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1、课时跟踪检测（二十二） 平面向量数量积的物理背景及其含义 层级一 学业水平达标 1已知向量 a，b 满足|a|1，|b|4，且 ab2，则 a 与 b 的夹角 为( ) A. B. 6 4 C. D. 3 2 解析：选 C 由题意，知 ab|a|b|cos 4cos 2，又 0，所以 . 3 3 2已知|b|3，a 在 b 方向上的投影为 ，则 ab 等于( ) 2 9 A3 B. 2 1 C2 D. 2 3 解析：选 B 设 a 与 b 的夹角为 .|a|cos ， 2 3 9 ab|a|b|cos 3 . 2 2 3已知|a|b|1，a 与 b 的夹角是 90，c2a3b，dka4b，c
2、与 d 垂直，则 k 的值为( ) A6 B6 C3 D3 解析：选 B cd0， (2a3b)(ka4b)0， 2ka28ab3kab12b20， 2k12，k6. 4已知 a，b 满足|a|4，|b|3，夹角为 60，则|ab|( ) A37 B13 C. 37 D. 13 解析：选 C |ab| ab2 a22abb2 422 4 3cos 6032 37. 5在四边形 ABCD 中， AB DC ，且 AC BD 0，则四边形 ABCD 是( ) A矩形 B菱形 C直角梯形 D等腰梯形 解析：选 B AB DC ，即一组对边 BD 平行且相等， AC BD 0，即对角线互 1 相垂直，
3、四边形 ABCD 为菱形 6给出以下命题： 若 a0，则对任一非零向量 b 都有 ab0； 若 ab0，则 a 与 b 中至少有一个为 0； a 与 b 是两个单位向量，则 a2b2. 其中，正确命题的序号是_ 解析：上述三个命题中只有正确，因为|a|b|1，所以 a2|a|21，b2|b|21， 故 a2b2.当非零向量 a，b 垂直时，有 ab0，显然错误 答案： 7设 e1，e2是两个单位向量，它们的夹角为 60，则(2e1e2)(3e12e2) _. 9 解析：(2e1e2)(3e12e2)6e217e1e22e267cos 602 . 2 9 答案： 2 8若|a|1，|b|2，ca
4、b，且 ca，则向量 a 与 b 的夹角为_ 解析：ca，ca0， (ab)a0，即 a2ab0. |a|1，|b|2，12cosa，b0， 1 cosa，b . 2 又0a，b 180，a，b120. 答案：120 9已知 e1与 e2是两个夹角为 60的单位向量，a2e1e2，b2e23e1，求 a 与 b 的夹 角 解：因为|e1|e2|1， 1 所以 e1e211cos 60 ， 2 |a|2(2e1e2)2414e1e27，故|a| 7， |b|2(2e23e1)24912e1e27，故|b| 7， 1 7 且 ab6e212e e1e262 ， 2 2 2 7 ab 2 1 所以
5、cosa，b ， |a|b| 2 7 7 所以 a 与 b 的夹角为 120. 10已知|a|2|b|2，且向量 a 在向量 b 方向上的投影为1. 2 (1)求 a 与 b 的夹角 ； (2)求(a2b)b； (3)当 为何值时，向量 ab 与向量 a3b 互相垂直？ 解：(1)|a|2|b|2， |a|2，|b|1. 又 a 在 b 方向上的投影为|a|cos 1， ab|a|b|cos 1. 1 2 cos ， . 2 3 (2)(a2b)bab2b2123. (3)ab 与 a3b 互相垂直， (ab)(a3b)a23abba3b2 4 4313740， . 7 层级二 应试能力达标
6、1已知|a|2，|b|1，且 a 与 b 的夹角为 ，则向量 ma4b 的模为( ) 3 A2 B2 3 C6 D12 1 解析：选 B |m|2|a4b|2a28ab16b24821 1612，所以|m| 2 2 3. 2在 RtABC 中，C90，AC4，则 AB AC 等于( ) A16 B8 C8 D16 AC 解析：选 D 法一：因为 cos A ，故 AB AC |AB |AC |cos A|AC |2 AB 16，故选 D. 法二： AB 在 AC 上的投影为|AB |cos A|AC |，故 AB AC |AC |AB |cos A|AC |216，故选 D. 3已知向量 a，
7、b 满足|a|1，|b|2，且 a 在 b 方向上的投影与 b 在 a 方向上的投影相 等，则|ab|( ) A1 B. 3 C. 5 D3 解析：选 C 由于投影相等，故有|a|cosa，b|b|cosa，b，因为|a|1，|b| 2，所以 cosa，b0，即 ab，则|ab| |a|2|b|22ab 5. 3 4.如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，BAD60，E 为 BC 的中点，则 AE BD ( ) A3 B0 C1 D1 1 解析：选 C AE BD (AB AD )(AD AB ) 2 1 1 AB AD |AB |2 |AD |2 2 2 1 1 22cos 6022 2
8、21. 2 2 5设向量 a，b，c 满足 abc0，(ab)c，ab，若|a|1，则|a|2|b|2|c|2 的值是_ 解析：法一：由 abc0 得 cab. 又(ab)c0，(ab)(ab)0，即 a2b2. 则 c2(ab)2a2b22aba2b22， |a|2|b|2|c|24. 法二：如图，作 AB BD a， BC b，则CAc. ab，ABBC， 又ab BD BC CD ， (ab)c，CDCA， 所以ABC 是等腰直角三角形， |a|1，|b|1，|c| 2，|a|2|b|2|c|24. 答案：4 1 6 已 知 向 量 a， b 的 夹 角 为 45， 且 |a| 4， (
9、ab)(2a 3b) 12， 则 |b| 2 _；b 在 a 方向上的投影等于_ 1 1 解析：(ab)(2a3b)a 2 ab3b212，即 3|b|2 2|b|40，解得|b| 2(舍 2 2 2 负)， b 在 a 方向上的投影是|b|cos 45 2 1. 2 答案： 2 1 1 1 7已知非零向量 a，b，满足|a|1，(ab)(ab) ，且 ab . 2 2 (1)求向量 a，b 的夹角；(2)求|ab|. 1 解：(1)(ab)(ab) ， 2 4 1 a2b2 ， 2 1 即|a|2|b|2 . 2 又|a|1， 2 |b| . 2 1 ab ， 2 1 |a|b|cos ，
10、2 2 cos ， 2 向量 a，b 的夹角为 45. (2)|ab|2(ab)2 1 |a|22|a|b|cos |b|2 ， 2 2 |ab| . 2 8设两个向量 e1，e2，满足|e1|2，|e2|1，e1与 e2的夹角为 ，若向量 2te17e2 3 与 e1te2的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围 解：由向量 2te17e2与 e1te2的夹角为钝角， 2te17e2e1te2 得 0.即 |2te17e2|e1te2| (2te17e2)(e1te2)0，化简即得 1 2t215t70，解得7t . 2 当夹角为 时，也有(2te17e2)(e1te2)0， 但此时夹角不是钝角， 设 2te17e2(e1te2)，0，可得 Error!Error! 所求实数 t 的取值范围是 (7， 14 14 1 2 )( ，2). 2 5