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1、应用平面向量基本定理解题举例秫归一中数学组 周宗圣向量融数、形于一体，具有几何与代数形式的双重身份，因此向量的引入与应用极大地 拓宽了解题的思想与方法。其解题方法归纳如下:一 化归思想:将题目已知条件转化成= 3形式，其中I、I不共线，则 x = y = 0.巳知+/?与c共线，且0+C例1 ：设、B为非零向量，其中任意两个向量不共线与。共线，试问/，与。+C是否共线？并证明你的结论.证明：.+E与2共线，存在唯一实数X,使得Z+B=/iZ又“+c与“共线，.存在唯一实数，使得-：a-c = Ac-a = (1 + ju)a - (1 + A)c = o,1 + = 0又。与c不共线，.=2=
2、 =一1,1 + 2 = 0代入：a + bc =b = -(a + c),故。与共线.二.构造思想：构造某向在同一组基底下的两种不同表示形式，即一 一 一 I x= Aa = xe +ye2 +jUe2 (6,与不共线)，则 J-b = 例 2:在 ABC 中，BD=DC, AE=2EC,求2和 L. GD GE解:设羽=xGDBGGE=y AB ACD是BC的中点，.从8 =干+干， 乙乙 t 1 X, 1又 AG=xGD, /. AG = AG = 一AB + :AC , x+2(x + l)2(x + l)* 2XAE=2EC, ：.AE=-AC, 3.BG=yGE, aBG = BE
3、 = (AE-)=AC-AB,y + 1 y + 3(y + l)y + x y x x + = 1 = = r = 42(x + l) y + 2(x + l) y + 1=j 3x 2yx 2y y =-:=0 =:r 2 2(x + l) 3(y + l) 2(x + l) 3()，+ 1)AGGD总结：用平面向基本理解题的步骤可概括为：第一步：选择适当的两个不共线向作为一组基底,第二步：用两种不同的形式表示同一向*（一般要将向重集中到同一三角形中）,第三步：利用平面向,基本定理列方程组并求解,第四步：答题.三.待定系数法：构造关于基底的实系数方程组，即若+2. ea - e. = xe
4、x + ye. - e.则,一，一一一化筒求解, a-e2 = xee2 + ye2例3:如图，网=网 =1,近与丽的夹角为120。，豆与0?夹角为30。, pq=5,试用次、08表示灾解：设历=疝+）,两/. OC -OA = xOA + yOB OA化简得二一三. 2同理可得：OC-O8 = xOA-O8 +）,O8 =0 = + y . 2解得：户座，）,=至，故历二座位+任丽.3.333总结：在此解法中，应用了下列推理：a=ba-c = b-c.四,巩固练习T1：设点P是AABC内一点，AP + 2BP + 3CP = O,延长CP交边AB于点Q,设CP = at用表示T2:巳知4AB
5、C的面积为14cm2, D、E分别是边AB、BC上的点，且 AD:DB=BE:EC=2:1,连接AE和CD相交千点P,求aAPC的面积.T3：平面内有三个向重而、丽、oc t其中卜1, |无1 = 2, |衣卜6,而与 丽的夹角为120。，5X与灰7的夹角为60。，若=4次+ 4。分，（丸、/?）, 求X + 的值.解Ti： .（：、P、Q三点共线，A、Q、B三点共线，设方=屈，AQ=yQB, 又丽+ 28户+ 3而=5,即通+9+2（而+9）+ 3而=5, 代入得：）QB+QP+2BQ+2QP+3xPQ=O,（y-2）QB + （3x-3）QP = O.y-2 = 03工一3 =。6.丽与0
6、?不共线，二一 / x = y = 2.而=而，.P是线段CQ的中点，故诙=2而=2（；.解丁2：设蒜=,蕊=3为平面ABC的一组基底，则瓦=而+於=+二B, DC = DB + BC = - + b, 33.点A、P、E共线，D、P、C共线，设而=彳谶=%7 +手,而=灰=与+ ，：.AC=AP+PD = （A-9+ （= - /.,21 2A=3 322 八/ = 03an AP 6DP 4即 =-y = 一 AE 7 DC 7连接 BP,则=亍 x 14 = Scni, S 1spe =亍 x 14 = 2c? -,故 S we = 14-8-2 = 4c/ .解T3：过程略，结果是4+ =9.