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1、 ( A )广东工业大学考试试卷 分 试卷满分 100 课程名称: 线性代数 ：名 ) 二 星期 5 日 (第 19 周考试时间: 2010 年 1 月 姓 总分 十 七 八 九二一 三 四 五 六 题 号 评卷得分 线 评卷签名 复核得分 复核签名 ： 号 ：20分） 填空题（每小题4分，共一、 学 312x 3 1?xx)?xf(. 1、函数中, 的系数为 x x21 订 A0110?1 ? 11? ?A. ，2、设 ，则 ?A?A?A, ? ? 21 A00103? 2 210? ? 02B?0. 是 ，而矩阵，且 ，则3、设 ?R(A)?)(AB2R3?4A ? ? 3?10：? 业
2、2? ? 专 * 3?B_?E|A| 、设矩阵与相似，则.4A? 装 ? 3? 1? 1? 2? 的特征值，则的一个特征值为 .5、若为可逆阵2?AA ? 3? ：4分，共20分）二、 选择题（每小题 ： ）的是（ 。下列命题正确院、1 1?AAB?EBA? （可逆且 若，则A）学|BAAB|?AB 的行列式阶子式方阵）（B 页，第3 广东工业大学试卷用纸，共 1 页 B,AAB 不可逆，则）若方阵都不可逆（CABBAn 不可逆，则或D）若必不可逆阶矩阵（n 为其伴随矩阵，则、设为( ).阶矩阵，2A*A?Ak1n?nnnAkAknAk ）A） ） （ （B） D（ C（1n?Ak). 、若非
3、齐次线性方程组中方程个数少于未知数个数，那么( 3bAx?0Ax?Ax?b (B) 必有非零解；必有无穷多解； (A) 0Ax?Ax?0. (D) 一定无解 (C) 仅有零解； (2,0)(14)(1,-2,1,-1,2,4)3,0,7,2)1,0,(3,，与组向量4、设有143210)5,(2,1, ） ，则向量组的极大线性无关组是（ 5， ； (B) ； ）（A421213， (D) .； (C) 5415122 ） 的是（ 5、设、为n阶实对称可逆矩阵，则下面命题错误BA1?BAPABP?APBQ?QPP 使得（A）有可逆矩阵（、B 使得）有可逆矩阵T2?1?12BAP?PBP?APAP
4、PPP （ D（C）有可逆矩阵 使得）有正交矩阵使得 ：6三、计算行列式（分）311?54311?A)43,?1,2,?A?A?AAA(i. ，计算设是代数余子式的值，其中i42444341431124232324?分）（10四、?0A11X2A?AX?XX. 满足关系，其中，求设矩阵?32?1?0?x?xx?3?312?分）10五（abb?4x?axx?取何值时，方程组无、设线性方程组为，问：、?312?5x?x?32x?132在有无穷多解时求出其通解。解、有唯一解、有无穷多解？ 分）六（10?,?,，即的解，的一个基础解系，设是不是0A?00Ax?Ax、k12 页2 页，第 3 广东工业大
5、学试卷用纸，共?. 讨论：向量组线性相关还是线性无关？?,?,k12064?分）10七、（053?A?，设则求出可逆矩阵A能否对角化？若能对角化，问P?16?3?-1 为对角阵使得.APP 14分）证明题：八、（共2. ），求证：阶幂等阵（、（6分）若为1)E?)?r(Ar(AAA?nnAn? 是实矩阵设是,维实列向量，、2（8分）mnm?0?ATTT?AAAx?.（； （证明：1）秩2）非齐次线性方程组有解)A?AAr(r 页3 页，第 3 广东工业大学试卷用纸，共 广东工业大学试卷参考答案及评分标准 ( A ) 课程名称: 线性代数 。 考试时间: 2010 年 1 月 5 日 (第 19
6、 周 星期 二 ) 三、 填空题（每小题4分，共20分）： 1000?10003?3 、 5； 2 、； 4、280 3、21、-2; ?10004?1?010?四、 选择题（每小题4分，共20分）： 1 2 3 4 5 D C B B D 五、 解： A?A?A?A444341421?5131134?3分?311211111?513621126021?（1?）011 16000230602112?6（1）?5分23?6?6分评分说明：本题方法不唯一，但都要求计算必须有过程，结果不对的酌情给分。 解：(A?2E)X?A，由已知2分四、 1003?8?6?r?0102?9?6(A?2E,A)?因
7、为 8分?广东工业大学试卷用纸，共 页，第 4 页 3 912?0012? 3?8?6?1X?(A?2E)A?2?9?6 10故分 ?912?2?评分说明：本题方法不唯一，若结果不对的根据步骤酌情给出。 01?3?101?3?1?五、解：A?1?4ab11?01 3分?1b?0a?135?202?a?2时，方程组有唯一解5分 当a?b?1时，方程组无解 2，7分当 ?a?b2 3，方程组有无穷多组解12，时，, 当)(Ar)r(ATT?k)1,1,?k(?2?(3,1,0)?为任意常数。10其通解为，分 六、解：x,x,x,?,x使得设有 k102?)?0?)?x(x?()x?x(， (1)
8、k2102k1?0?xx?x)?x?(x?x?x?, (2)4分 k122k0121k?0?x?xx?x?,?线性表示，可由若，则 k201k12?x?x?x?x?00Ax?，是故必有 的解,与已知矛盾.k201?0?xx?x?，从而7分 k21k12?,?,?,0Ax?线性无关，是由的一个基础解系知 k21k12?x?x?x?0x?(x?x?x)?0， ，k01k221?,?,?线性无关.因此向量组10分 k12?604?2?七、解?E?1?A?2?5?03：由， ?3?61?1,?2，4分得全部特征值为： 321?x?EA?01?得方程组将 代入21 页5 页，第 3 广东工业大学试卷用纸
9、，共3x?6x?0?20?21?0?x?6x?3?,0?1 解之得基础解系 6分 ?2121?0?6x?3x?10?12?T?0xE?A?2?(?1,1,1)7得方程组的基础解系同理将代入分 33?20?1?00,1,?1,线性无关， ，所以由于312312101?20?1100?1?101PAP?P?01,0,10，则有：分令 ?312?2?00110?八、(14分) 2， 证明：1、0?E)?A(A?AA?n?r(A)?r(A?E)?n3 分 nE?A?E?A, 又 nn?n?r(?A)?r(E?A)?r(A)?r(A?E) nnn?r(A)?r(A?E)6 故分 n?T?0A?；、证明：（1）因为若 ，则20?AAA0T?时，由而当 0AA?2TTTT?0A0?0A)AA|A|?(A。，得 T0?Ax，同解，因此齐次线性方程组 与0AxA?TAA)rA)?(r(。4故秩分 （2）因为秩 TTTTTT?A)(A(A)?r(A，)?r(Ar)?Ar(?A)r(AA，Ar)?(A TTTTT?A，rAA)(Ax?AAA?)r(A因此有解。，故非齐次线性方程组 8分 页6 页，第 3 广东工业大学试卷用纸，共 页7 页，第 3 广东工业大学试卷用纸，共