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1、3.4不动点理论3.4.1 不动点定理定义3.4.1设(X ,)是度量空间，A: X X是一个映射。若存在数，01 ,使对任意x, y X ,有(Ax,Ay) (x,y)(3.4.1)则称A是X上的一个压缩映射(Contraction Mapping ).若X是线性空间，则称 A是X上的一个 压缩算子(Contraction Operator ).【注】 为简明起见，这里用 Ax记A(x).由定义知：一个点集经压缩映射后，集中任意两点的距离缩短了，至多等于原象距离的 (01)倍。定理3.4.1 压缩映射是连续映射。证 证明压缩映射 A是连续映射，即证明：对任意收敛点列xnx0 (n ),必有A
2、xnAxo (n ).因为点列 xnXo (n )，即：(xn,xo)0 (n ),又因为A是压缩映射，即存在数，01,使得(AXn, AXo)(Xn, Xo),所以(Axn, Axo)0 (n ),即：AXnAx0 (n ).证毕！、一八.,一 *定义3.4.2 设X 是，集,A: X X是一个映射。若x X ,使得* *(3.4.2)Ax x,则称x为映射 A的一个不动点(Fixed Point ).设A:XX是一个映射，即：A:xAx(x X),林义：A2 : x J AAx ,A3: x |-AAAx,Ak : xA(H Ax ,k 1,2,3,.定理 3.4.2 (Banach Tx
3、ed point theorem, Banach, 1922) 设(X,)是完备的度量空间,A:X X是一个压缩映射，则 X中必有A的唯一不动点。证先证明映射 A在X中存在不动点在X中任取一点选,从小开始，令Xi AX0, X2 Axi A2X0,，“ Xn AXn 1AnX0, n 12”，这样得到X中的一个列点%.往证%是基本点列。因为A是压缩映射，所以存在数，01 ,使得(Xn 1, Xn)( AXn , AXn 1)(Xn , Xn 1)反复应用上式，由归纳法得(n 1).(3.4.3)(3.4.4)于是，对任意正整数p,由(3.4.3)及三点不等式得(Xn p , Xn)(Xn p
4、, Xn p 1)(Xn1, Xn )(Xn 1,Xn)n (X1,X0) (n 1)./ n p 1 n p 2n()(X1,X0)n n pn(3.4.5)(X,X0) (X1,X0)0 (n ),11即Xn是基本点列。因为X是完备空间，所以Xn在X中存在唯一的极限X ,使得* .XnX (n).又因为压缩映射 A是连续的，所以有* .AXnAx (n).而一*AXn Xn 1 X (n ),且收敛点列 AXn的极限是唯一的，故 Ax x ,即x就是映射A在X中的不动点。再证明不动点是唯一的。若x也是映射A在X中的不动点，即 Ax x ,则必有，*、(X ,x) (Ax , Ax ) (X
5、 ,x),而01 ,因此要使上式成立，必须 (x ,X ) 0 ,即X X .证毕！注 1 定理 3.4.4 又称为压缩映射原理 (contraction mapping theorem or contraction mapping principle )或Banach 不动点定理 (Banach fixed point theorem ).【注2】 空间X的完备性条件，只是为了保证映射 A的不动点存在；至于不动点的唯一性是直接从映射的压缩性来的，并不要假设空间是完备的。【注3】定理3.4.2解决了三个问题:(a)证明了压缩映射的不动点的存在性和唯一性(b)提供了求不动点的方法 一一迭代法，即
6、：在完备度量空间中，从任取的 初值”X0出发，逐次作点列XnAnx0,n 1,2,3, HI,它必收敛到方程Ax x的解。这种方法称为逐次逼近法。(c)在(3.4.5)中令p ,得n，*、(X , Xn)-1(Xi,Xo), n 1,2,|.(3.4.6)上式不仅给出了近似解与所求精确解X*的逼近程度(这个估计式在近似计算中很有用)，而且还指出了方程 Ax x的解X*可能的范围(又称为事先估计)；例如当n 0，由(3.4.6) 知：，*、(x ,Xo) -1(Xi,Xo).【注4】 定理3.4.2中的空间X的完备性条件不能去掉。例如：考察R1的子空间X (0,)到它自身的映射Ax x (x X
7、, 01),映射A显然是压缩映射，但是A在X (0,)中没有不动点右不然，设xX是A在X即*XII*即X X (0,)，矛盾！(0,)中的不动点，则*Ax x ,*X , (1)x0 , X 0 .【注5】定理3.4.2中的条件01不能减轻为01.因为这样，即使 X是完备的度量空间，而且对任意x, y X ,当x y时，有(Ax, Ay) 1(x, y),映射A在X中也可能没有不动点。例如：R1的闭子空间X 1,)到它自身的映射A1 ，、，、Ax x 一 (x X),x(x, y) .(Ax, Ay) Ax Ay(X y)11 因为x y与一 一是一正一负或一负一正，故上述不等式成乂。 x y
8、若不然，设1,)中没有不动点.X是A在X中的不动点，则0.矛盾!压缩映射原理有许多推广，下面的定理3.4.3是定理3.4.2的一个较常见的推广形式。定理3.4.3设(X ,)是完备的度量空间，B: XX是一个映射。若存在一个自然数n ,使得Bn是X上的一个压缩映射，则 X中必有B的唯一不动点。证 当n 1时，定理3.4.3就是定理3.4.2.当n 2时，记A Bn,则A是X上的一个压缩映射。由定理 3.3.4,映射A在X中 *有不动点x ,即*Ax x .任证x也是B的不动点。事实上，因为映射AB Bn 1 BA,所以A( Bx*) ABx* BAx* B(Ax*) Bx* ,即Bx*是A在X
9、中的不动点。由于压缩映射 A在X中只有一个不动点，所以 Bx* x* ,即x*是B在X中的不动点。 下面证唯一性。设 x是映射B在X中的任一不动点，即 Bx x ,则nn 1n 1Ax B x B (Bx ) B x 川 Bx x ,因此x是压缩映射 A在X中的不动点。因为压缩映射 A在X中只有一个不动点，所以 x* x . 证毕！作为定理3.4.3的一个应用，考察积分方程:x(x) f (x) K(x,y) (y)dy ,a其中是一个常数。这种类型的方程称为伏特拉(Volterra )型积分方程。K(x,y)是三角形区域定理3.4.4 设f(x)是区间a, b上的连续函数,(x, y) a
10、x b, c y x上的连续函数，且K(x, y) M ,则对任何常数(x) f (x),方程xK(x, y) (y)dya(3.4.7)在a, b上有唯一的连续函数解(x).证 考察Ca, b到Ca, b的映射B :对Ca, b(x)xf (x) K(x, y) (y)dy.a(3.4.8)则方程(3.4.7)有唯一解的问题就转化为映射 存在唯一的 (x) Ca, b,使得B在Ca, b中是否有唯一的不动点的问题；即亦即f(x)1, 2 Ca,b,当 x(x)xa K(x,y)aa,b4,(|*(y)dy*(x).maxa x b(x)B i(x) B 2(x)xaK(x,y) 1(y)a2
11、(y)dyM (x a) 12 . (3.4.9)用归纳法证明：当 x a,b时,nnB i(x) B 2(x)n n (xMna)n!(3.4.10)当 n 1 时，由(3.4.9)知：(3.4.10)成立!假设当n k 1时,(3.4.10)成立！即Bk 1i(x) Bk 12(x)k 1 (x a)k 1 (k 1)!(3.4.11)往证当n k时，(3.4.10)成立!In fact ,由(3.4.11)得:_ k . ._ kB i(x) B 2(x)k 1k 1K(x, y)B1(y) B 2(y)dyK(x,y) Bk1 1(y) Bk1 2(y)dy,、k 1k 1 M k 1
12、 ( y a)(k 1)!| dy由归纳法原理知：(3.4.10)成立!取自然数n ,使得Bn 1Bn 2max Ba x b利用定理3.4.5知：存在*(x)Ca,b,亦即方程f(x)kIJkk (x a)k!n (b a)ni(X)使得xa K(x,y)a(3.4.7)在Ca, b上有唯一的解。n!1,Bn 2(x)*B (x)*(y)dy证毕!x a(yk 1.a) dy*(x),即:(x).3.4.2 凸集与凸包定义3.4.3 (凸集)设X是一线性空间，E X .若对 x, y E ,连接它们的线段 x (1 )y | 01 E,则称E是凸集(convex set)。例3.4.1设X是
13、线性空间，X的每个线性子空间都是凸集。反之未必。还设Y是X的线性子空间，因为对 x,y Y及任意数，都有 x y Y ,特别地, x (1 )y Y ,所以Y是一个凸集。反之，设X R3,集E (x,y,0) X | x2 y2 1是X中的凸集，但不是X的子空间，因为E对线性运算不封闭，而XR3的二维子空间只有R2.证毕！定理3.4.5 设X是线性空间，若E是一族凸集，则。e也是凸集。证由凸集的定义(定义3.1.3)立得。定义3.4.4 (凸包)是X中包含A的凸集全体，则E就是包含A的最小凸集，称之为A 的凸包(convex hull),记为cov A .【注】可以证明：若AXi,X2,|,Xn ,cov A 1X)2X2“J n Xn XkA, k 0, k 112,|,n11).3.4.3 凸集上的不动点定理3.4.6 (Schauder)设X是赋范线性空间,E是X中的一个凸紧集,f :E个连续映射，则必有 XE ,使得 f(X) X.3.4.7 (Schauder)设X是Banach空间,E是X中的一个凸闭集,E是一个连续映射，且象f(E)是致密集，则必有 x E,使得f(X) X.