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1、专题 1 1 二次函数 题型一 二次函数的图象和性质 例 1 对于抛物线 yx22x3，有下列四个结论：它的对称轴为 x1； 它的顶点坐标为(1，4)； 它与 y 轴的交点坐标为(0，3)，与 x 轴的交点坐标为(1，0)和(3，0)； 当 x0 时，y 随 x 的增大而减小 其中正确的个数为( C ) A1 B2 C3 D4 b 2 【解析】 对称轴为x 1，正确；yx22x3(x1)2 2a 2 （1） 4，它的顶点坐标为(1，4)，正确；yx22x3，当 x0 时，y3，当 y0 时，x22x30，x11，x23，yx22x3 与 y 轴的交点坐标为(0，3)，与 x 轴的交点坐标为(1
2、，0)和(3，0)，正确；a10，当 x1 时，y 随 x 的增大 而减小，错误故正确的选项有三个 【点悟】 二次函数的性质，常常从对称轴、顶点坐标、最大值(最小值)，增减性等角度分析 变式跟进 1小张同学说出了二次函数的两个条件： (1)当 x1 时，y 随 x 的增大而增大； (2)函数图象经过点(2，4) 则符合条件的二次函数表达式可以是( D ) Ay(x1)25 By2(x1)214 Cy(x1)25 Dy(x2)220 2求下列函数的图象的对称轴、顶点坐标及与 x 轴的交点坐标 (1)y4x224x35； (2)y3x26x2； (3)yx2x3； (4)y2x212x18. 解：
3、(1)y4x224x35， 对称轴是直线 x3，顶点坐标是(3，1)， 5 7 解方程 4x224x350，得 x1 ，x2 ， 2 2 1 5 7 故它与 x 轴交点坐标是( ， ； ，0) ( ，0) 2 2 (2)y3x26x2， 对称轴是直线 x1，顶点坐标是(1，5)， 解方程3x26x20， 15 15 得 x11 ，x21 ， 3 3 15 15 故它与 x 轴的交点坐标是( ，0)，(1 ； 1 ，0) 3 3 (3)yx2x3， 1 1 11 对称轴是直线 x ，顶点坐标是 ， ， 2 ( 4) 2 解方程 x2x30，无解，故它与 x 轴没有交点； (4)y2x212x18
4、， 对称轴是直线 x3，顶点坐标是(3，0)， 当 y0 时，2x212x180，x1x23， 它与 x 轴的交点坐标是(3，0) 题型二 二次函数的平移 例 2 将抛物线 y2x21 向右平移 1 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度所得的抛 物线表达式为( C ) Ay2(x1)2 By2(x1)22 Cy2(x1)22 Dy2(x1)21 【点悟】 二次函数图象的平移实质上是顶点位置的变化，只要确定平移前、后的顶点坐标， 就可以确定抛物线的平移规律 变式跟进 3将抛物线 y2x24x5 的图象向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位，所得抛物线表 达式是( C ) Ay2(x1)2
5、7 By2(x1)26 Cy2(x3)26 Dy2(x1)26 题型三 二次函数与一元二次方程和不等式的关系 例 3 2016宁夏若二次函数 yx22xm 的图象与 x 轴有两个交点，则 m 的取值范 围是_m 1_ 2 【解析】 二次函数 yx22xm 的图象与 x 轴有两个交点，0，44m0，m 1. 【点悟】 抛物线 yax2bxc(a0)与 x 轴的交点的横坐标 x1，x2，就是方程 ax2bxc 0(a0)的两个根，判断抛物线与 x 轴是否有交点，只要判断 b24ac 与 0 的大小即可 变式跟进 4已知二次函数 yx22xm(m 为常数)的图象与 x 轴的一个交点为(1，0)，则关
6、于 x 的 一元二次方程 x22xm0 的两个实数根是( D ) Ax11，x22 Bx11，x23 Cx11，x22 Dx11，x23 【解析】 二次函数 yx22xm(m 为常数)的对称轴是 x1，(1，0)关于 x1 的对称点是 (3，0)则一元二次方程 x22xm0 的两个实数根是 x11，x23. 52017高邮二模如图 1，二次函数 y1ax2bxc 与一次函数 y2kx 的图象交于点 A 和 原点 O，点 A 的横坐标为4，点 A 和点 B 关于抛物线的对称轴对称，点 B 的横坐标为 1，则满 足 0y1y2的 x 的取值范围是_ 4 x 3_ 图 1 第 5 题答图 【解析】
7、如答图所示，点 A 的横坐标为4，点 A 和点 B 关于抛物线的对称轴对称，点 B 的 3 横坐标为 1，抛物线的对称轴为 x ，二次函数 y1ax2bxc 与一次函数 y2kx 的 2 图象交于点 A 和原点 O，C 点坐标为(3，0)，则满足 0y1y2的 x 的取值范围是4x 3. 题型四 二次函数的图象与系数之间的关系 例 4 如图 2，已知二次函数 yax2bxc(a0)的图象与 x 轴交于点 A(1，0)，与 y 轴的交点 B 在(0，2)和(0，1)之间(不包括这两点)，对称轴为直线 x1.下列结论： abc0； 4a2bc0； 1 2 4acb28a； a ； bc. 3 3
8、其中含所有正确结论的选项是( D ) 3 图 2 A B C D 【解析】 函数开口方向向上，a0，对称轴在原点右侧，ab 异号，抛物线与 y 轴交点在 y 轴负半轴，c0，abc0，故正确； 图象与 x 轴交于点 A(1，0)，对称轴为直线 x1，图象与 x 轴的另一个交点为(3，0)， 当 x2 时，y0，4a2bc0，故错误； 图象与 x 轴交于点 A(1，0)，当 x1 时，y(1)2ab(1)c0，ab b c0，即 abc，cba，对称轴为直线 x1， 1，即 b2a，cba 2a (2a)a3a，4acb24a(3a)(2a)216a20.8a0，4acb28a，故 正确； 图象
9、与 y 轴的交点 B 在(0，2)和(0，1)之间，2c1，23a1， 2 1 a ，故正确； 3 3 a0，bc0，即 bc，故正确 【点悟】 二次函数 yax2bxc(a0)，二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小当 a0 时，抛物线向上开口；当 a0 时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大 开口就越小一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置当 a 与 b 同号时(即 ab 0)，对称轴在 y 轴左 侧；当 a 与 b 异号时(即 ab0)，对称轴在 y 轴右侧(简称：左同右异) 常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点，抛物线与 y 轴交于(0，c) 变式
10、跟进 62016孝感如图 3 是抛物线 yax2bxc(a0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且 与 x 轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间则下列结论： abc0； 3ab0； b24a(cn)； 一元二次方程 ax2bxcn1 有两个不相等的实数根 其中正确结论的个数是( C ) 4 图 3 A1 B2 C3 D4 【解析】 抛物线与 x 轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间，而抛物线的对称轴为直线 x 1，抛物线与 x 轴的另一个交点在点(2，0)和(1，0)之间当 x1 时，y0，即 a bc0，正确； b 抛物线的对称轴为直线 x 1，即 b2a，3ab3a2aa，错
11、误； 2a 4acb2 抛物线的顶点坐标为(1，n)， n，b24ac4an4a(cn)，正确； 4a 抛物线与直线 yn 有一个公共点，抛物线与直线 yn1 有 2 个公共点，一元二次方 程 ax2bxcn1 有两个不相等的实数根，正确 题型五 二次函数的实际应用 例 5 2016潍坊旅游公司在景区内配置了 50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观 光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金 x(元)是 5 的倍数，发现每天的运营规律如 下：当 x 不超过 100元时，观光车能全部租出；当 x 超过 100元时，每辆车的日租金每增加 5 元，租出去的观光车就会减少 1 辆，已知所有观光车每天
12、的管理费是 1 100 元 (1)优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多 少元？(注：净收入租车收入管理费) (2)当每辆车的日租金为多少时，每天的净收入最多？ 解：(1)由题意知，若观光车能全部租出，则 0x100，由 50x1 1000，解得 x22， x 是 5 的倍数，每辆车的日租金至少为 25 元； (2)设每天的净收入为 y 元，当 0x100 时，y150x1 100，y1随 x 的增大而增大， 当 x100时，y1的最大值为 501001 1003 900. x100 1 1 当 x100时，y2( x1 100 x270x1 100 (x175)25 025. 50 5 ) 5 5 当 x175时，y2的最大值是 5 025，5 0253 900， 当每辆车的日租金为 175 元时，每天的净收入最多，最多收入是 5 025 元 【点悟】 应用二次函数解决实际问题中的最优化问题，实际上就是求函数的最大值(或最小 5