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1、222 双曲线的简单几何性质知识与技能目标了解平面解析几何研究的主要问题： （ 1）根据条件，求出表示曲线的方程； （ 2）通过方 程，研究曲线的性质理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐 近线的概念； 掌握双曲线的标准方程、 会用双曲线的定义解决实际问题； 通过例题和探究了 解双曲线的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术进一步见识圆锥曲线的统一定 义 情感、态度与价值观目标 在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教学相长的教学活动情境， 结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界 观，激励学生创新 必须让学生认同
2、和掌握： 双曲线的简单几何性质， 能由双曲线的标准方 程能直接得到双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率；必须让学生认同与理解：已 知几何图形建立直角坐标系的两个原则， 充分利用图形对称性， 注意图形的特殊性和一 般性；必须让学生认同与熟悉：取近似值的两个原则：实际问题可以近似计算，也可以不近似计算， 要求近似计算的一定要按要求进行计算， 并按精确度要求进行， 没有作说明的 按给定的有关量的有效数字处理； 让学生参与并掌握利用信息技术探究点的轨迹问题， 培养 学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能能力目标（1） 分析与解决问题的能力 ：通过学生的积极参与和积极探究, 培养学生的
3、分析问 题和解决问题的能力（2）思维能力 ：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为 几何问题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生 的辩证思维能力（3）实践能力 ：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力（4）创新意识能力 ：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决 问题的一般的思想、方法和途径 过程与方法目标（1）复习与引入过程 引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的方法，在本节课中不仅要注意通过对双曲线的标准方程的讨论， 研究双曲线的几何性质的理解和应用， 而且还注意对这种研究方法的 进一步地培养 由双曲线的标准方程和非负实数的概
4、念能得到双曲线的范围；由方程的性质得到双曲线的对称性； 由圆锥曲线顶点的统一定义， 容易得出双曲线的顶点的坐标及 实轴、虚轴的概念；应用信息技术的几何画板探究双曲线的渐近线问题；类比椭圆通过P56的思考问题，探究双曲线的扁平程度量椭圆的离心率.板书 2. 2. 2双曲线的简单几何性质（2）新课讲授过程（i ）通过复习和预习，对双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质.提问：研究双曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？ 通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小 和位置.要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质.（ii ）双曲线的
5、简单几何性质2 2范围：由双曲线的标准方程得， 占= -1亠0，进一步得：x_a，或x_a .这b2 a2说明双曲线在不等式 x a，或x _a所表示的区域； 对称性：由以 x代x，以_y代y和-x代x，且以y代y这三个方面来研究双 曲线的标准方程发生变化没有， 从而得到双曲线是以 x轴和y轴为对称轴，原点为对称中心;即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称 顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义， 锥曲线的顶点.因此双曲线有两个顶点， 轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；渐近线：直线y二bx叫做双曲线a2 2笃-笃=1的渐近线; a b离心率：双曲线的焦
6、距与实轴长的比ce叫做双曲线的离心率(e 1).a(iii )例题讲解与引申、扩展例3求双曲线9y2 -16x2 =144的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程.分析：由双曲线的方程化为标准方程，容易求出a,b,c .引导学生用双曲线的实半轴长、虚半轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子,但要注意焦点在 y轴上的渐近线是y扩展:求与双曲线2 2才=1共渐近线，且经过 A 2、”3,-3点的双曲线的标准方及离16x2心率.解法剖析：双曲线-匚1的渐近线方程为y沢.焦点在x轴上时，设所求16942 2 1的双曲线为孟厂器，一 A 2 3, 3点在双曲线上，二k2二，无解；
7、焦点在2x y轴上时，设所求的双曲线为216k22 1討1A2点在双曲线上，二k匕,因此，所求双曲线的标准方程为壬2x1，离心率e45 .这个要进行分类讨论，但只2 2x y mm R,m = 0 .169有一种情形有解，事实上，可直接设所求的双曲线的方程为例4双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图（1）,它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m 试选择适当的坐标系，求出双曲线的方程（各长度量精确到1m） 解法剖析：建立适当的直角坐标系，设双曲线的标准方程为2 2务-当=1，算出a,b,c的值；此题应注意两点：注意建立直 a b系的两个原则
8、；关于 a,b,c的近似值，原则上在没有注意精确看题中其他量给定的有效数字来决定.角坐标度时，引申：如图所示，在P处堆放着刚购买的草皮，或PB送到呈矩形的足球场 ABCD中去铺垫，已知BC =60m，乂APB =601能否在足球场上画一条线的两侧的区域应该选择怎样的线路？说明理由.解题剖析：设M为“等距离”线上任意一点，则现要把这些草皮沿着道路 PAAP =150m , BP = 100m,“等距离”线，在“等距离”PA +| AM| =|PB +|BM ,即BM AM| =|AP BP =50 （定值），“等距离”线是以 A、B为焦点的双曲线的左支上的一部分，容易“等距离”线方程为2x6252飞二35-2560 理由略.例5如图，设M x, y与定点F 5,0的距离和它到直线l:x晋的距离的比是常数5，求点M的轨迹方程.4分析：若设点M （x, y卜则MF16=x5则容易得点M的轨迹方程.引申：用几何画板探究点的轨迹：双曲线“詈的距离2a若点M x, y与定点F c,0的距离和它到定直线I : x 的距离比是常数cce c a 0，则点M的轨迹方程是双曲线其中定点F c,0是焦点，定直线l :a2 2a.ax 相应于F的准线；另一焦点 F -c,0，相应于F的准线l ： x =cc练习：第66页1、2、3、4、5作业：第3、4、6