用;两个平面平行的性质定理。 难点:线面平行的判定定理和性质定理的应用。 三、考点分析: 立体几何中的平行关系是一种很重要的关系,在高考中的选择题、填空题几乎每年都考,难度适中。解答题以多面体为载体往往与其他考点考察,以中档题为主。 1. 直线与平面平行的判定定理

20、:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行. 简记为:线线平行,则线面平行. 符号表示:/a b a a b ? ? ? 2. 两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行. 符号表示: /a b a b P a b ? ?=? ? 推论1. /,/,/? ?=?=? Q b a P b a b a b a b b a a 推论2. /? ? 3. 直线与平面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. 简记为:线面平行,则线线平行. 符号表示:/a a a b b ? ?=? 作用:利用该

21、定理可解决直线间的平行问题. 4. 两个平面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行. 符号表示:/a a b b ? ? =?=? 作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行。 推论:/a a ? ? ? 知识点一:线面平行的判定 例1. 如图所示,在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,点M 是棱DD 1的中点。求证:BD 1/面MAC 。 思路分析:利用线面平行的判定定理“线线平行,则线面平行”进行解答。 解答过程: 证明:设直线AC 与BD 交于点N ,连结MN 。 则在BDD 1中,因为M ,N 分别为边DD 1,BD 的中点, 所以MN/BD

22、 1。 又直线MN ?面MAC ,BD 1?面MAC ,所以BD 1/面MAC 。 解题后的思考: 要证线面平行,可先证线线平行,这是解决此类问题的基本思想。同时,在使用线面平行的判定定理时,要特别注意一个细节:在说明或证明的过程中务必要体现一个“内”,一个“外”,此点亦是定理的核心所在。 例2. 如图,两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ,FB N AC M ,且AM=FN ,求证:MN/面BCE 。 思路分析:利用线面平行的判定定理,在平面BCE 中找到与MN 平行的直线,进而求证。 解答过程:证明:作MG BC 于G ,NQ BE 于Q ,连结GQ ,则MG/AB

23、,NQ/AB MG/NQ BF BN EF NQ CA CM AB MG =, 而BN FN BF AM AC CM =-=-= EF NQ AB MG = MG=NQ 四边形MGQN 为平行四边形 MN/GQ MN ?面BCE ,GQ ?面BCE MN/面BCE 解题后的思考:证明线面平行可以通过“过线作面找交线”,“线线平行,则线面平行”的方法、定理来解决。 知识点二:线面平行的性质 例3. 求证:如果一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线和它们的交线平行。 思路分析:可以考虑用线面平行的性质定理来证明线线平行。 解答过程: 已知:l =?,/,/a a ,求证:l a / 证明:过a

24、 作面交面于b /a b a / 同理,过a 作c =? /a c a / c b / 又?c b , /b 又面过b 交于l l b / b a / l a / 解题后的思考:可利用“线面平行,则线线平行”的判定定理来解答。 知识点三:面面平行的判定 例4. 如图所示,点P 是ABC 所在平面外一点,A、B、C分别是PBC 、PCA 、PAB 的重心,求证: (1)平面ABC/平面ABC 。 (2)AB= 3 1 AB 。 思路分析: 由三角形重心易联想到三角形的中线交点,且交点分中线的比为2:1,在图中取AB 、BC 、CA 的中点M 、N 、Q ,连结后即可证明。 解答过程: 证明:(1

25、)如上图所示,取AB 、BC 、CA 的中点M 、N 、Q ,连结PM 、PN 、PQ 、MN 、NQ 、QM ,由A、B、C为PBC 、PCA 、PAB 的重心, A、B、C分别在PN 、PQ 、PM 上,且3:2:=PQ B P PN A P PM C P 。 在PMN 中, 32=PN A P PM C P , MN C A /。 A C ?平面ABC ,MN ?平面ABC 。 A C /平面ABC 。 A C /MN 。 A C ?平面ABC ,MN ?平面ABC 。 A C /平面ABC 。 同理,A B /平面ABC 。 A C A B A =?, 平面A、B、C/平面ABC 。

26、(2)由(1)知3 1 ,21,32=AB B A AB QN QN B A 。 解题后的思考: 利用三角形重心的性质可得线段成比例,从而可以得到线线平行,由线线平行可推得线面平行,从而推得面面平行,要理解并掌握三者之间的紧密联系、相互转化。 例5. 如图1,在棱长为2的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,AB 的中点为P ,在线段AP 上取一点M 作与面PB 1C 平行的截面,此截面可能是平行四边形吗?若是,求出这个平行四边形的面积;若不是,请说明理由。 思路分析:“在线段AP 上取一点M 作与面PB 1C 平行的截面”如何作?其实,就是分别作PC 与PB 1的平行线,这两条线会与D

27、C ,A 1B 1都相交,但过这两条线作平面会是一个什么样的平面呢?并非一目了然,需要同学们有较好的空间想象能力。 解答过程: 固定:取面PB 1C 。 运动:将面PB 1C 向后平行移动,显然出现三种情况: (1)当M 与P 重合时为三角形,如图2。 (2)当M 在A ,P 之间时所作的平面为五边形,如图3。 (3)当M 与A 重合时,截面AEC 1F 为平行四边形,如图4。结合勾股定理,易得此平行四边形为菱形,且两对角线长分别为22与32, 故平行四边形AEC 1F 的面积为 6232222 1 =?。 解题后的思考:运用运动的观点解决问题,可以加深对问题的理解,对解决问题很有帮助。 知识

28、点四:面面平行的性质 例6. 一个多面体的直观图及三视图如图所示(其中M ,N 分别是AF ,BC 的中点),求证:MN/平面CDEF ,并且求多面体的体积。 思路分析:证明线面平行可以考虑利用面面平行的性质,过MN 作出与面CDEF 平行的平面。 解答过程: 由三视图可知,该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE BCF ,且AB=BC=BF=2,DE=CF=22,且CBF=90。 (1)取BF 的中点G ,由M ,N 分别为AF ,BC 的中点可得,NG/CF ,MG/EF ,所以面MNG/面CDEF ,所以MN/平面CDEF 。 (2)由分析知,42222 1 =?=V 。 解题后的思

29、考: 从高考中出现的试题看,将三视图与传统题目结合起来考查是高考的热点内容之一,其中对三视图的考查有加深的趋势。 例7. 如图,正四棱锥S ABCD 的底面边长为a ,侧棱长为2a ,点P 、Q 分别在BD 和SC 上,并且BP PD =12,PQ 平面SAD ,求线段PQ 的长。 思路分析: 要求出PQ 的长,一般需设法构造三角形,使PQ 为其一边,然后通过解三角形的办法来处理。 解答过程: 作PM AD 交CD 于M ,连结 QM ,PM 平面SAD ,PQ 平面SAD 。 平面PQM 平面SAD ,而平面SCD 分别与此两平行平面相交于QM ,SD 。 QM SD. BC =a ,SD

30、=2a. PD BP =21 . BC MP =BD PD =32,MP =32a , SD MQ =CD MC =BD BP =31 。 MQ =3 1SD =32 a ,又PMQ =ADS 。 cos PMQ =cos ADS =a a 221=4 1 。 在PMQ 中由余弦定理得 PQ 2=( 32a)2+(32a)2-232a32a41=96 a 2。 PQ =3 6 a 。 解题后的思考:解答本题的关键是灵活运用面面平行的判定和性质,结合平行线截成线段比例的定理,最后由余弦定理求得结果。本题的综合性较强。 直线和平面平行时,注意把直线和平面的位置关系转化为直线和直线的位置关系,直线和

31、平面的性质在应用时,要特别注意:“一条直线平行于一个平面,就平行于这个平面的一切直线的”的错误结论。 一、预习新知 请同学们预习必修2 第二章 第3节 直线、平面垂直的判定及其性质 二、预习点拨 通过预习,请同学们回答下列问题: 1. 直线和平面垂直的定义及判定定理的内容是什么?什么是直线和平面所成角? 2. “二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念是什么? 两个平面垂直的判定定理的内容是什么? (答题时间:40分钟) 一、选择题: 1. 有以下三个命题,其中正确的命题是( ) 若直线a 与平面相交,则内不存在与a 平行的直线; 若直线b /平面,a 与直线b

32、垂直,则直线a 不可能与平行; 直线a ,b 满足/a ,且?b ,则a 平行于经过b 的任何平面。 A. B. C. D. 2. 下列命题中正确的是( ) A. 平行于同一平面的两条直线平行 B. 同时与两条异面直线平行的平面有无数多个 C. 如果一条直线上有两点在一个平面外,则这条直线与这个平面平行 D. 直线l 不在平面内,则/l 3. 若平面/平面,直线?a ,点B ,过点B 的所有直线中( ) A. 不一定存在与a 平行的直线 B. 只有两条与a 平行的直线 C. 存在无数条与a 平行的直线 D. 有且只有一条与a 平行的直线 4. 设/,A ,B ,C 是AB 的中点,当A 、B

33、分别在平面、内运动时,那么所有的动点C ( ) A. 不共面 B. 当且仅当A 、B 分别在两条直线上移动时才共面 C. 当且仅当A 、B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面 D. 不论A 、B 如何移动,都共面 二、填空题: 5. 正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,与AC 平行且过正方体三个顶点的截面有_个。 6. a ,b ,c 是三条直线,是两个平面,如果c b a /,?a ,?b ,?c ,那么平面与平面的位置关系是_。 7. 对于不重合的两个平面与,给定下列条件: 存在平面,使得、都平行于平面; 内有不共线的三点到平面的距离相等; 存在异面直线l 、m ,使得/,/,

34、/,/m m l l 。 其中可以判断两个平面与平行的条件有_。 8. 已知平面/,两条直线l ,m 分别与平面,相交于点A ,B ,C ,和D ,E ,F ,已知5 2 , 6=DF DE AB ,则AC=_。 三、解答题: 9. 长方体1111D C B A ABCD -中,如下图,点M BA PA BB P =?11,N BC PC =?1 求证:MN/平面ABCD 。 10. 如图,已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1,求证:平面AB 1D 1/平面BDC 1。 一、选择题: 1. D 解析:正确,若内存在a ,且a a /,则/a ,这和a 与相交矛盾,错误,a 与可能平行

35、,错误,当b a /时,a 可能在过b 的平面内,当a 与b 不平行时,a 与过b 的任何平面都不平行。 2. B 解析:平行于同一平面的两条直线有三种位置关系,故A 错;当直线与平面相交时,直线上有无数点在平面外,故C 错;直线l 不在平面内时,l 可能与平行,也可能相交,故D 错。 3. D 4. D 解析:如图,B A 、分别是A 、B 两点在、上运动后的两点,此时AB 中点变成B A 中点C ,连结B A ,取B A 中点E ,连结CE 、E C 、A A 、B B 。 则CE/A A ,CE/。 E C /B B ,E C /。 又/,E C /。 E CE E C =?,平面E C

36、 C /平面。 C C /。所以不论A 、B 如何移动,所有的动点C 都在过C 点且与、平行的平面上。 二、填空题: 5. 2 解析:AC/A 1C 1,AC/面BA 1C 1,AC/面DA 1C 1,符合题意的平面共2个。 6. 平行或相交 7. 解析:若与相交,如图,可在内找到A 、B 、C 三个点到平面的距离相等,所以排除。容易证明都是正确的。 8. 15 解析:/ ,EF DE BC AB = 。 由 52=DF DE ,得3 2 ,32=BC AB EF DE 。 而AB=6,BC=9,AC=AB+BC=15。 三、解答题: 9. 证明:连结AC ,A 1C 1,因为1111D C

37、B A ABCD -是长方体,所以11/C A AC 又因为?AC 平面11C BA ,?11C A 平面11C BA 所以AC/平面11C BA ,又因为AC ?平面PAC ,且平面?PAC 平面MN C BA =11 所以AC MN /,因为?MN 平面ABCD ,?AC 平面ABCD ,所以MN/平面ABCD 10. 证明:AB = /C 1D 1,C 1D 1=/A 1B 1,AD 1/BC 1AB =/A 1B 1, 四边形ABC 1D 1为平行四边形,又AD 1?平面AB 1D 1,BC 1?平面AB 1D 1,BC 1/平面AB 1D 1,同理,BD/平面AB 1D 1,又BDB

38、C 1=B , 平面AB 1D 1/平面BDC 1。 年 级 高一 学 科 数学 版 本 人教新课标A 版 课程标题 必修2 第二章 第3节 直线、平面垂直的判定及其性质 编稿老师 一校 二校 审核 一、学习目标: 1. 掌握直线和平面垂直的定义及判定定理、性质定理和方法;理解和掌握线面角的概念及求法; 2. 理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念。 3. 掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用。 二、重点、难点: 重点:直线与平面垂直的定义和判定定理,线面角的概念;平面与平面垂直的判定及二面角的求法。 难点:线面垂直判定定理的证明及线面角、二面角

39、的平面角的求法。 三、考点分析: 空间中的垂直关系是立体几何的一种重要关系,历年的高考试题中,这部分内容都是命题热点,尤其求线面角、二面角更是热点中的热点,以考查学生的能力为主,内容上综合直线和平面及简单几何体于一体,考查空间的垂直关系。 1. 线面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 ?=?l b a A b a b l a l , A a b l 2. 直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角。直线与平面所成角2 ,0 l 规定为?90 ?l 或/l 规定为?0 l 与斜交,为l 与其在平面内

40、射影所夹锐角。 3. 二面角 (1)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面。 表示方法:二面角-l 或-AB (2)二面角的平面角:一个平面垂直于二面角-l 的棱l ,且与两个半平面的交线分别是射线OA 、OB ,O 为垂足,则AOB 叫做二面角-l 的平面角。 (3)二面角的范围是: 1800。 当两个半平面重合时 0=,相交时 1800,共面时 180=。 (4)求二面角大小的关键是作出二面角,以下为作二面角的平面角的方法: 法一:(定义法)在二面角的棱上找一特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线。 如图,AOB 为二面角-a 的平面角。 法二:(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角。 如图,AOB 为二面角-l 的平面角。 法三:(垂线法)过二面角一个面内的一点作另一个平面的垂线,过垂足作棱的垂线,利用线面垂