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1、【 2019 最新】精选高三数学（理）人教版一轮训练：第十一篇第 4 节直接证明与间接证明、数学归纳法【选题明细表】知识点、方法题号综合法与分析法1,3,4,5,7,8,9,13反证法2数学归纳法6,10,15推理与证明的综合应用11,12,14基础巩固 ( 时间 :30 分钟 )1. 命题“如果数列 an 的前 n 项和 Sn=2n2-3n, 那么数列 an 一定是等差数列”是否成立 (B)(A) 不成立(B)成立(C) 不能断定 (D) 与 n 取值有关解析 : 因为 Sn=2n2-3n, 所以 n=1 时 a1=S1=-1,当 n2 时,an=Sn-Sn-1=2n2-3n-2(n-1)2
2、+3(n-1)=4n-5,n=1时适合 an,且 an-an-1=4,故an 为等差数列 , 即命题成立 . 故选 B.2. 用反证法证明某命题时 , 对结论 : “自然数 a,b,c 中恰有一个是偶数”正确的反设为 ( B )(A)a,b,c 中至少有两个偶数欢迎下载。(B)a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数(C)a,b,c都是奇数(D)a,b,c都是偶数解析 :a,b,c恰有一个是偶数说明有且只有一个是偶数. 其否定有a,b,c 均为奇数或 a,b,c 至少有两个偶数 . 故选 B.3. 设 a=-,b=-,c=-,则 a,b,c的大小顺序是 (A)(A)abc(B)bca(C)cab(
3、D)acb解析 : 因为 a=-=,b=-=,c=-=,又因为 +0,所以 abc.故选 A.4. 分析法又称执果索因法 , 若用分析法证明 : “设 abc, 且 a+b+c=0,求证 0(B)a-c0(C)(a-b)(a-c)0(D)(a-b)(a-c)0解析 :a ? b2-ac3a2? (a+c)2-ac3a2 ? a2+2ac+c2-ac-3a20? -2a2+ac+c20? (a-c)(2a+c)0 ? (a-c)(a-b)0. 故选 C.5. 设 0x0,b0,a,b为常数 ,+ 的最小值是 (C)【2019最新】精选高三数学（理）人教版一轮训练：第十一篇第节直接证明与间接证明、
4、数学归纳法(A)4ab(B)2(a2+b2)(C)(a+b)2(D)(a-b)2解析 :(+)(x+1-x)=a2+b2a2+b2+2ab=(a+b)2. 当且仅当 x=时, 等号成立. 故选 C.6. 用数学归纳法证明 “n3+(n+1)3+(n+2)3(n N*) 能被 9 整除”, 要利用归纳假设证 n=k+1 时的情况 , 只需展开 ( A )(A)(k+3)3(B)(k+2)3(C)(k+1)3(D)(k+1)3+(k+2)3解析 : 假设当 n=k 时, 原式能被 9 整除 ,即 k3+(k+1)3+(k+2)3 能被 9 整除 .当 n=k+1 时,(k+1)3+(k+2)3+(
5、k+3)3为了能用上面的归纳假设, 只需将(k+3)3 展开 , 让其出现 k3 即可 . 故选 A.7.(2016 兰州调研 ) 已知 a,b 是不相等的正数 ,x=,y=,则 x,y 的大小关系是.解析 :因为 (ab)?a+b2 ?2(a+b)a+b+2 ?a+b? ,即 xy.答案 :xy8. 已知点 An(n,an) 为函数 y=图象上的点 ,Bn(n,bn) 为函数 y=x 图象上的 点 , 其 中 n N*, 设 cn=an-bn, 则 cn 与 cn+1 的 大小 关 系3 / 93 / 9为.解析 : 由已知条件得 cn=an-bn=-n=,所以 cn 随 n 的增大而减小
6、, 所以 cn+1cn.答案 :cn+10,P=2x+2-x,Q=(sin x+cos x)2,则(A)(A)PQ(B)P0,所以P2;又(sin x+cos x)2=1+sin 2x,而 sin 2x 1, 所以 Q2.于是 PQ.故选 A.10. 平面内有 n 条直线 , 最多可将平面分成 f(n) 个区域 , 则 f(n) 的表达式为( C)(A)n+1(B)2n(C) (D)n2+n+1解析 :1条直线将平面分成1+1 个区域 ;2条直线最多可将平面分成1+(1+2)=4个区域 ;3条直线最多可将平面分成1+(1+2+3)=7 个区域; ;n 条直线最多可将平面分成 1+(1+2+3+
7、 +n)=1+=个区域 . 故选C.11.(2017 邯郸模拟 ) 设 a,b 是两个实数 , 给出下列条件 : a+b1;a+b=2; a+b2; a2+b22;ab1. 其中能推出 : “a,b 中【2019最新】精选高三数学（理）人教版一轮训练：第十一篇第节直接证明与间接证明、数学归纳法至少有一个大于1”的条件是.( 填序号 )解析 : 若 a=,b=, 则 a+b1,但 a1,b2,故推不出 ; 若 a=-2,b=-3, 则 ab1, 故推不出 ;对于 , 反证法 : 假设 a1 且 b1,则 a+b2 与 a+b2 矛盾 ,因此假设不成立 , 故 a,b 中至少有一个大于1.答案:
8、12. 若二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1,在区间在一点 c, 使 f(c)0,则实数 p 的取值范围是-1,1.内至少存解析 :解得法一 p-3(补集法)令或 p,故满足条件的 p 的范围为 (-3,).法二( 直接法 ) 依题意有 f(-1)0或 f(1)0,即 2p2-p-10 或 2p2+3p-90,得-p1 或-3pbcd0且 a+d=b+c,求证 :+.5 / 95 / 9证明 : 要证 +,只需证 (+)2(+)2,即 a+d+2b+c+2,因 a+d=b+c,只需证 ,即 adbc, 设 a+d=b+c=t,则 ad-bc=(t-d)d-(t-c)c=(
9、c-d)(c+d-t)0,故 adbc 成立 , 从而 +成立 .14. 某同学在一次研究性学习中发现 , 以下五个式子的值都等于同一个常数 : sin213 +cos217-sin 13 cos 17 ; sin215 +cos215-sin 15 cos 15 ; sin218 +cos212-sin 18 cos 12 ;sin2(-18)+cos248 -sin(-18)cos 48;sin2(-25)+cos255 -sin(-25)cos 55.(1) 试从上述五个式子中选择一个 , 求出这个常数 ;(2) 根据 (1) 的计算结果 , 将该同学的发现推广为三角恒等式 , 并证明你
10、的结论 .解:(1) 选择式 , 计算如下 :sin215 +cos215-sin 15cos 15 =1-sin 30 =1-=.(2) 法一 三角恒等式为sin2 +cos2(30 - )-sincos(30 - )=.【2019最新】精选高三数学（理）人教版一轮训练：第十一篇第节直接证明与间接证明、数学归纳法证明如下 :sin2 +cos2(30 - )-sin cos(30 - )=sin2 +(cos 30 cos +sin 30 sin )2-sin (cos 30 cos +sin 30 sin )=sin2sin2+cos2+sin +cos2=.cos+sin2-sincos
11、-sin2=法二三角恒等式为sin2 +cos2(30 - )-sincos(30 - )=.证明如下 :sin2 +cos2(30 - )-sin cos(30 - )=+-sin ( c o s3 0 c o s + s i n3 0 s i n ) =- c o s2 + +(cos 60 cos 2 +sin 60 sin 2 )-sin cos -sin2 =-cos 2 +cos 2 +sin 2 -sin 2 - (1-cos 2 )=1-cos 2 -+cos2=.15. 数列 an 满足 a1=,an+1=.(1) 求数列 an 的通项公式 ;(2) 设数列 an 的前 n 项和为 Sn, 证明 Sn0),则 F(x)=-1=0).函 数F(x)为 (0,+ ) 上 的 减 函 数 , 所 以F(x)F(0)=0,即ln(x+1)0),从而 ln(1+),1-1-ln(1+),an=1-1-ln(n+2)+ln(n+1),所以 Sn(1-ln 3+ln 2)+(1-ln 4+ln 3)+1-ln(n+2)+ln(n+1),【2019最新】精选高三数学（理）人教版一轮训练：第十一篇第节直接证明与间接证明、数学归纳法所以 Snn-ln().9 / 99 / 9