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1、探索二次函数综合题解题技巧七 二次函数在中考数学中常常作为压轴题，具有一定的综合性和较大的难度。学生往往因缺 乏思路,感到无从下手,难以拿到分数。事实上,只要理清思路,方法得当,稳步推 进,少失分、 多得分、是完全可以做到的。第 1 小问通常是求解析式：这一小题简单，直接找出坐标或者 用线段长度来确定坐标，进而用待定系数法求出解析式即可。第 23 小问通常要结合三角形、 四边形、圆、对称、解方程（组）与不等式（组）等知识呈现，知识面广，难度大；解这类 题要善于运用转化、数形结合、分类讨论等数学思想，认真分析条件和结论、图形的几何特征 与代数式的数量结构特征的关系，确定解题的思路和方法；同时需要
2、心态平和，切记急躁：当 思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系；既 要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。 类型七 二次函数中动态的探究问题 例 1 1 如图，在直角坐标系中，梯形 ABCD 的底边 AB在 x 轴上，底边 CD 的端点 D 在 y 轴上.直线 CB的表达式为 y= x + ，点 A、D 的坐标分别为（4，0）， （0，4）.动点 P 自 A 点出 发，在 AB 上匀速运行.动点 Q 自点 B 出发，在折线 BCD 上匀速运行，速度均为每秒 1 个单位. 当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动.设点 P 运动 t（秒）时，OPQ 的面积为
3、 s（不 能构成OPQ 的动点除外）. （1）求出点 B、C 的坐标； （2）求 s 随 t 变化的函数关系式； （3）当 t 为何值时 s 有最大值？并求出最大值. 解（1）把 y4 代入 y x ，得 x1. C 点的坐标为（1，4）. 1 当 y0 时， x 0， x4.点 B 坐标为（4，0）. (2)作 CMAB 于 M，则 CM4，BM3. 由勾股定理得 BC5. sinABC . 0t4 时，作 QNOB 于 N， 则 QNBQsinABC t. S OPQN （4t ） t t2 t（0t 4）. 当 4t5 时，（如备用图 1）， 连接 QO，QP ，作 QNOB 于 N.
4、同理可得 QN t. S OPQN （t4 ） t t2 t（4t5）. 当 5t6 时，（如备用图 2）， 连接 QO，QP. S OPOD （t4）42t8（5t6）. （3）在 0t4 时， 当 t2 时， S 最大 . 在 4t5 时 ，对于抛物线 S t2 t 的顶点为（2 ， ）. 在 4t5 时，S 随 t 的增大而增大. 当 t5 时，S 最大 2. 在 5t6 时， 在 S2t8 中，K=20，S 随 t 的增大而增大. 当 t6 时，S 最大2684. 综合三种情况，当 t6 时，S 取得最大值，最大值是 4. 2 方法提炼： 动态 几何特点-问题背景是特殊图形，考查问题也
5、是特殊图形，所以要把握好一般与特 殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。） 动点问题它通常分为三种类型：动点问题、动线问题、动形问题,其中动点问题有单动点和 双动点两种类型。在解这类问题时， 要充分发挥空间想象的能力，不要被“动”所迷惑，而 是要在“动”中求“静”， 化“动”为“静”，抓住它运动中的某一瞬间，寻找确定的关系式， 把想知道的量用常量或含自变量的关系式表示出来。其中所含的数学思想和方法丰富，有数 型结合思想，方程思想，函数思想，分类讨论思想，数学建模等思想方法。考查学生利用动静 结合、图形变换的规律分析、解决问题的能力，有效地考查了考生
6、观察、猜想、归纳、验证、 推理等思维能力, 要求学生要会将问题各个时刻的图形分类画图，还要善于抓住在运动过程中 某一特殊位置的等量关系和变量关系,就能找到解决问题的途径。 跟 踪训练 1 1 如图，已知抛物线 y=- x2+bx+c 与坐标轴分别交于点 A(0，8),B(8，0)和点 E,动 点 C 从原点 O 开始沿 OA 方向以每秒 1 个单位长度移动，动点 D 从点 B 开始沿 BO 方向以每秒 1 个单位长度移动，动点 C,D 同时出发，当动点 D 到达原点 O 时，点 C,D 停止运动. (1)直接写出抛物线的解析式:； (2)求CED 的面积 S 与 D 点运动时间 t 的函数解析
7、式;当 t 为何值 时，CED 的面积最大?最大面积是多少? (3)当CED 的面积最大时，在抛物线上是否存在点 P(点 E 除外)，使 PCD 的面积等于CED 的最大面积，若存在，求出 P 点的坐标； 若不存在，请说明理由. 跟踪训练 2 2 已知：等边三角形 ABC 的边长为 4 厘米，长为 1 厘米的线段 MN 在ABC 的边 AB上 沿 AB 方向以 1 厘米/秒的速度向 B 点运动（运动开始时，点 M 与点 A 重合，点 N 到达点 B 时运 动终止），过点 M、N 分别作 AB 边的垂线，与ABC 的其它边交 于 P、Q 两点，线段 MN运动的时间为 t 秒. 3 （1）线段 M
8、N在运动的过程中，t 为何值时，四边形 MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积； （2）线段 MN 在运动的过程中，四边形 MNQP 的面积为 S，运动的时间为 t.求四边形 MNQP 的面 积 S 随运动时间 t 变化的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围. 跟踪训练 3 3 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(0，2)，B(2，0)，过点 B 和线段 OA 的中 点 C 作直线 BC， 以线段 BC 为边向上作正方形 BCDE. (1)填空：点 D 的坐标为_，点 E 的坐标为_； (2)若抛物线 yax2bxc(a0)经过 A，D，E 三点，求该抛物线的函数表达式； (3) 若正方形和抛物线均以每秒 5 个单位长度的速度沿射线 BC 同时向上平移，直至正方形的 顶点 E 落在 y 轴上时，正方形和抛物线均停止运动 在运动过程中，设正方形落在 y 轴右侧部分的面积为 S，求 S 关于平移时间 t(秒)的函数表 达式，并写出相应自变量 t 的取值范围； 运动停止时，求抛物线的顶点坐标 4