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1、 1.2命题及其关系、充分条件与必要条件一、选择题1. 设集合 A= x R|x 20, B= x R|xv 0 , C= x R|x（x 2） 0，则“ x AU B”是“ x C的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件解析：AU B= x R|xv 0 或 x2 , C= x R|xv 0 或 x2, AU B= C二x AU B是x C的充分必要条件.答案：C2. 已知命题 p： ? n N,2n 1 000，则綈p为（）.A. ? n N,2n 1 000C. ? n N,2nw 1 000D. ? n N,2nv 1 000解析
2、特称命题的否定是全称命题.即p： ? x M p（x），则綈p： ? x M綈p（x）.故选A.答案 A3. 命题“若1v xv 1，则x2v 1”的逆否命题是（）2A. 若 x或 x w 1，贝U x 1B. 若 x 1，则1x1，则 x1 或 x 1,贝U x1 或 x 1,则 x 1 或 xw 1”.答案：D4. 已知a , 3角的终边均在第一象限，则“a 3 ”是“Sin a sin B ”的（）.A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件1解析 （特例法）当 a 3 时，令 a = 390, 3 = 60，贝U sin 390= sin 30= v s
3、insina sin 3 不成立；当 sina sin3 时，令 a = 60, 3 = 390 满足上式，此时 a v 3，故“ a 3 ”是“ sin a sin 3 ”的既不充分也不必要条件.答案 D【点评】 本题采用了特例法，所谓特例法，就是用特殊值特殊图形、特殊位置 代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确的判断特例法的理论依据是：命题的一般性结论为真的先决条件是它的特殊情况为真，即普通性寓于特殊性之中常用的特例有取特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等这种方法实际是一种“小题小做”的解题策略，对解答某些选择题有时往往十分奏效5命题“若f(
4、x)是奇函数，则f ( X)是奇函数”的否命题是()A. 若f (x)是偶函数，则f ( x)是偶函数B. 若f(x)不是奇函数，则f( x)不是奇函数C. 若f( x)是奇函数，则f(x)是奇函数D. 若f( x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数解析：否命题是既否定题设又否定结论.答案：B6. 设集合 M= 1,2 , N= a2，则“ a= 1” 是“ N? M的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件解析：当a= 1时，N=1，此时有N? M则条件具有充分性；当N? M时，有a2= 1或a2=2得到a1 = 1, a2 = 1, a3 =2
5、, a4=订2，故不具有必要性，所以“ a= 1”是“ N? M 的充分不必要条件.答案：A7. 若实数 a, b满足 a0, b0,且 ab = 0,则称 a 与 b互补.记 0 (a, b) =/a2 + b2 ab,那么0 (a, b) = 0是a与b互补的().A.必要而不充分的条件B.充分而不必要的条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件解析 若 0 (a, b) = 0,即.a2+ b2 = a+ b, 两边平方得ab= 0,故具备充分性.若a0, b0, ab= 0,则不妨设 a= 0. 0 (a, b) = . a2 + b2 a b= , b2 b= 0.故具备必要性.故选
6、 C. 答案 C二、填空题1 18. 若不等式成立的充分不必要条件是孑 2 ,则实数用的取值范围是 _14答案：-239. 有三个命题：(1)若x + y= 0,则x, y互为相反数”的逆命题；“若ab,贝U a2b2”的逆否命题；(3) “若 xw 3，贝U x2+ x-60” 的否命题.其中真命题的个数为 (填序号).解析(1)真，(2)原命题假，所以逆否命题也假，(3)易判断原命题的逆命题假，则原命题的否命题假.答案 110定义：若对定义域 D上的任意实数x都有f(x) = 0，则称函数f(x)为D上的零函数. 根据以上定义，“ f(x)是D上的零函数或g(x)是D上的零函数”为“ f(
7、x)与g(x)的积函数 是D上的零函数”的 条件.0, x 1, 0,解析设 D= ( 1,1) , f(x) = 1”x, x U, 1,x, x 1, 0,g(x) =n .显然F(x) = f(x) g(x)是定义域D上的零函数，但f (x)与|0 , x (J , 1,g(x)都不是D上的零函数.答案充分不必要11. p： “向量a与向量b的夹角0为锐角”是q：“ a b0”的条件.a b解析：若向量a与向量b的夹角0为锐角，则cos 0 =0 ,即a b0；由a b0 |b|a b可得cos 0 = 0 ,故0为锐角或0 = 0,故p是q的充分不必要条件.|a| |b|答案：充分不必
8、要12.已知a与b均为单位向量，其夹角为0 ,有下列四个命题P1 ： | a+ b| 1?p2： | a+ b| 1?p3： | a b| 1?p4： | a b| 1?其中真命题的个数是1解析 由| a+ b| 1可得a + 2ab + b 1,因为| a| = 1, | b| = 1,所以ab ，故9 |0，故pi正确.由|1 2 2 2,a b , |a+ b| = a + 2a b + b 1,即 | a+ b| 1,1QQ|a b| 1 可得 a - 2a b+ b 1,因为 | a| = 1, | b| = 1，所以 a b v?故反之也成立，P4正确.答案 2三、解答题I x |
9、13.设P：函数f(X)= 2在区间(4 , +8)上单调递增；q ： loga 2 ： 1，如果“ 一P ”是真命题，“ p或q ”也是真命题，求实数 a的取值范围。解析：r / 、/ |x a|p. f（X）-2 在区间（4, +8）上递增,-uWX_a|在(4, +8)上递增，故 a_4.(3分)q :由 log a 2 ：1 二 log a a 0 =a :诚 a 2.( 6 分)如果“ 一p ”为真命题，则 p为假命题，即a 4.(8 分) 又因为p或q为真，则q为真，即0 ： a ： 1或a 20 : a : 1 或 a2（12 分）由a 4可得实数a的取值范围是a 4.14.已知
10、函数f (x)是(一8,+8)上的增函数，a、b R,对命题“若a+ b0,贝U f (a) + f (b) f ( a) + f ( b) ”.(1) 写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论；(2) 写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论.解(1)逆命题是：若 f (a) + f ( b)f ( a) + f ( b),则a+ b0为真命题.用反证法证明：假设 a+ bv0,贝U av b, bv a./ f (X)是(8,+8 )上的增函数，则 f(a) vf( b) , f(b) vf( a),f(a) + f (b) v f ( a) + f ( b)，这与题设相矛盾，所以逆命题
11、为真.(2)逆否命题：若 f (a) + f (b) v f ( a) + f ( b),则a+ bv 0为真命题.因为原命题？它的逆否命题，所以证明原命题为真命题即可.a+ b0,二 a一b, b一a.又 f(x)在(8,+)上是增函数，-f(a)f( b), f(b)f( a),f(a) + f(b)f( a) + f( b).所以逆否命题为真.15. 判断命题“若 a0,则x2 + x a= 0有实根”的逆否命题的真假.解 法一 写出逆否命题，再判断其真假., 2原命题：若a0,贝U x + x a = 0有实根.逆否命题：若x2+ x a= 0无实根，则av 0.判断如下：/x2+ x
12、 a= 0 无实根，11 + 4av 0, a 0,方程x2+ x a= 0的判别式 = 4a + 1 0,方程x2+ x a= 0有实根，故原命题“若a0,则x2+ x a= 0有实根”为真.又 原命题与其逆否命题等价， “若a0,贝U x2+ x a= 0有实根”的逆否命题为真命题.法三利用充要条件与集合关系判断.命题p： a0, q： x2+x a= 0有实根， p： A= a R|a0,q： B= a R|方程 x2+x a= 0有实根 = 1 a R|a即A? B,“若p,则q”为真， “若p,则q”的逆否命题“若綈 q,则綈p”为真. “若a0,贝U x2+ x a= 0有实根”的
13、逆否命题为真.厂222x 一x一6W 0,16. 设p：实数x满足x 4ax + 3a 0.(1)若a= 1,且pA q为真，求实数x的取值范围;(2)若p是q的必要不充分条件，求实数 a的取值范围.解：(1)由 x2 4ax + 3a20，得(x-3a)( x-a)0 ,当a= 1时，解得1x3，即p为真时实数x的取值范围是1x3.x x 6W0 由2，得2x 3,即q为真时实数x的取值范围是2x0若pA q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是2x0时，A= (a, 3a);33a,解得1a 2；a0 时，A= (3 a, a).当a0时，显然An B= ?，不合题意.综上所述，实数 a的取值范围是1aw 2.