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1、【高考必备】高一数学人教A版必修一第二章2.2.1对数与对数运算教案第三课时第3课时 教学目标 1(知识与技能 推导对数的换底公式，培养学生分析、解决问题的能力，培养学生的数学应用意识和科学分析问题的精神和态度( 2(过程与方法 让学生经历推导对数的换底公式的过程，归纳整理本节所学知识( 3(情感态度与价值观 通过对数的运算性质、对数换底公式的学习，培养学生的探究意识，培养学生的严谨的思维品质;感受对数的广泛应用( 重点难点 重点:对数的运算性质、换底公式及其应用( 难点:正确使用对数的运算性质和换底公式( 教学过程导入新课 思路1(问题:你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗,0，且?1，
2、,0，且?aaccblogc1，b,0，logb,.教师直接点出课题:对数与对数运算(3)对数的换底公式及其应alogac用( 思路2(前两节课我们学习了以下内容:1(对数的定义及性质;2(对数恒等式;3(对数的运算性质，用对数的运算性质我们能就同底数的对数进行运算，那么不同底数的对数集中在一起，如何解决呢,这就是本堂课的主要内容(教师板书课题:对数与对数运算(3)对数的换底公式及其应用( 思路3(从对数的定义可以知道，任意不等于1的正数都可作为对数的底，数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数，这样，如果能将其他底的对数转换
3、为以10为底或以e为底的对数就能方便地求出任意不等于1的正数为底的对数，那么，怎么转化呢,这就需要一个公式，即对数的换底公式，从而引出课题:对数与对数运算(3)对数的换底公式及其应用( 推进新课 新知探究 提出问题 (1)已知lg2,0.3010，lg3,0.4771，求log3的值; 2(2)根据(1)，如a,0，a?1，你能用含a的对数式来表示log3吗, 2blogc(3)更一般地，我们有logb,，如何证明, alogacblogc(4)证明logb,的依据是什么, alogac(5)你能用自己的话概括出换底公式吗, (6)换底公式的意义是什么,有什么作用, 活动:学生针对提出的问题，
4、交流讨论，回顾所学，力求转化，教师适时指导，必要时提示学生解题的思路，给学生创造一个互动的学习环境，培养学生的创造性思维能力(对(1)目前还没有学习对数的换底公式，它们又不是同底，因此可考虑对数的定义，转化成方程来解;对(2)参考(1)的思路和结果的形式，借助对数的定义可以表示;对(3)借助(1)(2)的思路，利用对数的定义来证明;对(4)根据证明的过程来说明;对(5)抓住问题的实质，用准确的语言描述出来，一般是按照从左到右的形式;对(6)换底公式的意义就在于对数的底数变了，与我们的要求接近了( 0.30100.4771讨论结果:(1)因为lg2,0.3010，lg3,0.4771，根据对数的
5、定义，所以10,2，10,3. x0.3010x0.4771，0.3010x0.4771不妨设log3,x，则2,3，所以(10),1010,10， 20.477 1lg 3lg 30.477 1即0.3010x,0.4771，x,.因此log3,?1.5850. 20.301 0lg 2lg 20.301 0(2)根据(1)我们看到，最后的结果是log3用lg2与lg3表示，是通过对数的定义转化的，这就2给我们以启发，本来是以2为底的对数转换成了以10为底的对数， x不妨设log3,x，由对数定义知道，2,3， 2log3ax两边都取以a为底的对数，得log2,log3，xlog2,log3
6、，x,， aaaalog2a3loga也就是log3,. 2log2a这样log3就表示成了以a为底的3的对数与以a为底的2的对数的商( 2blogc(3)证明logb,. alogacx证明:设logb,x，由对数定义知道，a,b; ax两边取以c为底的对数，得loga,logb?xloga,logb; cccclogblogbcc所以x,，即logb,. alogalogaccblogc一般地，logb,(a,0，a?1，c,0，c?1，b,0)称为对数的换底公式( alogac(4)由(3)的证明过程来看，换底公式的证明要紧扣对数的定义，证明的依据是:若M,0，N,0，M,N，则logM
7、,logN. aa(5)一个数的对数，等于同一底数的真数的对数与底数的对数的商，这样就把一个对数变成了与原来对数的底数不同的两个对数的商( (6)换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底问题转化为同底问题，为使用运算性质创造条件，更方便化简求值( 说明:我们使用的计算器中，“log”通常是常用对数，因此要使用计算器计算对数，一定lg 3要先用换底公式转化为常用对数(如log3,， 2lg 2即计算log3的值的按键顺序为:“log”?“3”?“?”?“log”?“2”?“,”( 218再如:在前面要求我国人口达到18亿的年份，就是要计算x,log， 1.011318lg1813lg 1
8、8,lg 131.255 3,1.039所以x,log,?,32.8837?33(年)( 1.0113lg 1.01lg1.010.004 3可以看到运用对数换底公式，有时要方便得多( 应用示例 例1求log9?log32的值( 827活动:学生观察题目，思考讨论，互相交流，教师适时提示，学生板演，利用换底公式统一底数;根据题目的特点，底数不同，所以考虑把底数统一起来，可以化成常用对数或以2为底的对数，以3为底的对数也可( lg 9lg 322lg 35lg 210解法一:log9?log32,?,?,. 827lg 8lg 273lg 23lg 3993235loglog2log10222解
9、法二:log9?log32,?,?,. 827log8log2733log39222932210loglog25log333解法三:log9?log32,. ?,?827log8log273log239333点评:灵活运用对数的换底公式是解决问题的关键( log2?log814549log321例2计算:(1)log3?log2,. ;(2)49123log?log42573活动:学生积极交流，教师引导，学生展示自己的思维过程，教师对学生的表现及时评价(先利用对数运算性质和换底公式进行化简，然后再求值;对(1)根据题目的特点，底数不同，所以考虑把底数统一起来，再利用对数的运算性质化简(对(2)
10、利用换底公式把底数统一起来，再化简求值( 4lg2lg 31lg 24lg 32?lg 5lg 72lg 52lg 7,12解:(1)原式,3. lg 3lg 2,lg 32lg 223?lg 5lg 72lg 53lg 71432loglog115422log(32)log3221(2)log3?log2,log3?log2，log2 ?,49232log4log92242212log22153,，,. 442点评:在利用对数的换底公式进行化简求值时，一般情况是根据题中所给的对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，如果题目中所给的真数和底数互不相同，我们常选择以10为底的对数进行换底( lo
11、gxa例3(1)证明,1，logb; alogxablogblogblogblog()bbb？,(2)已知,，求证:. a1a2anaaan？122n112n活动:学生思考、讨论，教师适当提示:(1)运用对数换底公式，统一成以a为底的对数可直接得解，或利用对数的定义，分别把三个式子设出，再由定义转化成指数形式，利用指数幂的性质得解;(2)这是条件证明问题，应在现有条件下利用换底公式，转化成积的形式，从题目的结论来看，真数是积的形式，因此要创造对数的和的形式，这就想到先换底，再利用等比性质来解( pqqqr(1)证法一:设logx,p，logx,q，logb,r，则x,a，x,(ab),ab，b
12、,a. aabapqq(1，r)所以a,(ab),a，从而p,q(1，r)( pxloga因为q?0，所以,1，r，即,1，logb. alogxqabxabloglogax证法二:显然x,0且x?1，x可作为底数，左边,logab,1，logb,右边( aalogxlogaabxbblg lg 12(2)证明:因为logab,logab,logab,，所以由换底公式得,1122nnlg alg a12lg blg b，lg b，lg blg(bbb)n12n12n,.由等比定理，所以,.所以,. lg alg a，lg a，lg alg(aaa)n12n12nbbb)lg(12nlog()b
13、bb？所以,. aaan？12lg(aaa)12n12n点评:在解题过程中，根据题目的需要，把底数转化，换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，该公式既可正用，又可逆用，使用时的关键是选择底数，换底的目的是实现对数式的化简( 例420世纪30年代，里克特(C.F.Richter)制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大(这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M,lgA,lgA，其中，A是被测地震的最大振幅，A是00“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差)( (1)假设在一次地震
14、中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级(精确到0.1); (2)5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍(精确到1), 活动:学生审题，教师引导，学生交流，展示自己的思维过程，教师强调实际问题的注意事项(根据题目给出的数学模型及其含义来解决(这是实际问题，但题目给出了数学模型即关系式，关系式是以常用对数的形式给出，因此要利用对数的定义和运算性质，同时注意要使实际问题有意义( 204解:(1)M,lg20,lg0.001,lg,lg20000,lg2，lg10?4.3. 0.001
15、因此，这是一次约为里氏4.3级的地震( AAMM(2)由M,lgA,lgA可得M,lg，即,10，所以A,A?10. 00A0A07.6当M,7.6时，地震的最大振幅为A,A?10; 105当M,5时，地震的最大振幅为A,A?10. 207.6AA10102.67.6,55,10?398. 所以，两次地震的最大振幅之比是,10AA1020答:7.6级地震的最大振幅大约是5级地震的最大振幅的398倍( 点评:利用所学知识解决实际问题，是教学的一个难点( 知能训练 课本本节练习4. 【补充练习】 lg 12(1)已知lg2,a，lg3,b，则等于( ) lg 152a，ba，2b2a，ba，2bB
16、CDA( 1，a，b1，a，b1,a，b1,a，bx(2)已知2lg(x,2y),lgx，lgy，则的值为( ) yA(1B(4C(1或4D(4或,1 a(3)若3,2，则log8,2log6,_. 335(4)lg12.5,lg，lg0.5,_. 8答案:(1)C (2)B (3)a,2 (4)1 拓展提升 探究换底公式的其他证明方法: 活动:学生讨论、交流、思考，教师可以引导，大胆设想，运用对数的定义及运算性质和指数幂的运算性质( xx证法一:设logN,x，则a,N，两边取以c(c,0且c?1)为底的对数，得loga,logN，所以accNNloglogccxloga,logN，即x,.
17、故logN,. ccalogalogacclogNa证法二:由对数恒等式，得，两边取以(,0且?1)为底的对数，得,ccclogNcNa,NlogclogN?loga，所以logN,. acalogacmnmnmn证法三:令loga,m，logN,n，则a,c，N,a，所以N,(c),c. caNNloglogcc两边取以c(c,0且c?1)为底的对数，得mn,logN，所以n,，即logN,. calogamclogNc对数换底公式的应用:换底公式logN,(c,0且c?1，a,0且a?1，N,0)的应用包括alogac两个方面，即由左端到右端的应用和由右端到左端的应用，前者较为容易，而后者
18、则易被学生忽视，因此，教学时应重视后者的用法，下面仅就后者举例说明: logMMMMlogloglogabcd6、因材施教，重视基础知识的掌握。例:化简:，. logNlogNlogNlogNabcd定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。解:原式,，,4. logMlogMlogMlogMlogMNNNNN（3）二次函数的图象：是一条顶点在y轴上且与y轴对称的抛物线，二次函数的图象中，a的符号决定抛物线的开口方向，|a|决定抛物线的开口程度大小，c决定抛物线的顶点位置，即抛物线位置的高低。课堂小结 推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.1(对数
19、换底公式; 2(换底公式可用于对数式的化简、求值或证明(若对数式的底数和真数可转化成同底数的幂的形式，则该幂底数可被选作换底公式的底数，也可把对数式转化成以10为底的常用对数或以任意数a(a,0且a?1)为底的对数式的形式( 作业 （7）二次函数的性质：课本习题2.2A组 6，11，12. 3、观察身边的简单物体，初步体会从不同角度观察物体所看到的形状可能是不同的，学生将经历从立体图形到平面图形的过程,认识长方形、正方形、三角形、圆等平面图形，初步体会面在体上，进一步发展空间观念。【补充作业】 30 o45 o60 o11log,alog,b1(已知，求log175的值( 1181752731
20、1log解:因为,log7,log7,a，所以log7,3a. 1273337271log又因为,log5,b， 13531113a，2b所以log175,log(257),(log25，log7),(2log5，log7),. 81333334444第一章 直角三角形边的关系5nnlog32(求证:(log3，log9，log27，)log32,. 24892n2nn证明:左边,(log3，log9，log27，log3)log32 2482n97、课堂上多设计一些力所能及的问题，让他们回答，并逐步提高要求。1log3+log3+log3+log3？2222log,()?32 9nn155log,nlog3?32,log3?log2,右边( 232322n