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1、直线与方程知识点与经典例题直线与方程知识点与经典例题一、知识点(1)直线的倾斜角定义：X轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的 倾斜角。特别地，当直线与X轴平行或重合时,我们规 定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0Wa 180性质：直线的倾斜角a =90。时，斜率不存在，即直线 与P轴平行或者重合.当a=0。时，斜率h0；当 时，斜率心。，随着a的增大，斜率4也增大；当90180时，斜率人0； k不存在。当ae(90。,18(/)时,k0； 当a = 90。时,过两点的直线的斜率公式:注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90 ；(2)%与上的顺序无关
2、；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得 到。(3)直线方程点斜式：Ff =/-内)直线斜率工且过点注意：当直线的斜率为0时，k=0,直线的方程是y=yo当直线的斜率为90。时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示.但因】上每一点的横坐标都等于犯，所以它的方程是三n斜截式: 为i b两点式:截矩式:V = kx + h 91直线斜率为A，直线在y轴上的截距S=S）直线两点（钻），&加其中直线/与X轴交于点（“O,与）轴交于点（0M,即/与I轴、 ,轴的截距分别为由一般式： Ax+8y + C = 0 （4 5不全为0
3、）注意：各式的适用范围特殊的方程如:平行于x轴的直线：1（8为常数）；平行于y轴的直线：“为常数）；（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线+ B0y + C0=0数）的直线系： A）x + + C = 0（是不全为0的常 为常数）（二）垂直直线系垂直于已知直线4）X +dy + G）= 0数）的直线系： Bx + C = 0（三）过定点的直线系（4,5） 是不全为0的常 （C为常数）（i ）斜率为A的直线系：y-y0=k（x-x0）,直线过定点（%,九）；（ii ）过两条直线乙：Ax+用y + G = 0 , /-） Ax + y + C、= 0 的交点的 直
4、线系方程为（Ax+Bly + Cl）+A（A2x+B2y + C2）=0 。为参数），其中直线不在直线系中o（6）两直线平行与垂直当/i :y = kx+bl ,12: 丁 =女21 + 与时 9I 4 O4=k?,b Hb2 ； /, X/2 kk = 1注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率 的存在与否。(7)两条直线的交点h :Ax+gy + G = I, :A,x + 8、y + C, =005交点坐标即方程组; Ax + Bj + C =0 的一组解。A2x+ B2y + C2 =0方程组无解0/J/2 ;与4重合(8)两点间距离公式：设 中的两个点，贝！11AB1= 4.
5、一%)2+(丫；%)2方程组有无数解45,)0是平面直角坐标系(9)点到直线距离公式：一点尸(即儿)到直线乙如+5.v+C = 0的 距离d =四。二%二4(10)两平行直线距离公式在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离 进行求解。填空或选择可以用： /).Ax+By + Cl =0 /, :Ax+By + C2 =0 ,z_ lci-C2lV才+ 5 二、经典例题【例 1】(1)已知 2(3, 2),夙-4, 1), C(O, -1),求直线曲况；。的斜率，并判断它们的倾斜角是钝角还 是锐角.已知三点 4(& 2), 3(3, 7),。(-2, -9a)在一 条直线上，求实数石的值.1
6、例21已知两点A (-2,- 3), B (3,0),过点P (-1,2)的直线,与线段A5始终有公共点，求直线,的斜率4的取值范【例3】(1)已知直线4经过点(-3, 0), #(-15, -6), ，,经过点左(-2, |), 5(0, |),试判断乙与是否平行？(2)4的倾斜角为45经过点尸(-2, -1), Q(3, -6),问人与人是否垂直？【例4】已知直线/经过点 P(-5,-4)，且,与两坐标轴围成的三角形的面积为5,求直线，的方程.【例5】经过点加并且在两个坐标轴上的截距的绝对值 相等的直线有几条？请求出这些直线的方程【例6】写出过两点4(5,0),夙0,-3)的直线方程的两
7、点式、点斜式、斜截式、截距式和一般式方程【例71已知直线1的方程为3+4y-12=0,求与直线1 平行且过点(1，3)的直线的方程.【例8】已知为实数，两直线/I-y + i = o,。工+)-=。相交于一点，求证：交点不可能在第一象限及轴上例9若直线1：尸履3与直线2x+3y-6=0的交 点位于第一象限，求直线1的斜率的取值范围,【例10直线2x-y-4=0上有一点P，求它与两定点4(4, -1),夙3, 4)的距离之差的最大值.【例11】已知点A（-2,3）到直线,i + l的距离为凡求”的值;【例12】求与直线乙：2x + 3,T=。及七-67=。都平行且到它们 的距离都相等的直线方程.
8、经典例题【例 1】（1）已知 2（3, 2）,夙-4, 1）,。（0, -1）,求直线留典 a的斜率，并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.(2)已知三点 4(a, 2),夙3, 7), (7(-2, -9a)在一条直线上，求实数a的值.解：(1)直线四的斜率仁贤=；0,所以它的倾斜角a7 3/是锐角;直线国的斜率2言Wo,所以它的倾斜角a是钝角；直线a的斜率2白|句0,所以它的。一3倾斜角a是锐角.(t) ,7-25,7-(一9)7 + 9V A. B、C三点在一条直线上, L =kBC， BP Q =223- a5解得“ =2或【例2)已知两点A (23) , B (3, 0),过点P (1,
9、 2)的直线,与线段A3始终有公共点，求直线,的斜率a的取值范解：如图所示，直线的斜率是人二=5,一 1 一(一，)直线Pb的斜率是3 (一1)2当直线,由我变化到P轴平行位置用 它的倾斜角由锐角aana = 5)增至90 ,斜率的变化范围是5,十；当直线,由所变化到小位置，它的倾斜角由90增至P (tan/7 = -1) 9斜率的变化范围是ST.所以斜率的变化范围是(Y0,-g|U5,+8)【例3】(1)已知直线乙经过点(-3, 0), (-15, -6), ，,经过点A (-2, |), 5(0, |),试判断乙与是否平行？(2)乙的倾斜角为45 , 经过点尸(-2, -1), Q(3,
10、-6),解：(1)(2)问人与，是否垂直?-0-(-6)_1“N -3-(-15) 2 9卜 k】=tan45 = l ,5_3k _RS 0-(-2) 2【例4】已知直线/经过点-6-(-1) 2= 3-(-2)-9 4/4 k、k1 =-l f /1 -L .且,与两坐标轴围成的三角形的面积为5,求直线,的方程.解：由已知得,与两坐标轴不垂直.直线/经过点(一5,-4) 9可设直线的方程为y -(-4)=中一 (-5)，即 y + 4 = %* + 5) .则直线,在x轴上的截距为：-5 9在)轴上的截距为5/4根据题意得gixl-5x|5A:-4| = 5 9 艮|J (5k4)2=10
11、/1.当人0时，原方程可化为(51)2 =10女,解得JJ当E时，原方程可化为(5&-4)2=-104 9 此方程无实数解.故直线的方程为y + 4 = -U + 5) f BKv + 4 = -(a- + 5) 55即 2x-5y-10 = 0或8x-5y + 20 = 0【例5】经过点41并且在两个坐标轴上的截距的绝对值 相等的直线有几条？请求出这些直线的方程 解：当截距为。时,设f ,过点41，则得I,即k2、;当截距不为。时，设或M上=1,过点/2), a aa -a则得3,或 =即x + y-3 = 0 9 或x-y+l=0这样的直线有3条:y = 2xf x+y - 3 = 0,
12、5Kx - y + 1 =。.【例6】写出过两点力（5,0）,夙0,-3）的直线方程的两点式、点斜式、斜截式、截距式和一般式方程.解：两点式方程:)一(-3) 0-(-3) #x-0点斜式方程：）,y - (-3)=0-(-3)5-05-0U-0), 即 y-(-3) = |(A -0)斜截式方程:3 - 3,即/工一3；5-015截距式方程：尹卷山一般式方程:31一5，-15 = 0 例7已知直线1的方程为3t+47-12=0,求与直线1 平行且过点（一1, 3）的直线的方程.解：直线1;3户4912=0的斜率为一4V所求直线与已知直线平行，/.所求直线的斜率 为力又由于所求直线过点（一1,
13、 3）,所以，所求直线 的方程为：,-3 = 一 + 1）,即3x + 4y - 9 = 0. 4【例8】已知”为实数，两直线6 ： ax+ y + = 0 9 l2 ： x+y a = 0相交于一点，求证：交点不可能在第一象限及x轴上.解：解方程组Jax+y + l=O,俎卷占/_ a + a2 + 1寸乂尔I 7x+y-a = 0,a - 1 a - 1若jo,贝上1.当”1时, a -1一IVO,此时交点在 a -1第二象限内.又因为”为任意实数时，都有“年10,故 斗大）.因为,1 （否则两直线平行，无交点），所以,a 一 1交点不可能在x轴上一例9若直线It 7=4x./与直线2x+
14、3p6=0的交点位于第一象限，求直线1的斜率的取值范围.逆时针(由位置ZC到位置加9旋转时，交点在第一象限.根据2K邛,得到直线1的斜率女*.解：如图，直线 2x+3y6=0 过点 Z (3, 0), B (0, 2),直线尸履-3必过点(0, 73 ).当直线1 过Z点时，两直线的交点在x轴；当直线I绕。点，倾斜角范围为伴+. Jj【例10】直线2x4=0上有一点P,求它与两定点4(4, -1), M3, 4)的距离之差的最大值.解：找2关于1的对称点H , Af 5与直线I的交点即 为所求的P点.设”,则+1 )-：，解得；所以线段 1431= J(4 -1)2+(3-0)2 =3二2x-
15、 -4 = 01【例11】已知点A(-2,3)到直线)=ax + l的距离为由，求的值;解： : y = ax + l,s-y+ 1 =0,. =|一2：13+1| = 1 =相依+ 2| = 7771 /cr + 1 yja2 + 14/ + 8a + 4 = 2a2 + 2, . 2t/2+86/4-2 = 0,/. a =6-2热=-6-2.【例12】求与直线I : 2x + 3),-1 = 012: 4x + 6y-5 = 0 都平行且到它们 的距离都相等的直线方程.设所求直线的方程为解：直线乙的方程化为4 a- + 6y - 2 = 0 4x + 6 y+ C = 0 ,则 1 72 C 1 = 1 7? C 1 , 即 IC + 2ITC + 5I , 解得c .所以所求直 ，4- + 6 ，牛 +6-2线方程为4x + 6y ?=0.