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1、专题四三角平面向量复数一能力培养1,数形结合思想2,换元法3,配方法4,运算能力5,反思能力二问题探讨II问题 1 设向量 a = (cos ： ,sin ： ) , = (cos - ,sin J ,求证：sin(：亠,；)=sin： cosl， cos： sin :问题 2 设 f(x)=ab,其中向量 a = (2cos x,1) ,b = (cosx,、, 3s in 2x),x RJI HxF，求x；按向量 c =(m, n)( m n-)平移后得到函数(II)若函数y二2sin 2x的图象目二f (x)的图象，求实数m,n的值.兀2问题3(1)当X兰一，函数f(x)=cos x+s
2、i nx的最大值是，最小值是.432(2) 函数 y =cos x sin x-cosx的最大值是.2 2(3) 当函数y二sin x 2sin xcosx 3cos x取得最小值时，x的集合是sin x(4) 函数y(0 ： x ：二)的值域是.cosx +1-tan Atan B)，求角 a.问题4已知 ABC中,a,b, c分别是角A, B,C的对边，且a =4,b c = 5,tanA tanB =-.3(1三习题探讨选择题1在复平面内2i对应的向量为OA,复数对应的向量为oB那么向量aB对应的复数是A,1D, r3i2已知是第二象限角，其终边上一点P( X, 5 ),且 COS :x
3、，则 sin ：4A, 44D,JO4n:3函数y =2sin(3x -才)图象的两条相邻对称轴之间的距离是兀2兀4兀A,B,C,二D,3334已知向量0B =(2,0)，向量 OC = (2,2),向量 CA = (J2 cosa, J2sinet)，则向量OA与向量OB的夹角的取值范围是叫552r 5:二 1C,莎 2二 5:, I 12 125已知a = ( ,2) ,b = ( -3,5)，且 a与b的夹角为钝角，则的取值范围是,10 , .10 , 10 , ,10A,B,C,D,33336若x是三角形的最小内角，则函数y = si nx cosx si nxcosx的值域是 A,-
4、1,B,-1,、2C,(0八 2D,(12 填空题7 已知 sin ： sin ： =1,则 cos(、； )=8复数乙=3 i,互=1 -i ,则z = z込在复平面内的对应点位于第象限2 29若 tan 二-2,则 4sin -3sin ： cos： -5cos :=.10与向量a =(3, -1)和b =(1,-、3)的夹角相等，且长度为 2 的向量c = 11在复数集C内方程2x2 -(5-i)x飞=0的解为解答题12若才Ji n巨謬，求函数r1)sin2v的最小值，并求相应的二的值.x 1x 1 ST213 设函数 f (x) = 2-2, x R,若当 0时,f (cos) 2ms
5、in 对2f(-2m-2) ：0恒成立，求实数m的取值范围.-25z 214设arg z =丄，且=R，复数国满足=1,求-z的最大值与最小值勤4 z33xx二15 已知向量 a = (cosx,sin x),b=(cos，-si n )，且 x 0,4=A(I)求a b及a +b2 2222(II)求函数f (x) =a b4a+b的最小值.1.316设平面向量a = (、3 T), b =(，).若存在实数 m(m = 0)和角二(八(,),2 2 2 22使向量 c = a (tan 3)b , d = ma btan 门,且 c _ d .(I)求函数m = f L)的关系式；(ll)
6、令t =tan，求函数m =g(t)的极值.参考答案： 问题 1 证明：由 a 目二coscos, i-sinsin 一：，且cos(：-)二 cos(-)在中以n代换2cos-(x 亠 I ) = cos$ 一 :- )cos ： sin$Y)sin -.得 cos(圧) = cos： cosl； si n ： si nF；即 sin(“：.亠,-)= sin ： coscos： sin -.温馨提示：向量是一种很好用的工具运用好它，可简捷地解决一些三角，平几，立几，解几等 问题问题 2 解：(1)可得 f (x) = 2cos2 x i 3sin 2x =1 2sin(2x )由 1 2s
7、in(2 x )=1 -、3,得sin(2x)36 6 2-5-又 x，得2x ，有2x =，解得x .3 3266634(II)函数y =2s in 2x的图象按向量c = (m，n)平移后得到函数 y-n = 2s in 2(x-m)，即y = f (x)的图象 也就是y -1 = 2sin 2(x)的图象.12H兀而 m ，有 m = -一，n = 1.2121 5问题 3 解:(1) y =1 -sin2 x sin x = -(sin x )2 421兀5兀当sinx石,即x蔦时 w 当sinx，即x匸时，畑32(2) y = cos x (1 -cos x) -cosx，令 t =
8、 cosx,则 T 乞 t 二 1,有y 二t3 -t2 -t 1,得 y =3t2 2t -11令 y= 0 ,有 b = 1, t2 -31 1 当-1二t时,y 0,y为增函数；当t :： 1时，y ：0,y为减函数.3 31 31 2132y极大珂-才匸)* 1 =石，而y“1=1-1-1 1，3332/于是y的最大值是3227 y = 2cos2 x 1 sin 2x = sin 2x cos2x 2=2 sin(2x ) 243/：当2x才二聋一亍即xe时，ym2-221,2(4)可得 y cosx 2y 二sin x，有 sin x - y cosx 二 2y得 J + y2 s
9、in(乂+屮)=2,有 sin(x+屮)=+ y得 3 my 3,又 y0,于是有y的值域是（0,上3.3 33问题 4 解:由已知得 tanA tanB 3，即 tan (A - B) = -、，3，又 0： A B : 18001 -tanA tanB得 A B =120,C =60.2 2 0又 a =4,b c =5,得 b =5 -c,由余弦定理 c =16 (5 - c) -8(5 - c)cos60 .7由正弦定理得 壽，有si nA=3si nA sin 6007又a c b,得A为最大角.又si心讦Dsin3。,有B F，于是 B C : 90.所以得A -二- arc心.7
10、习题:1得*2诗任后-0A*】日十1于）一3i,选D.2 OP = Ox2+5，又 cos =x=2x,得 x=-V3或 V3 (舍去),亠虫 /2 VT0有 cos,sin ： = 1 - cos，选 A.44二二k二 二 （k 1）二 二k 二 二 二3它的对称轴为：3x蔦2,即x = V，有h（E ；3,选A.4（数形结合）由 CA =：2 cosJ2sina），知点 A 在以C (2,2)为圆心,2 为半径的圆周上(如图),过原点0作圆c的切线oa , A为切点，由 oc =2J2,|aC 二 1 1 1知AOC ，有AOB,64612I I ”兀5jt过点0作另一切线OA , A为切
11、点，则A OB，选D.4612* * * 有 一1 ccos日 0 _10 0 ,得，有丸选A.-3 九+10v035由a计=一3九+10 , a 8 = J*2 +2 屈，设a与b的夹角为日，则900 B 180,6 由 0 ： x，令 t =sin x cosx 二2 sin(x ),而 x3 44122t2 -1又 t =1 2sin xcosx,得 sin xcosx 二2山冷选D.得 y =t (t 1)2 -1,有 1 0 ： y _ 2-7 显然 sin二 0 且 sin L： = 0，有 sin 二2 2 2当 0 : sin :1/时，sin，有八1于是sin 得1，则cos
12、0sin :得到 cos(x 亠 1：,) = cos二 cos .： -sin :s sin - - -1,当 -1 _sin ： ： 0 时，同理可得 cos(二 -) = -1.8 z=z z2 = (3 i)(1 i2 4i ,它对应的点位于第一象限2 2 2 29 由 tan： = 2, 得 si n： =2cos ：,有 sin : = 4cos 二，即 1 - cos : = 4cos ：2 1 2 2 2 2贝V cos,原式=16cos - 6cos - 5cos - 5cos ? T.510设 c =(x, y)，则 a c-1) (x, y) - .3x - y ,b c
13、 二(1/3) (x, y) =x ,3y .设c与a,b的夹角分别为:-，则 cos_ a ca| )c2.2,COS P =b Cx i 3y2； 2由八，得 3x - y = x 、3y ;由 c =、2，得 x2 y2 = 2.Xi由，得，yixV+1x2=_ 2 工曰 c /T3+1 73-1_ 炎廿 43- ，于是 C =(, )或(_ c ，一l)屁 1222y2211 设 x=a bi,a,b R,代入原方程整理得(2a2 -2b2 -5a 6 - b) (4ab a-5b)i =0若 2a2 -2b2 -5a 6-b=0 a =1有，解得4ab a5b = 0b = 13ja
14、 = _ 或 23b =I 2，所以 x=1 i 或 x=3i.2 2_HH12 解:y = cos(r ) sin 2)- cosp 匸)- cos 2二)JI2 nn-2cos2( j) cos(v) 1令 t =cosC _)，得 y = 2t2 t 1 二2(t _ 丄)2 9448二二二二二1二.31由 一寸一，得一二，有cos(寸.), t 12126432422于是当t=宁，即c叱)=，得八-石时，f 弓一213 解:由 f (-x) =2 - 2=-f(x)，知 f (x)是奇函数，x 1x 1x 1x 1而 f (x) =2 In 2-2 In 2(-x-1)=2 In 2
15、2 In 20得f(x)在R上为增函数，则有2 cos - 2m sin 二:2 m 2 ,令 t = sin 二 有t2 _2mt (2m1)0,t 0,1恒成立将转化为：2m(1t)(t2 1),t 0,1(1)当 t =1 时,m R;22当 0 兰t ：1 时,2m h(t) =2(1-t),由函数 g(x)二x 在(0,1上递减，知1 -tx1当 t =0 时,hmin (t) - -1 汙是得 m21综(1),(2)所述，知 m.2二 cos- x cos- sin 3 x( - sin-) = cos2x ,2 2 2 2a b = (cos3 x cos- ,sin - x -
16、sin -2 2 2 215 解(I)a，得 a+b =42 + 2cos2x = 2 cosx 二 2cos2x14 解:设 z = a bi(a,b R),由 argz 得 b = a ： 0 ,4_2得 Z 一2 a2(1i)2 一2 _ -(a2 1) (1 a2)i za(1+i)a-2z 22由R,得 1 -a2 =0,从而 z - -1 - i,z设在复平面上的对应点分别为W,Z，由条件知 W为复平面单位圆上的点，国-z的几何意义为单位圆上的点W到点Z的距离，所以-z的最小值为OZ - OA= J21；最大值为 oz|+|oa = J2+1.n(x 0,2).22(II) f (
17、x) = cos2x-8cos x = 2cos x-8cos x T = 2(cosx-2) -9当且仅当 cosx =1 时，fmin(X)=7.* 1 厂 73=2 .丄16 解：(I)由 c_d,ab 3 -10，得 c d 二a (tan v - 3)b -ma btan 2 2m?(tan3)-3tan 巧扌=0,即卩 m： = (tan3-3tan)b，得13二二m(tan3 v-3tan)().4 221 3(II)由 tant,得 m=g(t) (t3-3t),t R43 2求导得 m = g (t) (t 一 1),令 g (t) = 0,得 t -1 ,t 14当 t (：，),g(t)0,g(t)为增函数;当 t (-1,1)时，g(t) ：0,g(t)为减函数;当 t (1,：)时,g (t)0 , g(t)为增函数.H1H所以当t = T,即二一时,m =g(t)有极大值一；当t =1,即-时,m =g(t)有极小4 24值-丄.2