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1、探索二次函数综合题解题技巧四 二次函数在中考数学中常常作为压轴题，具有一定的综合性和较大的难度。学生往往因缺 乏思路,感到无从下手,难以拿到分数。事实上,只要理清思路,方法得当,稳步推进,少失分、多 得分、是完全可以做到的。第 1 小问通常是求解析式：这一小题简单，直接找出坐标或者用线 段长度来确定坐标，进而用待定系数法求出解析式即可。第 23 小问通常要结合三角形、四 边形、圆、对称、解方程（组）与不等式（组）等知识呈现，知识面广，难度大；解这类题要 善于运用转化、数形结合、分类讨论等数学思想，认真分析条件和结论、图形的几何特征与代 数式的数量结构特征的关系，确定解题的思路和方法；同时需要心
2、态平和，切记急躁：当思维 受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系；既要防 止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。 类型四 二次函数与特殊三角形的探究问题 （1 1）与直角三角形的探究问题 例 1 如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为直线 x=-1, 且经过 A(1，0)，C(0,3)两点，与 x 轴的另一个交点为 B。 （1）若直线 y=mx+n 经过 B，C 两点，求抛物线和直线 BC的解 析式； （2）设点 P 为抛物线的对称轴 x=-1上的一个动点，求使BPC 为直角三角形的点 P 的坐标. 解：（1）抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的
3、对称轴为直线 x=-1， 且抛物线经过 A（1，0），抛物线与 x 轴的另一交点为 B， B 的坐标为：（-3，0）， 设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x+3）， 把 C（0，3）代入，-3a=3， 解得：a=-1， 抛物线的解析式为：y=-（x-1）（x+3）=-x2-2x+3； 把 B（-3，0），C（0，3）代入 y=mx+n得： m=1，n=3 直线 y=mx+n 的解析式为：y=x+3； （1）设 P（-1，t）， 1 又B（-3，0），C（0，3）， BC2=18，PB2=（-1+3）2+t2=4+t2，PC2=（-1）2+（t-3）2=t2-6t+10， 若点 B 为直角顶
4、点，则 BC2+PB2=PC2， 即：18+4+t2=t2-6t+10，解之得：t=-2； 若点 C 为直角顶点，则 BC2+PC2=PB2， 即：18+t2-6t+10=4+t2，解之得：t=4， 若点 P 为直角顶点，则 PB2+PC2=BC2， 即：4+t2+t2-6t+10=18， 解之得：t1= 错误！未找到引用源。， t2= 综上所 述 P 的坐标为（-1，-2）或（-1，4）或（-1， ） 或（-1， ） 方法提炼(1)(1)： 利用坐标系中两点距离公式,得到所求三角形三边平方的代数式； 确定三角形中的直角顶点，若无法确定则分情况讨论； 根据勾股定理得到方程,然后解方程，若方程有
5、解，此点存在；否则不存在； 方法提炼(2)(2)： 利用两直线垂直，K 值互为负倒数（K1K2=-1），先确定点所在的直线表达式 将直线与抛物线的表达式联立方程组，若求出交点坐标，此点存在；否则不存在； 方法提炼(3)(3)： 利用特殊角 45构造直角三角形，易求点的坐标。 （2 2）与等腰三角形的探究问题 例 2 如图，直线 y3x3 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，过 A、B 两点的抛物线交 x 轴于另 一点 C(3，0)。 (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q 使，ABQ是等腰三角形？ 若存在求，出符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。 解：(1
6、)抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3 (2)该抛物线的对称轴为 x= 1。设 Q 点坐标为(1，m) 当 AB=AQAB=AQ时 Q 点坐标(1， 6)，或(1，- 6)； 2 当 BA= BA= BQBQ时 解 得：m=0，m =6, Q 点坐标为(1，0)或(1，6) 此点在直线 AB 上，不符合题意应 舍去; 当 QA=QBQA=QB时 解得：m=1， Q 点坐标为(1，1) 抛物线的对称轴上是存在着点 Q(1, 6)、(1,- 6)、(1，0)、(1，1) 方法提炼： 设出点坐标，求边长；（类型一方法提炼） 当所给定长未说明是等腰三角形的底还是腰时，需分三种情况讨论，如：本题中当
7、AB=AQ时； 当 BA= BQ 时；当 QA=QB时；具体方法如下: 当定长为腰，找已知直线上满足条件的点时，以定长的某一端点为圆心，以定长为半径画弧， 若所画弧与已知直线有交点且交点不是定长的另一端点时，交点即为所求的点；若所画弧与已 知直线无交点或交点是定长的另一端点时，满足条件的点不存在；当定长为底边时，作出定 长的垂直平分线，若作出的垂直平分线与已知直线有交点，则交点即为所求的点，若作出的垂 直平分线与已知直线无交点，则满足条件的点不存在用以上方法即可找出所有符合条件的点。 跟踪训练1 1：如图，已知抛物线y=x2+bx-3a 过点A（1，0），B（0， -3）， 与 x 轴交于另一
8、点 C （1）求抛物线的解析式； （2）若在第三象限的抛物线上存在点 P，使PBC 为以点 B 为直角顶点的直角三角形，求点 P 的坐标； （3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点 Q，使以 P，Q，B，C 为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不 存在，请说明理 由 3 跟踪训练 2 2：以菱形 ABCD 的对角线交点 O 为坐标原点，AC 所在的直线为 x 轴，已知 A（-4，0），B（0，-2），M（0，4），P 为折线 BCD 上一动点，作 PEy 轴于点 E，设 点 P 的纵坐标 为 a （1）求 BC边所在直线的解析式； （2）当OPM 为直角三角形时，求
9、点 P 的坐标 跟踪训练 3 3：如图，在平面直 角坐标系中，直线 y=2x+10 与 x 轴，y 轴相交于 A，B 两点， 点 C 的坐标是（8，4），连接 AC，B C （1）求过 O，A，C 三点的抛物线的解析式，并判断ABC 的形 状； （2）动点 P 从点 O 出发，沿 OB以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 运动；同时，动点 Q 从点 B 出发，沿 BC以每秒 1 个单位长度的速度 向点 C 运动规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停 止运动设运动时间为 t 秒，当 t 为何值时，PA=QA？ （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点 M，使以 A，B，M 为顶点的三角形是等腰三角形？若 存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 4 跟踪训练 4 4：如图，已知一次函数 y0.5x+2 的图象与 x 轴交于点 A，与二次函数 yax2+bx+c 的图象交于 y 轴上的一点 B，二次函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴只有唯一的交点 C，且 OC2 （1）求二次函数 yax2+bx+c 的解析式； （2）设一次函数 y0.5x+2 的图象与二次函数 yax2+bx+c的图象的另一交点为 D，已知 P 为 x 轴上的一个动点，且PBD 为直角三角形，求点 P 的坐标 5