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1、Fractional modeling and SOC estimation of Lithium-ion battery分数阶模型和钾离了电池的SOC估侑期刊 Journal:IEEE/CAA Journal of Automaiicu Sinica IEEE/CAA 自动化学报稿件号Manuscript IDJAS-2015-0195-摧石粒阶系统控二 制的拈姝目题 槁件类型 Manuscript Type:Special Issue on Fractional Order Systems and Controls关墟字Keywords:Li-ion battery, Elcctrochc
2、niical Impedance Spectra, Fractionalorder model, bnicliuna! Kalniaii rillcr津岛r电池，电化学用抗谙,分 依阶粳型,分数汾卜尔号清波器专业僖业Specialty/Area of 然城Expertise:Estimation 模型电乐测电电压28 Voltage of model9 AMaeureci voltage20040060080010001200Time(S)Voltage profile for model validation66x24mm (300 x 300 DPI)用于模型验证的电压分布05400600
3、80010001200oHOtoVoltage error for model validation66x24mm (300 x 300 DPI)用于模型验证的电压误差时间修正（准确度）Iteration of 迭代k=l, 2测量修正（正确性）状态估值传递等式23Time Update(Prediction)easurement Update(Correction)卡尔夏增益 一等式25 State Estimation Propagation Eq.23Kalman gain Eq.25Initialization初始化Error Covariance 状态估值/Propagation E
4、q.Z4修正等式26误差协方差传递等式24误差协方差修正等式27State Estimation ? Update Eq.26Error CovarianceUpdate Eq.27Illustration of Kalman filter algorithm58x28mm (300x300 DPI)卡尔星滤波算法的插图50010001500200025003000350040004500Time(s)2 54 1O 15 0 5 o.O.Jm。k = T,2 Current profile for SOC estimation66x24mrn (300 x 3()0 DPI)用于SOC估值的
5、电流分布353 5 2.6s_模型电压Vonage of modelMeasured voltage泅量电压050010001500200025003000350040004500Time(s)Terminal voltage profile for SOC estimation66x24mm (300 x 300 DPI)用于SOC估值的终端电压分布SOC csiimation66x24mm (300 x 300 DPI)SOC估值SOC estimation error66x24mm (300 x 300 DPI)SOC估计误差A123制造的26650锂离子电池锂离子电池分数阶建模和SOC
6、的估值摘要本文提出基于一个分数阶阻抗谱模型的锂离子电池 SOC估值。首先，根据华宝元件和常相角元件在大范围频域的特征，推导出了一个电池分数阶阻抗模型。 其次， 基于输出误差的频率拟合方法和参数识别算法用来识别锂离子电池分数阶模型的参数。 此外， 通过仿真得到锂离子电池的电化学阻抗。 最后， 分数阶卡尔曼滤波方法用来估计基于分数阶模型的锂离子电池的SOC。 仿真结果表明分数阶模型可以保证SOC估值的相当的准确度，也就是估值的误差达到最大$0索引词锂离子电池，电化学阻抗，分数阶模型，分数阶卡尔曼滤波器。一、 简介通常， 电动车辆里锂离子电池内部的电化学反应是很复杂的。 荷电状态定义为电池所剩能量与
7、额定容量的百分率， 荷电状态不能直接测量。准确估计SOC是能量电池领域的关键问题。估计SOC的方法分为直接实验测量方法和局域电池模型的估计方法。 库仑计算法和电流积分法是最受欢迎的实验测量方法， 使用简单。然而在电流测量中数学积分产生的累积误差会导致很大的误差。状态观测器2 ， 3 ，卡尔曼滤波器（KF） 4 ， 5和粒子过滤器（PF）6 ， 7 用来估计基于锂离子电池模型的SOC。 但是通过能量电池外部特征所得的模型不能准确的表明内部特征。 电池的动力可由整数阶积 分方程组描述。但是复杂的电化学反应由分数阶函数描述。多研究尝试着直接利用阻抗谱估计SOC但是EIS太复杂而不能直接使用。目前EI
8、S方法主要用于等效电路模型8, 9。分数阶微积分（FOC是由经典分数微积分自然延伸而来。研究10 12显示大部分的现象，如湿气，液体，摩擦，阻尼振动，动态反应，声扩散等，有分数阶属性。因此，FOC广泛用于建模，动力学评估等。FOC还用于开发超级电容量铅酸电池的电化学模型，等等。本文余下部分安排如下。 第二部分讨论了基于阻抗谱的电池分数阶模型；第三部分讨论了根据输出误差识别算法如何自制OCV SOC特性曲线， 频率法的状态阶数识别和参数识别； 第四部分讲述了分数阶卡尔曼滤波器估计SO谓五部分对之前的工作得出结论并对之后的研究给出建议。二、 电池的分数阶建模锂离子电池阻抗谱见图 1。如图所示，阻抗
9、谱可以分成三部分：高频部分，中频部分和低频部分。-5HighM id(I IpLowt-rcqucnn frequencyfrequency2324252627282930Re(mOhm)图1.锂离子电池的阻抗谱在高频部分，阻抗谱与实轴相交，交点表示欧姆电阻。在低频部分，阻抗谱线是斜率为常数的直线，有相同的阻抗谱特 性，其中的固定项元件通常称为华宝元件。中频部分呈扁半圆，这是一个著名的电化学现象。这个扁半圆将 华宝元件与电阻并联建模得到，称之为 ZAR航件。有上述分析可知，等效电路模型可以如图2描述，图上Voc表示 开路电压，Vo表示电池端电压，端电压可以被直接测量； R6R表示 欧姆电阻值，
10、I表示电流，Vi表示Ri的电压；C2 6R表示ZAR四件 CPE的系数，R2 R表示ZARCS件的欧姆电阻的值，V2表示ZARCtS 件的终端电压；W6 R是华宝元件的系数，V3表示华宝元件的电压。Fractional equivalent circuit model63x30mm (300 x 300 DP1分放阶等效电路模型图2分数的等效电路模型通过以上描述可知，等效电路模型就是分数阶为了简单， 用以下 等式定义符号FOCdrArdt7r01r0d rr0高频数学模型可以用等式i描述。Vi RI(1)Ri 6 R表水欧姆电阻值，I表水电流，Vi表水Ri的电压。中频数学模型可以用等式2描述。
11、V277 V 2R2 C2C2(2)C2 6 R是CPE的系数，（3 6 R, -1 B 1表示CPE的分数阶，及6 R表 示ZARCS件的欧戈电阻值，I表示流过ZAR玩件的电流，V2表示ZARC 元件的端电压。华宝元件在中频的数学模型可以用等式 3描述。(3)V3W6 R是系数，表示分数元的%阶， 6 R,-1% ()等式9可以由等式8导出。NXk1 TsNXk 1电池的离散状态空间函数可由XkNj Xk j 1 (9)10式表下,nk 1(10)Xki Ts(A NE)Xk TNBUk j 2 jxkjiV、CXk DUk其中 .diag jjD , E是单位矩阵。考虑过程令 Ad TN
12、a ne ,Bd TNB,Cd C,Dd噪声和输出噪声，系统的离散状态空间函数如等式11,k 1(11)Xk 1 AdXk Bd5 Wk j 2 jxkj1Vk Cd Xk DdUk vkWkR3是过程噪声，代表建模不确定性和未知输入， Vk 6 R是输出噪声，代表测量干扰，假设 Wk和Vk相互独立，协方差矩阵的零均值高 斯噪声过程EWkWjT=QK S kj, EVVjT=R8LA, measurement during charging and discharging66x24mm (300k 300 DPI)充电和放电过程OCV的恻量图充电和放电过程测量OCV测量是在充电和放电模式每次
13、10%SOO加恒流脉冲。通过 以上实验，等式5中的未知参数k和d可以通过曲线拟合获得。表1.充电过程中每个SOC的极小点SOC| 1% |11%21%31%41%V01tage(mV)2664S1403233327833(WP 51%61%71%81%91%100%331833223341333234083702这个特别的实验步骤如下:1）在室温下使电池放电直到达到最小放电电压（在本实验中是2V）,闲置12小时；2）用（）的恒定电流给电池充电，直到端电压达到。在这一过程 中，每充电10%SOCW置电池2分钟。记录每次闲置和 SOC 后的最小电压，见表1;3）闲置电池12小时;4）用（）的恒定电
14、流给电池放电，直到端电压达到2V。在这一过程中，每放电10%SOCW置电池2分钟。记录每次闲置和 SOCW的最小电压，见表2;5）分别描出在先前实验中收集到的极小点和极大点，平均的画出两条曲线，见图3。ocv-socOCV-SOC(20%-80et SOCJ上LLLJ110203。405060700SOC(%9C ICOOCX -SOC cun cs bctu ccn 20% and X0? SCKJ66x24mm (300 x 300 DPI)SOC在2 0%和80%之M的度VT0C曲线图4.在20%和80%SOC之间的OCVCSOC线表2放电过程中每个 SOC的极大点SOC99%89%79
15、% ；69% )59% |Vbltage(niV)3+343284327432663360 49%39%29%19%0%324032223192314728122431绘制从20%SOC8U 80%SOC勺OCV-SO医系曲线，可得k守口 d=B.模型参数识别在等式6中分别用时域法和频域法识别未知参数。-5/ EIS of Li-ion battery辟离于电池的ISILow fr&ciuencv fitting curveI 低胸班合曲践 仃A_F”O (EXOE)E-2? = 0.65 Mid Frequency fitting curve/E=0.E5中期拟台曲及目1 p=l Mid F
16、requency nttine curve|3可中频拟合曲桀 !fl2324252627282930Re(mOhmSysteni slate order fining cuneQVxSSnim (500 x 400 DPI)系统状态顺序拟合由建图5.系统状态顺序拟合曲线1）在频域用频率拟合方法识别状态顺序：华宝元件阻抗谱曲线斜率为，阻抗谱低频部分的斜率接近一，所以参数% =。 24含有CP讶口电阻的回路的阻抗谱形状像一个半圆。 这个半圆的递 减速率按B变化，B越大，曲线弧度越大。当B 二时，所测得阻抗谱 曲线将正好匹配，见图5。图5表明通过状态识别所得的阻抗谱曲线与测得的阻抗谱正好 匹配，这意
17、味着分数阶模型可以很好地表现出锂离子电池的特征。2）未知参数识别：通过时域中的输出误差识别算法 14, 15识 别未知参数。输出误差方法见图6所示。图1所示的分数阶等效电路模型的传递函数描述如下,WsR2 /C2 s(12)R2C2 s其中 V Vo Voc。等式12写成等式13V sWs(1C2R2s) I s R1R2(13)应用拉普拉斯逆变换，得到WdrVt C2R2WddrVt R1R2：1。)(14)a、，d让 a RR2,b W,c C2R2Wb,p dt，c等式14写成下式G (p)V(t)bpcPB P,ItapA P,(15)无噪声输出y(tk)应该会被添加的白测量噪声 v(
18、tk)腐蚀，考虑在离散瞬间，通常会分布为被零均值和R方差。完整的等式如下(16)ytk g p *utk *y tky tkv(tk)Y*(tk)是系统测量输出假设误差函数e ( t)由输出误差给出，如下4B P, 4t ytk,utA(P,A P,* y t, yf太，Ufu tA p,*)(yk- BA(P,)*yj Bp,P,Ufu t A p,(17),因此，线形低通滤波器分别应用于初始输入部分和输出部分，来代替输入变量和输出变量的直接微分。iA P,p A p,丁，在实际情况下，Ap, n未知,近似值由迭代计算可得。无噪声输出变量通过辅助模型得到，等式如下n(18)n B Qy t
19、-utA p,QMeasured battery current and voltageclirrent电池测量的电流和沙battery transfer functionM)电池传递函数9output error identification algorithm 输出误差识别算法Paraincier idcmification of baittry by outpat error appmach 52x25mm (300x300 DPI) 用输电谩差法的电池蓼数识别图6.输出误差方法的电池参数识别组合成回归向量如下PUf tP VfP V，nPF PutnPUf k*Vf k*P VfPUf
20、 kP VfTP Vf k则有% =行行(Tf iuul)力（。）Y； = y；（o）（T总加）(19)参数识别最优化问题可以陈述如下2k argminl f f f Y*J（20）解决办法如下-1nTn *k fff Yf（21）当max-一二时，将算法迭代直到收敛，这里根据建模k精确度选取。特别识别过程描述如下：1）K=0参数初始化0 0=0 0 0T。2）K=1, 2, 3，根据0 k-i和等式16计算无噪声输出y（k）。3）基于等式18过滤电流，终端电压和无噪声终端电压。4）基于等式19确定变量。5）利用等式21修改识别参数 -6）计算从第二步到第六步 匚的相对误差，直到误差小于。k对
21、。进行参数识别后可得到各个元件的值&=且，W=b,RcC2=。在等式6中，Qn=G X 3600是额定容量，%=Q,W=,C2=11mE R2W高频部分阻抗谱与实轴的交点是电阻值。从阻抗谱可以得出Ri =Qo高频部分阻抗谱与实轴的交点是电阻值。从图1可以得出Ri = Qo将上述参数代入等式6,离散分数阶模型如下，k 1(22)Xk i AdXk BdUk Wkj 2 jxkj1Vk CdXk DdUk vkC2Bd90.90.038 , N0.000110.650.51QnCd 1 1 K 1 1 0.21Qd R 0.0243.(工C&J30ZOO40060080010001200Timer
22、s)Current profile for model validaden66x24mm (300 x 300 DPI)进仃模型验旺的电流分布图7.用于模型验证的电流分布0 0R2 C243289.39000000.500010012.826-Voltage of model 嚏瑞电 fi. M白vgg0 新 星 电”; I02 g 400600 BOQ 10001200Timefs) oltage protic for model validation0.05图8.用于模型验证的电压分布66x24mm (300 x 300 DP 用于模型验证的电压分布-D.06 02004006008001
23、0001200Time(S)Voltage error tor model validation66x24mm (300 x 300 DPI)用于模型验证的电压误差图9.用于模型验证的电压误差分布电流分布包含很多充电/放电脉冲，处于不同的电流水平。用于电动车辆的ECE1城市交通循环选来仿真一个典型的交通模式。图 7所示的电流分布重复了 ECE1城市交通循环三次，每次循环时间持续 400s。图8所示电压曲线包含两条曲线，一条是识别模型的输出，另一条是电池的测量电压。图9所示的是两条电压曲线在不同时刻的误差。易得出大部分电压误差在20mV以内。当输入的充电电流或放电 电流大幅变化时，误差达到40m
24、V。因此分数阶模型的识别是准确的。四、基于分数阶模型的 SOC估值本文所述的工作用于 A123制造26650锂离子电池（，电池），26650 锂离子电池见图10,电池测试设备见图11。图10. A123制造的26650锂离子电池图11.电池测试设备选用分数阶估计函数来估计电池的 SOC对于常见的整数阶系统，卡尔曼滤波法广泛用于估计系统参数。因此，分数阶卡尔曼滤波器用来估计电池的 SOC分数阶卡尔曼滤波算法插图见图12。1) K=0卡尔曼提供最合用初始化即状态信息和误差协方差。状态信息和误差协方差的初始值如下： 过程噪声协方差矩阵 Q， 测量噪声协方差矩阵R,系统初试状态xo,系统初试状态协方差
25、P0=E （ X0X。） （ X0 - X。） T。2） K=1,2,状态估值传递kNXkAd Xk 1 Bd I k jXk j（ 23）j1 j误差协方差传递kPk （Ad N1）PK-1 Qk1 NjPk jNj （24）卡尔曼增益修正TTK k P K C C P K C Rk （25）状态估值修正Xk XK K K yk CXk（ 26）误差协方差修正Pk1 KkC PK（27）3）为进一步的迭代减少估值状态和协方差。4）分开系统状态，将会得到实时SOCIteration of 迭代k=L2，r fc = 1,2*时何俵正（准确度）测量修正（正确性）状态估值传递等式23工Time U
26、pdate(Prediction)Initialization初始化-=岂 3State EstimationPspagation Eq23Error Cova ri a nee田叩mgation Eq.Z4区差侪方差传递等式24-i Measurement UpdateJ：哩3耳 JCorsction不取Kalman gain Eq.25 ;g State Estimation 状,*值/UpY怕Eq.26 硅式3， Error Covariance ，产 Update Eq：27Illustration of Kalinan filter algorithm58MBmm (300x300
27、DPI)卡尔蛀据波算法的插图图12.卡尔曼滤波算法插图SOO 1C00150020M25003000350040004500TimesCurreni profile for SOC estimation66x24mm (300 x 300 DPI)用于SOC估值的电流小布图13.用于SOC的电流分布Terminal voltage profile for SOC estimation66x24mm (300 m 300 DPQ用于SOC估值的迩端电件分布图14.用于SOC的终端电压分布S()C estimation66x24mm (300 k 300 DPI)50c估值图15. SOC估值根据
28、图13的电流分布，分数阶卡尔曼滤波器用于电池的SO%值。测量终端电压和模型终端电压见图 14。由图13可知，电池在整个SOCM试，模型终端电压能很好地追踪测量终端电压。 SOC估值和SOC古值误差分别见图15和图16由图15可知在电池充电开始，分数阶卡尔曼滤波法可得到电池 的SOC但是随着电池进一步的放电，精确度逐渐上升。在测试过程 中估值误差可减小到最大SOC五、结论基于阻抗谱的分析，推导出了一个简单的分数阶电池模型。 一个 新的识别方法就是基于分数阶系统识别状态阶数和参数。 基于分数阶 模型利用分数阶卡尔曼滤器估计锂离子电池的 SOC仿真结果表明利 用分数阶卡尔曼滤器的SOC估值是预期中的常数。-0.2 05001 0001 500200025003000350040004500Tima(s)4 2 0 0rO.00c estinmli口n error66x24mm (300x 300 DPI)&0C估计误差图16. SOC估值误差致谢这份研究工作获得了来自中国吉林高科技的研究和发展计划（）,中国吉林大学用于研究生课程的系统识计划的特殊研究基金（） ，和2015148 项目的赠款支持。