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1、高等数学知识在物理学中的应用举例一导数与微分的应用分析 利用导数与微分的概念与运算，可解决求变化率的问题。求物体的运动速度、加速度的问题是典型的求变化率问题。 在求解这类问题时，应结合问题 的物理意义，明确是在对哪个变量求变化率。 在此基础上，灵活运用各类导数和 微分公式解决具体问题。例1如图，曲柄OA = r,以均匀角速度缶饶定点O转动.此曲柄借连杆AB使滑块B沿直线Ox运动.求连杆上C点的轨道方程及速度.设AC = CB = a,AOB = , ABO .解1)如图，点C的坐标为：x = r co S +a co S ,(1)y = asin .(2)由三角形的正弦定理，有 r 2asin
2、 sin，故得2asin 2ySin =.r r由得x-a cosx - . a - ycos 二二rr由(3)2 +(4)2 =sin2 中 +cos2 中=1,得22222=1,x a -y -2x a -y化简整理，得C点的轨道方程为：/2,22、 ，2222、24x (a - y ) = (x 3y a - r ).r co s2）要求C点的速度，首先对（1）,（2）分别求导，得.:r c o s .： x = -r sin -sin,2cos又因为rsin中=2asinW 对该式两边分别求导 得、: r co s2ac o s所以C点的速度.r co s .、2-r，si nsi n
3、 )r 2co s2cos、c os； +4s i n c o s s i n ( ).例2若一矿山升降机作加速度运动时，其加速度为a=c（1-sin二），式中c及2TT为常数，已知升降机的初速度为零，试求运动开始t秒后升降机的速度及其所走 过的路程.解：由题设及加速度的微分形式a=，有 dtt、，dv = c（1 -sin ）dt, 2T对等式两边同时积分vt二 t0dLe刹一输亓）出,得:2T 二 t _ v = ct c cosD2T其中D为常数.2T由初始条件：v=0, t = 0,得D = -4Tc,于是冗2T二 tv = ct (cos 1).二2T又因为v =虫，得 dt2T二
4、tds = ct - (cos 1)dt, 二2T对等式两边同时积分，可得:s -c-t2 2T(2Tsin- -t).22T例3宽度为d的河流，其流速与到河岸的距离成正比。在河岸处，水流速度为零，在河流中心处，其值为 c. 一小船以相对速度u沿垂直于水流的方向行 驶，求船的轨迹以及船在对岸靠拢的地点所以水流速度为解 以一岸边为x轴，垂直岸的方向为y轴，如图建立坐标系dky, 0 w y J,I dk(d y), y d.2由河流中心处水流速度为c，ac = kx-=kx(d -)，所以k=2c 22d,d2c 一当0y Md时，v=y,即2ddx 2c x丁丁,2cu43 dx =tdtd两
5、边积分，有tdt,x0dx 二%2 d由(1)-(2)，得c 2dx -y , 0 - y -.ud2， d, 2c一同理，当 d Ey Ed 时，v = 2c(d y)，即2ddx dt2c(d - y) d2c (d - ut ), d2cdx = (d - ut)dt d2c c 2cx 二一 y - 一 yDu ud其中D为一常数。由(3)知，当yx=4U,代入，得D=-2U,于是所以船的轨迹为2c c 2X=ycd, 2uc 2x y ,ud2c c 2x = y j yuud0cd2ud , y 0）或（q 0）.于是在圆盘中心x=o处，磁感应强度B=一q.2- R例8雨滴下落时，
6、其质量的增加率与雨滴的表面积成正比，求雨滴速度与 时间的关系。解：设雨滴的本体为m.由物理学知一 (mv) = F. 出1）在处理这类问题时，常常将模型的几何形状理想化。对于雨滴，我们常 将它看成球形，设其半径为r,则雨滴质量m是与半径r的三次方成正比，密度看 成是不变的，于是m = k1r 3其中ki为常数。2）由题设知，雨滴质量的增加率与其表面积成正比，即dm ,二k dt,2,24 二 r二 k2，其中k2为常数。由（2）,得dm 2 dr ki 3rdtdt由(3)=(4),得drk2=1.dt3ki，rt又t(5)两边积分：d dr = pdt,得r = t a,将(6)代入(2),
7、得.,、3m = k1( t a).3)以雨滴下降的方向为正，分析(1)式d33k1( t a) v = k1 ( t a) g,dtv3t30 d kit a) v = o ki( t a) gdt,(2)(5)(6)(8),1ki( Kt +a) v = k1g(Kt +a) + k3, ( k3为吊数) 4，,44当 t=0 时，v=0,故 k3 =_k1ga-7=旦盘+2a.4-4(t a)3三曲线、曲面积分的应用分析 曲线、曲面积分的概念与运算在物理学中应用非常广泛，灵活应用曲 线、曲面积分，往往能使问题得到简化。在求磁感应强度、磁通量这类问题时， 高斯公式往往是有效的。例 9 设力
8、 F =Fxi +Fyj +Fzk,其中 Fx = 6abz3y 20bx3y2, Fy =6abxz3- 10bx4y, Fz =18abxyz2,验证F为保守力，并求出其势能。解：为验证F是否为保守力，将题设中力 F的表达式代入WMF ,得FF = excyFx：Fy.z)i (-:Fx.:zHz)j (丑:xx千x:y)kFxFx_2_2_2_2= (18abxz -18abxz )i (18abz y-18abz y) j(6abz3 - 40abx3 y - 6abz3 40abx3 y) k=0,于是F是保守力。故其势能为(x,y,z)V =- .F dr - 3(Fxdx Fyd
9、y Fzdz)(x,0,0)33 2(x，y.0)34(0,0,0)(6abz y -20bxy)dx- (x,o,o)(6abxz 一10bx y)dy- 6abxyz3.(x，y，z)24 2一318abxyz dz= 5bx y例10 一个半径为R的球体内，分布着电荷体密度P = kr,式中r是径向距离, k是常量。求空间的场强分布，并求 E与r的关系。解：(1)由于在球体内电荷是球对称分布的，故产生的电场也是球对称分布 的，因此可用高斯定理求解。取与球面同心的球面作为高斯面。1 一1)当 r R 时，由 E -ds = Z q ,而 ；0密E ds= E 4仃 .,2)当r AR时，由
10、图斯定理 州E ds = 一 q,有；。 - E ds = E 4二 r2 ,1 .1-1 R 2二k 4 q = dv = kr4 r dr =R ,(4) ,11-1r 2 二k 4 q =：-dv = kr4二r dr =r ,；。；。；。 0；。由(1)=(2),得E(r)=也2,方向为径向方向4；0,kR4 、. 一.、,由（3）=（4）,得E（r）=f_，方向沿径向方向。4；02例11 一根很长的铜导线，载有电流10A,在导线内部通过中心线作一平面 S 试计算通过导线1m长的S平面内的磁感应通量。解：由电流分布具有轴对称性可知，其产生的磁场也具有轴对称性，以下用 安培环路定理求解。
11、取以轴线为圆心的半径为r的同心圆环为积分环路，由安培环路定理 股 dl =& I ,有:B dl =2二 rB ,12（r ：二 R）：小 I =，二r2,（2）二 R由（1）=（2）,所以有 B = 012r.2二 R在剖面上取面积微元ds = ldr ,有d = B ds =012 r ldr.2 二 R2所以单位长（l =1m）的导线内通过剖面的磁通量为=d = RIrs02 二 R2dJ4 二4 二 10，104 二=10 Wb.例12在半径为R的金属球之外包有一层均匀介质层，外半径为R.设电介质的相对电容率为 露，金属球的电荷量为Q,求：1）介质层内、外的场强分布；2）介质层内、外的电势分布；3）金属球的电势。解：1）由高斯定理引D ds= q ,可得Q(R 二 r : R): Di =24二 r2 D Q, ei -2 ,；0；r 4 二；0；rD _ Q一 ._2；。4。Q(r R): D2 =-2, E24二 r2）由电势定义，有(R :二 r ：二 R): V =E dl =E1rrdr - E2 dr2drR 4二；0 r2dr4二；0 ；rJ 1、(一-1)r R4二；0R4二；o ；rE dl = E2dr24二；0rdr4 二；0 r3）当r = R时,Vr = ER -Rdl=R Ei dr r E2 dr(-4二；o；r R；-1r -).0