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1、八年级上册数学全册教案(2013年新版湘教版)八年级上册数学全册教案(2013年新版湘教版) 32 二次根式的混合运算 (第10时) 教学内容 : 含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除;多项式与单项式相乘、相除;多项式与多项式相乘、相除;乘法公式的应用( 教学目标 含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用( 复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算( 重难点关键 重点: 二次根式的乘除、乘方等运算规律; 难点:由整式运算知识迁移到含二次根式的运算( 教学过程 一、复习引入 学生活动:请同学们完成下列各题: 1(计算 (1)(2x+)
2、226;zx (2)(2x2+3x2)?x 2(计算 (1)(2x+3)(2x-3) (2)(2x+1)2+(2x-1)2 老师点评:这些内容是对八年级上册整式运算的再现(它主要有(1)单项式单项式;(2)单项式多项式;(3)多项式?单项式;(4)完全平方公式;()平方差公式的运用( 二、探索新知 如果把上面的x、z改写成二次根式呢,以上的运算规律是否仍成立呢,仍成立( 整式运算中的x、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式( 例1(计算: (1)( + ) (2)(4 -3 )?2 分析:二次根式仍然满足整式的运算规律
3、，所以直接可用整式的运算规律(解:(1)( + ) = + = + =3 +2 (2)解:(4 -3 )?2 =4 ?2 -3 ?2 =2 - 例2(计算 (1)( +6)(3- ) (2)( + )( - ) 分析:刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立(解:(1)( +6)(3- ) =3 -( )2+18-6 =13-3 (2)( + )( - ) =( )2-( )2 =10-7 =3三、应用拓展 例3(已知 =2- ，其中a、b是实数，且a+b?0， 化简 + ，并求值( 分析:由于( + )( - )=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解
4、含有字母系数的一元一次方程得到x的值，代入化简得结果即可( 解:原式= + = + =(x+1)+x-2 +x+2 =4x+2 ? =2- ?b(x-b)=2ab-a(x-a) ?bx-b2=2ab-ax+a2 ?(a+b)x=a2+2ab+b2 ?(a+b)x=(a+b)2 ?a+b?0 ?x=a+b ?原式=4x+2=4(a+b)+2 五、归纳小结 本节应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算( 六、布置作业 1(P172 习题3 B组 、6 2(选用时作业设计( 作业设计 一、选择题 1( -3 +2 ) 的值是( )( A( -3 B(3 - (2 - D( - 2(计算( + )( - )
5、的值是( )( A(2 B(3 (4 D(1 二、填空题 1(- + )2的计算结果(用最简根式表示)是_( 2(1-2 )(1+2 )-(2 -1)2的计算结果(用最简二次根式表示)是_( 3(若x= -1，则x2+2x+1=_( 4(已知a=3+2 ，b=3-2 ，则a2b-ab2=_( 三、综合提高题 1(化简 2(当x= 时，求 + 的值(结果用最简二次根式表示) 外知识 1(同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式( 练习:下列各组二次根式中，是同类二次根式的是( )( A( 与 B( 与
6、 ( 与 D( 与 2(互为有理化因式:互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式:如x+1- 与x+1+ 就是互为有理化因式; 与 也是互为有理化因式( 练习: + 的有理化因式是_; x- 的有理化因式是_( - - 的有理化因式是_( 3(分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的( 练习:把下列各式的分母有理化 (1) ; (2) ; (3) ; (4) ( 4(其它材料:如果n是任意正整数，那么 =n 理由: = =n 练习:填空 =_; =_;
7、=_( 答案: 一、1(A 2(D 二、1(1- 2(4 -24 3(2 4(4 三、1(原式, = = =-( - )= - 2(原式, = = = 2(2x+1) ?x= = +1 原式,2(2 +3)=4 +6 二次根式小结与复习 (第11、12时) 有关二次根式的化简与运算是初中数学的重、难点之一，由于这类题目形 式灵活，同时对整式、分式的运算和性质有着密切的联系，所以成为考察学生综合运用能力的“试金石”，现将一些常见的运算 错误归纳如下 ，希望同学们加以注意，并引以为戒( 一、概念不清 例1(下列各式中，哪些是二次根式,哪些不是二次根式,为什么, , , 错解: , , 都是二次根式
8、; 不是二次根式( 剖析:对二次根式的定义理解不透，认为只要带二次根号，即为二次根式，忽视了二次根式 中 a?0的条 ，所以同学们在平时做题中必须特别注意理解二次根式的被开方数是非负 数( 正解: , ,都是二次根式; ， ， 不是二次根式( 二、违背运算顺序 例2(计算: 错解:原式= 剖析: 由于乘除是 同一级运算，因 此按顺序除在 前，就要先算除法( 正解:原式= ( 三、错用运算法则 例3(化简: ( 错解:原式= ( 剖析:本题乱套乘法分配律，应注意: ( 正解: 原式= ( 四、错用根式性质 例4(计算:(1) ;(2) 错解:(1)原式= ; (2)原式= ( 剖析:二次根式的性
9、质有: ; ;而不存在 ( 正解:(1 )原式= ( 五、忽视字母范围 例(计算: 错解:原式= ( 剖析:本题的分子、分母同乘以 时，不允许a=b，错在没有注意a=b的情形( 正解:(1)当a?b时， 原式= ; (2)当a=b时，原式= ( 六、忽视隐含条 例6(化简: ( 错解:原式= ( 剖析:本题隐含着 ，所以a,0，这个条( 正解:原 式= ( 七、忽视限制条 例7(已知a+b=-2,ab=1，求 的值( 错 解:原 式= ( 剖析:应用二次根式的运算性质: ; 时，必须这样括号里的条，本题由a+b=-2,ab=1可知a,0，b,0，不满足性质的条造成错误( 正解:由条可知a,0，
10、b,0，所以原式= ( 八、忽视题设条 例8(化简: ( ?x? )( 错解:原式= ( 剖析:这里忽视了 ?x? 这个条，当有附加条时，要注意 的应用( 正解:因为 ?x? ，所以-3?x?，所以2x+3?0，2x-?0， 所以 ，原式= ( 九、忽视分类讨论 例9(化简: ( 错解: ( 剖析:此题的限制条不明确，又没有隐含条，在利用 化简时，必须利用零点分 段法进行分类讨论，否则易出现错误( 正解:第一步:找分点，令x+2=0，x-1=0，所以x=-2 ，x=1; 第二步，分区间，x,-2，-2 ?x,1，x?1; 第三步，分段按条化简: 当x,-2时，原式=-(x+2)+(1-x)=-
11、2x -1; 当-2?x,1时，原式=x+2+1-x=3; 当x ?1时，原式=x+ 2+x-1=2x+1( 第五 二次根式单元检测题 姓名_ 第13、14时 一(选择题 (每小题4分，共40分) 1 下列运算正确的是 A B D 2 如果a+ =2，那么a的取值范围是 A a?0B a?2 a?,2D a?2 3 当1,x,4时，化简 , 结果是 A ,3 B 3 2x,D 4 函数 的自变量 的取值范围 , , , , 计算 的结果是 A B D 6 下列各式中与 是同类二次根式的是 A2 B D 7 若 ，则a的取值范围为 Aa?2 Ba?2 a?2 Da?2 8 下列方程中，有实数解的
12、是 A B D 9 式子 成立的条是 A ?3 B ?1 1? ?3 D1, ?3 10 如果1? ? ，则 的值是 A B D1 第?卷(非选择题 共4道填空题10道解答题) 请将你认为正确的答案代号填在下表中 二简答题 (每小题3分，共12分) 11 若 无意义,则 _ 12 当 _时, 有最小值为_ 13 计算: -3=_ 14 函数 的自变量x的取值范围是_ 三解答题 (共68分) 1 计算: (1) (2) (3) 16 化简 17 化简: 18 19 已知: ，求 的值。 20 观察下列各式及验证过程: 验证: 验证: ?按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 变形结果并验证
13、; ?针对上述各式的反映规律，用含n(n 为任意自然数，且n?2)的等式表示这个规律，并说明理由。 21 已知: 22 23 已知 ， ，求 的值 24 阅读此题的解答过程，化简: ( ) 解:原式, ? , ? , ? , ? , 问:(1)上述解题过程中，从哪一步开始出现错误，请填写出该步的代号 ; (2)错误的原因是_; (3)本题的正确结论是 参考答案及试卷讲评 (第1、16时) 一选择题 1234678910 DBABDD 二简答题答案: 11 >1 12 ,0 13 1 14 x? ，且x?-1 三解答题答案: 1 (1)原式=49 ;(2)原式= ; (3)原式= ; (4
14、)原式= ; 4、根据学生的知识缺漏，有目的、有计划地进行补缺补漏。()原式= ; 定义：在RtABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作tanA，(6)原式= 。 (1)如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线.（圆心向弦作垂线）16 17 分析:将 和 分别分母有理化后再进行计算，也可将除以 变 为8、加强作业指导、抓质量。乘以 ，与括号里各式进行计算，从而原式可化为: （1）一般式：原式, , ,0 （1）二次函数的图象(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x1，x2是对应一18 原式= ; 周 次日 期教 学 内 容19 20 ? = ?n = 略 21 ，? 。 ?原式= 22 23 分析:直接代入求值比较麻烦，可考虑把代数式化简再求值，并且 、 的值的分母是两个根式，且互为有理化因式，故 必然简洁且不含根式， 的值也可以求出。 解:由已知得: , , ， 圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。?原式, , , 化简后即为： 这就是抛物线与x轴的两交点之间的距离公式。24 分析:此题是阅读形式的题，要找出错误的原因，错误容易产生在由根式变为绝对值，绝对值再化简出这两步，所以在这两步特别要注意观察阅读。 4.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。解:(1)?;(2)化简 时，忽视了 ,0的条;(3)