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1、一元二次方程的应用（一）二次三项式的因式分解（1）形如ax2bxc(a0)的多项式叫做x的二次三项式（2） 二次三项式因式分解的公式 ax2bxc=a(xx1)(xx2)(a0)说明：(a)在此公式中x1、x2是对应的一元二次方程ax2bxc=0的两个根(b)任何二次三项式，当对应的一元二次方程=b24ac0时，能分解因式；当=b24ac0时，不能分解因式当=0时，二次三项式ax2bxc是完全平方式(c)对于二次三项式的因式分解，能用前面学过的方法分解的，用前面学过的方法较简便借助一元二次方程分解的，主要是指那些用前面学过的方法不能因式分解的二次三项式(3) 因式分解二次三项式的步骤(a)求二
2、次三项式ax2bxc所对应的一元二次方程ax2bxc=0的两根x1、x2(b)将求得的x1、x2的值代入因式分解的公式ax2bxc=a(xx1)(xx2) (4) 难点/混淆点： (a)在二次三项式的因式分解时，注意不要丢掉公式中的二次项系数a(b)要注意公式中x1、x2前面的符号和x1、x2本身的符号不要混淆(c)把x1、x2的值代入公式后，能化简整理的可以化简整理(5) 常见例题 - 4y28y1解：对应的方程为4y28y1=0根的判别式：=8*8-4*（-4）*（-1）=480所以它有两个不等的实根。它的两根是：启示：(a)解方程时，如果二次项系数是负数，一般可将其化为正数再解，这样可提
3、高解方程的准确性，如解4y28y1=0可化为4x28y1=0再解；(b)把4分解为22，两个2分别乘到每个括号内恰好能去掉两个括号内的分母，从而使分解式得到简化(6) 拓展：形如Ax2BxyCy2的因式分解 这样的多项式叫做关于x,y的二元二次多项式，一般将其中一个变元作为未知数，另一个就看作已知数，这样一来，可看作关于x或y的二次三项式. (7) 综合题：二次三项式3x24x2k，当k取何值时，(a)在实数范围内能分解；(b)不能分解；(c)能分解成一个完全平方式，这个完全平方式是什么？解：=(4)2432k=1624k(a)当0时，即1624k0，时，二次三项式3x24x2k在实数范围内能
4、分解因式；(b)当0时，即1624k0，时，3x24x2k不能分解因式；(c)当=0时，即1624k=0，时，3x24x2k是一个完全平方式当时，（二）列一元二次方程解应用题（1）解应用题步骤 即：1审题；2设未知数，包括直接设未知数和间接设未知数两种；3找等量关系列方程；4解方程；5判断解是否符合题意；6写出正确的解（2）常见类型1、传播问题有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人 可传染人数 共传染人数第0轮 1（传染源） 1第1轮 x x+1 第2轮 x(x+1) 1+x+ x(x+1) 列方程 1+x+
5、 x(x+1)=121 解方程，得 X1=10，X2=-12 X2=-12不符合题意，所以原方程的解是x=10答：每轮传染中平均一个人传染了10个人。 类似问题还有树枝开叉等。2、循环问题又可分为单循环问题，双循环问题和复杂循环问题a参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？b.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？c.一个正八边形，它有多少条对角线？3、平均率问题最后产值、基数、平均增长率或降低率、增长或降低次数的基本关系： M=a(1x)n n为增长或降低次数 M为最后产量，a为基数，x为平均增长率或降
6、低率 平均率和时间相关，必须弄清楚从何年何月何日到何年何月何日的增长或降低率。（a）平均增长率问题某电脑公司2000年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2002年经营总收入要达到2160万元，且计划从2000年到2002年，每年经营总收入的年增长率相同，问2001年预计经营总收入为多少万元？解：设每年经营总收入的年增长率为a. 列方程， 60040%(1+a)2=2160解方程， a1=0.2 a2=-2.2，(不符合题意，舍去)每年经营总收入的年增长率为0.2 则 2001年预计经营总收入为：60040%(1+0.2)=60040%1.2=
7、1800答：2001年预计经营总收入为1800万元.（b）平均下降率问题从盛满20升纯酒精的容器里倒出若干升，然后用水注满，再倒出同样升数的混合液后，这时容器里剩下纯酒精5升问每次倒出溶液的升数？剖析：第一次倒出的是纯酒精，而第二次倒出的就不是纯酒精了若设每次倒出x升，则第一次倒出纯酒精x升，第二次倒出纯酒精（x）升根据20升纯酒精减去两次倒出的纯酒精，就等于容器内剩下的纯酒精的升数20xx54、商品销售问题常用关系式：售价进价=利润 一件商品的利润销售量=总利润 单价销售量=销售额）（a）给出关系式1.某商店购进一种商品，进价30元试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)
8、满足关系：P=100-2X销售量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？ (b)一个“+” 一个“”3.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？5、面积问题例3:如图121，在宽20米，长32米的矩形耕地上，修筑同样宽的三条路(两条纵向，一条横向，并且横向与纵向互相垂直)，把这块耕地分成大小相等的六块试验田，要使试验田的面积是570平
9、方米，问道路应该多宽?剖析：设路宽为x米，那么两条纵路所占的面积为2x2040x（米2），一条横路所占的面积为32x(米2)纵路与横路所占的面积都包括两个小正方形ABCD、EFGH的面积，所以三条路所占耕地面积应当是(40x32x2x2)米2，根据题意可列出方程3220（40x32x2x2）570解：设道路宽为x米，根据题意，得3220（40x32x2x2）570整理，得x236x350解这个方程，得x11，x235x235不合题意，所以只能取x11答：道路宽为1米说明：本题的分析中，若把所求三条路平移到矩形耕地边上(如图122)，就更易发现等量关系列出方程如前所设，知矩形MNPQ的长MN(3
10、22x)米，宽NP(20x)米，则矩形MNPQ的面积为：(322x)(20x)而由题意可知矩形MNPQ的面积为570平方米进而列出方程(322x)(20x)570，思路清晰，简单明了6、银行问题王明同学将100元第一次按一年定期储蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的50元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的一半，这样到期后可得本金利息共63元，求第一次存款时的年利率解：设第一次存款时的年利率为x，根据题意，得100（1x）50（1x）63整理，得50x2125x130解得x1，x2x2不合题意，x10答：第一次存款时的年利
11、率为10说明：要理解“本金”“利息”“利率”“本息和”等有关的概念，再找清问题之间的相等关系7、图表信息问题14某开发区为改善居民的住房条件，每年都新建一批住房，人均住房面积逐年增加（人均住房面积，单位：平方米/人）该开发区1997年至1999年，每年年底人口总数和人均住房面积的统计结果分别如图124，请根据两图中所提供的信息解答下面的问题：（1）该区1998年和1999年两年中，哪一年比上一年增加的住房面积多？多增加多少万平方米?答：_年比上一年增加的住房面积多，多增加_万平方米（2）由于经济的发展，预计到2001年底，该区人口总数将比1999年年底增加2万，为使到2001年年底该区人均住房
12、面积达到11平方米/人，试求2000年和2001年两年该区住房总面积的年平均增长率应达到百分之几？14(1)1999，74(2)108、行程问题：1、A、B两地相距82km，甲骑车由A向B驶去，9分钟后，乙骑自行车由B出发以每小时比甲快2km的速度向A驶去，两人在相距B点40km处相遇。问甲、乙的速度各是多少?9、工程问题：1、某公司需在一个月（31天）内完成新建办公楼的装修工程如果由甲、乙两个工程队合做，12天可完成；如果由甲、乙两队单独做，甲队比乙队少用10天完成（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数（2）如果请甲工程队施工，公司每日需付费用2000元；如果请乙队施工，公司每日需
13、付费用1400元在规定时间内：A请甲队单独完成此项工程出B请乙队单独完成此项工程；C请甲、乙两队合作完成此项工程以上三种方案哪一种花钱最少？10、数学问题：例1：一个两位数，十位上数字与个位上数字之和为5；把十位上的数字与个位上数字互换后再乘以原数得736，求原来两位数剖析：设原来两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为(5x)，原来的两位数就是：10(5x)x新的两位数个位上的数字为(5x)，十位上的数字为x，新的两位数就是：10x(5x)可列出方程：10（5x）x10x(5x)736解：设原来两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为(5x)根据题意，得 10（5x）x10x(5x)736整理，得x25x60，解得x12，x23当x2时，5x523；当x3时，5x532答：原来的两位数是32或23说明：解决这类问题，关键是写出表示这个数的代数式11、动态几何：如图，在ABC中，B=90o。点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动。如果P、Q分别从A，B同时出发，经过几秒， PBQ的面积等于8cm2 ？解：设经过x秒，得：BP=6-x，BQ=2x SPBQ=BPBQ2（6-x）2x2=8解得：x1=2，x2=47 / 7文档可自由编辑打印