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1、微专题5平面向量中的求值问题真题感悟（2019江苏卷）如图，在 ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE = 2EA,AD与CE交于点O.若ABAC = 6AOEC,则器的值是设 E（1, 0），C（a，b），则B(3, 0)， D解析 法一 如图，过点D作DF / CE交AB于点F，由D是EBC的中点，可知 F为BE的中点.又BE = 2EA，则知EF= EA，从而可得 ao=od，则有 AO= 2ad = *AB+ AC），ec=ACAl=Ac-Ab ，所 以 6ao ec=2(ab+aC) ac-拯=3疋2忑2+ab ac=ab ac，整理可得AB2=3AC2，所以Ab=V3.法二
2、以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示Iad :by=x,a+ 3?0*+ 3 blCE：y= b (x 1)44a 1v AB AC= 6AO EC，(3,o) (a，b)=6 宁,4，b)，即 3a= 6(a+ 3)( a1)4 a2+ b2= 3, aAC=V3.宦=蒼答案 3考点整合1平面向量的两个充要条件若两个非零向量a= (xi, yi), b= (x2，y2)，贝U(1) a/ b? a= ?b? xiy2 x2yi = 0.(2) a丄 b? a b = 0? xix2 + yiy2= 0.2. 平面向量的三个性质(i)若 a= (x, y)，则|a|
3、= . a a= ,;x + y2.若 A(xi, yi), B(x2, y2)，贝U |AB|= ；_ (x2xi) 2+( y2 yi) 2若 a= (xi, yi), b= (x2, y2), B为 a与 b 的夹角,a bxiX2+ yiy2cos |a|b|*；xi + yi*x2+ y3. 平面向量的三个锦囊 (i)向量共线的充要条件：0为平面上一点，则A, B,P三点共线的充要条件是0P=入0A+力0B(其中入+ 2e= 1).三角形中线向量公式：若 P OAB的边AB的中点，则向量OP与向量OA, OB 的关系是 OP= 2(OA+ OB).三角形重心坐标的求法：G为 ABC的
4、重心？ GA + GC =0? GxA + XB+ xCyA+ yB + yc3热点一平面向量的坐标运算【例1】(1)(2019全国U卷改编)已知向量a= (2, 3), b= (3, 2)，则|a b|=(2019 全国 U 卷改编)已知AB= (2,3),AC= (3,t),|BC匸 1,则AB bC =解析(1)：a b= (2, 3)-(3, 2)= (1,1), |a b|= ： (- 1) 2+ 12= 2.(2)因为BC = AC (3, t) (2, 3)= (1, t 3),所以；12+(t 3) 2=1, 解得 t = 3,所以BC= (1 , 0),所以 AB BC =
5、2X 1 + 3x 0 = 2.答案(1) .2 (2)2探究提高 若向量以坐标形式呈现时，则用向量的坐标形式运算；若向量不是以 坐标形式呈现，则可建系将之转化为坐标形式，再用向量的坐标运算求解更简捷 【训练1】 已知向量BA= 2 爭,BC= 弩,2，则/ ABC=.解析 |BA匸 1, |BC|= 1, cos/ ABC= BA，又 0 0, 0v aV 32，且a+ b与a b互相垂直.(1)求实数入的值；4若a b= 5，且tan 3= 2,求tan a的值.解 (1)由 a+ b 与 a b 互相垂直，可得(a+ b) (a b)= a2 b2= 0,所以cos2 a+0.又因为 s
6、in2 a+ coS(a= 1,所以(2 1)sin2a= 0.因为 Ov aV2，所以 sinaO,所以 21= 0.又因为心0,所以2= 1.由(1)知 a= (cos a, sin4 /4由 a b=5,得 cos ocos B+ sin osin5,即卩 cos(a因为 OV aV 3Vn 所以才 a 0,以 sin( a 3 = 1 cos2 ( a 3)因此tana= tan( a 3 +3 =tan (a 3 + tan 311 tan ( a 3 tan 3 2【新题感悟】(2019南京、盐城高三模拟)已知AD是直角三角形ABC的斜边BC上的高，点P在DA的延长线上，且满足(P
7、B+ PC) AD = 4 2若AD = 2则PB PC的值为.解析设/DPC =a / DPB = B,由题得 PBAD + PC Ad = 4 2,二 |PB|2 cos B+ |PC| : 2 cos a 4 2所以 |PB| 呼 + |PC| 呼=4, a |PD|= 2.所以 PB PC= |PB|PC|cos(a+ =4- ADJ 4- ( ,2)2= 2.答案2专sum时接高割沁二，一、填空题1.(2019 全国川卷)已知向量 a= (2, 2), b= (-8, 6),则 cosa, b=解析 t a= (2, 2), b = ( 8, 6),a a b 2 x ( 8) +
8、2 x 6 4, |a= 22+ 22 2迄，|b|-“(-8) 2+ 6 10.h -0-b4 止2x- 2-c0Sa, b|a|b| 2：2X10-10.2. (2019徐州期末)已知平面向量a (4x, 2x), b 1, 一歹,x R,若a丄b,2x - 2解析 因为 a丄b,所以 4x+ 2xx= 4x+ 2x 2= 0,解得 2x= 2(舍)或 2x= 1,故 a= (1, 1), b= (1， 1),故 a b= (0, 2),故 |a b|= 2.答案23. (2019杭州模拟)已知平面向量 a= (2, 1), a b= 10,若|a+ b|= 5 2,则|b| = 解析 因
9、为 50= |a+ b|2=|af+ |bf+ 2a b= 5+ 20 + |b|2，所以 |b| = 5.答案 54. (2019全国I卷改编)已知非零向量a, b满足|a|= 2|b|,且(a b)丄b,贝U a与b的夹角为解析 由(a b)丄b,可得(a b) b= 0,a b = b2.- |a| = 2|b|,cos a, b=陆=2b2=夕n 0 n,a a 与 b 的夹角为 3.答案n5. (2019南京高三一模)在矩形ABCD中，已知AB= .2, AD= 2,点E是BC的 中点，点f在cd 上, Ab - AF=(2，则Ae Bf的值是解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则A
10、(0, 0), B( . 2, 0),E(2 1),设 F(x, 2)(0x ，则AF= (x, 2),又AB= (；2,0),故由 AB AF= 2得：.2x=2,解得：x = 1,所以 BF = (12 2), AE BF= ,2X (1 2) + 2= 2.答案 26. (2018江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，A为直线I: y= 2x上在第一象限内的点，B(5, 0),以AB为直径的圆C与直线I交于另一点D.若AB CD = 0,则点A的横坐标为.解析 因为ABCD = 0,所以AB丄CD，又点C为AB的中点，D为以AB为直径 的圆C的圆周上的点，所以/ BAD = 4.设直线I的倾
11、斜角为0,直线AB的斜率为nk,贝U tan 0= 2, k= tan 0+ 4 =一 3.又 B(5, 0),所以直线 AB 的方程为 y= 3(x-5),又A为直线I: y = 2x上在第一象限内的点，联立直线AB与直线I的方程，x=y= 3 (x 5),x= 3,得解得所以点A的横坐标为3.y=2x,y= 6,答案 37. (2017江苏卷)如图，在同一个平面内，向量 OA, OB, OC的模分别为1, 1,返，OA与OC的夹角为a,且tan a 7, OB与OC的夹角为 45.若OC= mOA+ nOB(m, n R),贝U m+ n =解析如图,设 OD= mOA, Dc= nOB,
12、则在 ODC 中有 OD =m, DC = n,OC= 2 / OCD = 45.由 tan a= 7,得COS a请,又由余弦定理知m2= n2 +( :2) 2 2 2ncos 45 ,n2= m2 +( 一2 2 2 2mcos a,m2 n2= 2 2n,即222n2 m2= 2 m,52 + 得 4 2n- 5m= 0，即 m= 10-5n,代入得 12n2-49n + 49= 0,解得 n757,m= 10 5X 3= 30(不合题意，舍去)，当n = 4时，m二 10 5X7二4,故 m+ n = 4 + 4二3.答案 3fiD8. （2016江苏卷）如图，在 ABC中，D是BC
13、的中点，E, F是AD上的两个三等分点，BA CA=4, BF CF= 1,则BE CtE的值 是.解析 设AB= *， AC = b，贝U BA CA= ( *) (一 b) = * b = 4.又 D为BC中点，E，F为AD的两个三等分点,则 Ab= 2（AB+ AC） = !*+ 2b,二1a+ 1b，1 i6a+6b，BF= BA+AF + 1*+ 3b=-2*+ 3b,CF = CA+ AF =1112b+ 3* + b= 3* b，则-CF= 1*+ 3b !* fb =b2) + 9X 4= 1.2 2 2 25-9a 9b + 9a b二可得a2 + b2 =詈.厂-1L51U
14、又 BE= BA+AEh a+ 6* + 6= 6*+ 6，1115,CE = CA+ AE= b+ 6* + 6b= 6* 6匕，Mr 5115则 BECE= 6* + 6b 6* 6b5 2226529 267=-36 + b) + 36* b=-362 + 36X 4弋答案8、解答题9.(2019 南京模拟)已知向量 m_(cos a, 1), n_(2, sin M,其中 an0, 2，且 mn.求COS 2a的值；若si n(a=0，且英0, n,求角B的值.解由 ml n,得 2cos a sin a 0, sin代入cos2 a+ sin2 a a 1,得 5co$a= 1 ,a
15、= 2COS a,口n/5又 a 0,，贝U cos a_5 ,cos 2a_ 2cos2 a 1 _ |.,nn/口由a 0, 2 ,阻0, 2，得a阻n2,因为 Sin(a B_0，所以 cos(a B_ 310,而 sin a 1 cos2 a=令5则 sin A sin a (a =sin ocos( a B cos osin( a B_ 2/5 3sfi0逅 血亚 a 5 X 10 5 X 10 _ 2 .nn因为英0, 2，所以4.10.(2019 镇江模拟)已知向量 a= (2cos a sin2 a, b= (2sin a, t), a为实数.2(1)若 a b_ 5, 0，求
16、 t 的值;若t_ 1,且a b_ 1,求tan2a+n的值.解 (1)因为向量 a_(2cos a, sin2, b_(2sin a, t),2且 a b_ 5 , 0 ,所以 cos a sin a , t = sin 3解 (1)因为 a= (cos a, sin a , b= ( sin B, cos B , c= , 飞 ,所以 |a|= |b|=|c匸 1 ,且 ab= cos osin 3+ sin aossin(a B. 因为 |a+ b|= |c| , a51i由 cos a sin a= 5, 得(cos a sin a)2124即 1 2sin acos a=，从而 2s
17、in acos a .2525、.249所以(cos a+ sin a 1 + 2si n aos a= 25-、n7因为 a 0, 2，所以 cos a+ sin a所以sin a(cos a+ sin a) ( cos a sin a) 3=5,所以tFn2尸25(2)因为 t= 1,且 a b= 1,所以 4sin aos a+ sin2a= 1,即 4sin acos a= cos2 an1因为a 0, 2，所以cos a0,从而tan a2ta n a 8所以 tan 2atan2a5n所以 tan 2 a+ 4 =n 8.tan 2a+ tan 4砧+ 1(sin B, cos 3
18、, c=2， 2n8_= 7.1 tan 2 a tan 41 511.(2019南通调研)在平面直角坐标系xOy中，设向量a= (cos a, sin a), b =(1)若 |a+ b|=|c|，求 sin (a B 的值；5 n设 a=6，0n 且 a/ (b+c),求 B的值.所以 |a+ b|2= c2,即 a2 + 2a b+ b2= 1,所以 1 + 2sin( a 3 + 1 = 1,即 sin( a3=-2因为a 6, 所以aa 今,2 . 依题意，b+ c= sin 3 2, cos B+g3 . 因为 a/ (b+ c),所以一 cos 直+ 2 sin 3 1 a 0. 化简得 2sin p- cos舟，所以 sin 3 n = 2因为Ov pv n所以n 3 n竽所以3- n n，即3 n