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1、探索二次函数综合题解题技巧六 二次函数在中考数学中常常作为压轴题，具有一定的综合性和较大的难度。学生往往因缺 乏思路,感到无从下手,难以拿到分数。事实上,只要理清思路,方法得当,稳步推进,少失分、多 得分、是完全可以做到的。第 1 小问通常是求解析式：这一小题简单，直接找出坐标或者用线 段长度来确定坐标，进而用待定系数法求出解析式即可。第 23 小问通常要结合三角形、四 边形、圆、对称、解方程（组）与不等式（组）等知识呈现，知识面广，难度大；解这类题要 善于运用转化、数形结合、分类讨论等数学思想，认真分析条件和结论、图形的几何特征与代 数式的数量结构特征的关系，确定解题的思路和方法；同时需要心
2、态平和，切记急躁：当思维 受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖 掘隐蔽的条件和内在联系；既要 防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。 类型六 二次函数与圆的探究问题 例 1 1 已知 二次函数 y=x2+bx+c的顶点 M 在直线 y=-4x上，并且图象经过点 A（-1，0）。 （1）求这个二次函数的解析式； （2）设此二次函数与x 轴的另一个交点为 B，与 y 轴的交点为 C，求经过 M、 B、C 三点的O 的直径长； （3）设O与 y 轴的另一个交点为 N，经过 P（-2，0）、N 两点的 直线为 L，则圆心 O是否 在直线 L 上，请说明理由。 解：（1）由公式法可表示出二次函
3、数的顶点 M 坐标代入 y=-4x，得到关于 b，c 的关系式，再 把 A 的坐标代入函数解析式又可得到 b，c 的关系式，联立以上两个关系式解方程组求出 b 和 c 的值即可求出这个二次函数的解析式为 y=x2-2x-3； （2）分别求出 B（3，0），C（0，-3），和 M（1，-4）的坐标， 过 M 作 MEOE，过 B 作 BFEM 交 EM于 F， OC=3，OB=3，CE=OE-OC=1，MF=2，BF=4，EM=1 在 RtBOC，RtCEM，RtBFM 中，利用勾股定理得：BC=3 ， MC= ， BM=2 ， BC2+MC2=20， BM2=（ 2 2BC2+MC2=BM2
4、MBC 为直角三角形，且BCM=90， O的直径长为 BM=2 ； （3）圆 心 O在直线上，过 O作 x 轴的垂线，交 x 轴于 R， 1 过 O作 y 轴的垂线，交 y 轴于 T，交 MQ 于 S， 设O与 x 轴的另一个交点为 Q，连接 MQ， 由 BM 是O的直径，知BQM=90Q（1，0）， BQ=2，OROB， QR=1， OR=2， 在 RtORB 中，由勾股定理得 OR= =2， O的坐标为（2，-2）， OT=2， OC=3， TC=1， NC=1， ON=1， N 的坐标为（0，-1） 设过 PN 的直线解析式为 y=kx+b，把 N 的坐标为（0，-1）和P（-2，0）分
5、别代入 求得 k=- ，b=-1， 过 PN 的直线解析式为 y=- x-1， O的坐标为（2，-2）， -2=- 2-1=-2， 圆心 O是在直线上。 方法提 炼： 运用转化的思想。转化的数学思想是解决数学问题的核心思想，由于 函数与几何结合的问题 都具有较强的综合性，因此在解决这类问题时，要善于把“新知识”“转化为 旧知识”，把“未 知”化为“已知”，把“抽象”的问题转化为“具体”的问题，把“复杂”的问题转化为“简 单”的问题。综合使用分析法和综合法。就是从条件与结论出发进行联想、推理，“由已知 得可知”，“从要求到需求”，通过对问题的“两边夹击”，使它们在中间的某个环节上产生联 系，从而
6、使问题得以解决。 跟踪训练 1 1 如图，抛物线 y=ax2+bx-3与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于 C 点，且经过点（2，-3a）， 对称轴是直线 x=1，顶点是 M （1）求抛物线对应的函数表达式； （2）经过 C，M 两点作直线与 x 轴交于点 N，在抛物线上是否存在 这样的点 P，使以点 P，A，C，N 为顶点的四边形为平行四边形？ 若存在， 请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）设直线 y=-x+3 与 y 轴的交点是 D，在线段 BD上任取一点 E（不 与 B，D 重合），经过 A，B，E 三点的圆交直线 BC于点 F，试判断AEF 的形状，并说明理由；
7、 （4）当 E 是直线 y=-x+3上任意一点时，（3）中的结论是否成立（请直接写出结论） 2 跟踪训练 2 2 如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC是边长为 2 的正方形，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A，B，与 x 轴分别交于点 E，F，且点 E 的坐标为（- ，0）， 以 OC 为直径作半圆，圆心为 D （1）求二次函数的解析式； （2）求证：直线 BE是D 的切线； （3）若直线 BE与抛物线的对称轴交点为 P，M 是线段 CB上的一 个动点（点 M 与点 B，C 不重 合），过点 M 作 MNBE 交 x 轴与点 N，连结 PM，PN，设 CM的长为 t，PMN
8、 的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围S 是否存在着最大值？若存在，求出最大值； 若不存在，请说明理由 跟踪训练 3 3 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c 与M 相交于 A，B，C，D 四点， 其中 A，B 两点坐标升别为(1，0)，(0，2)，点 D 在.x 轴上且 AD为M 的直径，点 E 是M 与 y 轴的另一个交 点，过劣弧 EAD 上的点 F 作 FHAD 于点 H，且 FH=1.5. （1）求点 D 的坐标及抛物线的表达式； （2）若点 P 是 x 轴上的一个动点，试求出PEF 的周长 最小时点 P 的坐标； （3）在抛物线的对称轴 上是否存在点 Q，使QCM 是等腰三角形？如果存在，请直接写出 点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由. 3