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1、1 12.22.2 同角三角函数的基本关系 预习课本 P1820，思考并完成以下问题 (1)同角三角函数的基本关系式有哪两种？ (2)已知 sin ，cos 和 tan 其中的一个值，如何求其余两个值？ 新知初探 同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin2cos21. sin (2)商数关系：tan_ . cos ( k ，k Z) 2 这 就 是 说 ， 同 一 个 角 的 正 弦 、 余 弦 的 平 方 和 等 于 1， 商 等 于 角 的 正 切 ( ，k Z) k . 2 点睛 同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里 “同角”有两层含义：一是“角
2、相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关 系式成立与角的表达形式无关，如 sin23cos231. 小试身手 1判断下列命题是否正确(“正确的打”“，错误的打 ”) (1)对任意角 ，sin2 cos2 1 都成立( ) 3 3 sin 2 (2)对任意角 ， tan 2 都成立( ) cos 2 (3)若 cos 0，则 sin 1.( ) 答案：(1) (2) (3) 3 2已知 ( 2)，sin ，则 cos ( ) 0， 5 4 4 A B 5 5 1 3 C D 7 5 答案：A 1 1 3已知 cos ，且 是第四象限角，则 sin ( ) 2 1 A B 2 3
3、1 C D 2 2 3 2 答案：C 5 4已知 sin 13，( ，)，则 tan _. 2 5 答案： 12 利用同角基本关系式求值 12 典例 (1)已知 sin ，并且 是第二象限角，求 cos 和 tan . 13 (2)已知 sin 2cos 0，求 2sin cos cos2 的值 12 5 解 (1)cos21sin21(13 )2(13 )2，又 是第二象限角，所以 cos 5 sin 12 0，cos 0， sin |cos | sin cos 所以原式 1. cos |sin | cos sin 三角函数式的化简技巧 (1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减
4、少函数名称，达到化繁为简的 目的 (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的 (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造 sin2cos21，以 降低函数次数，达到化简的目的 3 活学活用 sin tan sin 化简：(1) ； 1cos tan sin 1 (2) 1tan cos2( tan ) . 1 sin2 sin 解：(1)原式 1cos 1cos 1cos sin 1cos 1cos 2 1cos2 sin 1cos 1. 1cos |sin | (2)原式 cos sin sin cos cos2 sin2 cos si
5、n cos2sin cos sin2sin cos cos2sin21. 证明简单的三角恒等式 tan sin tan sin 典例 求证： . tan sin tan sin tan sin tan sin 证明 法一：左边 tan2sin2 tan sin tan sin tan2tan2cos2 tan sin tan sin tan21cos2 tan sin tan sin tan2sin2 tan sin 右边， tan sin 原等式成立 tan2sin2 法二：右边 tan sin tan sin tan2tan2cos2 tan sin tan sin tan21cos2 t
6、an2sin2 tan sin tan sin tan sin tan sin tan sin 左边， tan sin 原等式成立 tan sin sin 法三：左边 ， tan tan cos 1cos 4 tan tan cos 1cos 右边 tan sin sin 1cos2 sin2 sin ， sin 1cos sin 1cos 1cos 左边右边，原等式成立 tan sin tan sin 法四： tan sin tan sin tan2sin2tan2sin2 tan sin tan sin tan2sin2tan2sin2 tan sin tan sin tan2sin21s
7、in2 tan sin tan sin tan2cos2sin2 tan sin tan sin sin2sin2 tan sin tan sin 0， tan sin tan sin . tan sin tan sin 法五：(tan sin )(tan sin ) tan2sin2 tan2tan2cos2 tan2(1cos2) tan2sin2， tan sin tan sin . tan sin tan sin 证明三角恒等式常用的方法 (1)从一边开始，证得它等于另一边，一般是由比较复杂的一边开始化简到另一边，其依 据是相等关系的传递性 (2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子，其依据是等于同一个量的两个量相 等 (3)综合法：即由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式，其依据 是等价转化的思想 左边 (4)比较法：即证左边右边0 或证 1. 右边 活学活用 求证：2(1sin )(1cos )(1sin cos )2. 5