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1、 二次根式的性质与运算 练习题 温故而知新： 1.二次根式的概念 a_（a0）的式子叫做二次根式，符号“”称为二次根号. 定义：一般地，我们把形如_ 2.二次根式的性质a 0）是一个非负数；（a（12a ；（a（2）0）a30)(aa?2. 3）（=aa-a(a0). =_bb5.积的算术平方根的性质 abagb_(a 0=_，b0). 6.商的算术平方根的性质 aa=(a0，b0). _bb7.最简二次根式 （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 我们把满足上述两个条件的二次根式叫做最简二次根式. 8.二次根式的加减 二次根式加减时,可以先将二次根式化为最简二
2、次根式,再将被开方数相同的二次根式进行. 合并 2x?1有意义的x（2013娄底）使式子取值范围是 ( ) 例1 x?11，且x1 B. A.x-x1 211C. x- D. x-，且x1 22 1；- 0，解得xx+解析：根据二次根式有意义的条件可得212 ；1由分式有意义的条件可知x-10，即x11. x综上可知x-，且2 A 答案： ）二次根式的被开方数是小结：在求解有关字母范围问题时，一般要注意以下两个方面：（1 0.）分式的分母不为非负数；（2 举一反三： 1?2x中，自变量南充）在函数y=x的取值范围是( ) 1.（20121x?21111 B. C. D. A. x x?xx 2
3、222 11x?解得0，-解析： 由分式有意义的条件可知；0，由二次根式有意义的条件可知12x?x2211x?. 的取值范围是x 即；所以x22 例2 （2012全国竞赛）如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式22?b?a)ca?ab?(c可以化简为 ( ) A.2c-a B.2a-2b C.-a D.a 解析：观察数轴可知ba0c，； cb?a+b0，b+c0，化简二次根式3 例已知2x B. C.- D.-A. yyy-y- 0且y； x0可知x0y0或0解析：由y-2 0，所以x且y0；y0，所以y0，即00，2x-yy-y-y=xx=x=x=； 方法一：y-2x-xx2x
4、-y-y-y-y22xg=. =-（-x）=-=-方法二：xy-x2222xxxx D 答案： 举一反三： 2化简的结果是（ ，则1） 4.已知x1x+-2xA.x-1 B.x+1 C. -x-1 D.1-x 22x-1=1-=x. 解析：1+-2xx1)(x- 22m，则m的值是_. 5.若整数m满足条件且1m=m+1)+(5 22m-0a-2）解析：由二次根式有意义的条件可知20，即a-2a2-11122-g)(2-a2-a. =-=-）-（2a=)-a(22-a2-a2-a 2，则x-y的值为（ 例4 若） )+yx-1-=(xx-1A.-1 B.1 C.2 D.3 解析：根据二次根式有
5、意义的条件可得x-10且1-x0，解得x=1； 2x-1x-1=0，y=-1； +y0-所以0=0，所以（1）=x-y=1-（-1）=2. 答案：C 小结：非负数有如下几个性质:(1)有限个非负数的和为非负数；(2)非负数与正数之和为正数；(3)有限个非负数的和为0,则每个非负数都为0. 2的值为_.-2014 ，则例5 已知实数a满足aa?2015?2014?a?a 解析：根据二次根式有意义的条件可得a-20150，解得a2015； a?2014?a?2015?a 可化为所以a?2014a?a2015，整理得a?2015?2014； 2=2015. 两边同时平方，整理可得a-2014 答案：
6、2015 小结：在解决含二次根式与绝对值的问题时，要谨记：（1）二次根式的被开方数为非负数；（2）一个正数的绝对值等于它的本身，一个负数的绝对值等于它的相反数.另外在解题时还要注意整体思想的灵活运用. 2+4=2a(a-3)b2a-4+b+2+，则a+ b6 例 已知非零实数a，b满足等于（ ） A.-1 B.0 C.1 D.2 2+4=2a-3)ba2a-4+b+2+(解析：由 2=2a-3)b4-4+b+2+(aa20，所以=2a-4得， 4-2a22=b0(a-3)a-4b+2+2a-4+b+2+(a-3)b=2；，即所以 2，所以b+2=0，则这几个数都为0可知b=-2；由几个非负数的
7、和为002=b+0=(a-3)b且2=0，a=3；a-3）b （a + b=3+（-2）=1. 答案：C 小结：本题有一定的技巧性，解题关键在于要能够想到将所给等式进行简单变形后，我们可以得到条件2a-40，将等式化简为我们常见的几个非负数之和为零的形式，进而可分别求出2aa（a0a） 、a，b的值，进一步得到正确答案.常见的非负数有三种形式：. 、 22b-42-1c-22，则ABC=10，7 例 已知ABC的三边长a，bc满足aa+b+为（ ） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 2224b-24b-2-c1-+-1（5-22a解析：将的右边移到左边整理得（
8、+b+a-）=10a+）+ c-1-2=0； c-1-24b-=0，解得a=5，0-1可知则这几个数都为由几个非负数的和为00=0=-a5b=5，c=5； . 为等边三角形ABC，故a= b=c所以 答案：B 222对所给等式进行变形，变形后b)=小结：解本题的关键在于利用完全平方公式a(2ab+ba再根据几个非负数的和为0则这几个非负数均为0分别求出a，b，c的值，进而判断出三角形的形状. 举一反三： 2.若，则x y 的值为( ) 0y+y+2=x-2A.8 B.2 C.5 D.-6 解析：根据可得x-2y=0，y+2=0，解得x=-4，y=-2，所以 0x-2y+=y+2x y=8. 2=b0-2+-a，则b-a的值为（ b3.若a，为实数，且满足 ） A.2 B.0 C.-2 D.以上都不对 220-+b=a-2=0，所以a=2，b=0，所以b-a=0-2=解析：由-2. -2可得a-=0，b 2?0?32)b?5?(ca?8. b，c满足7.已知a（1）求a，b，c的值； （2）试问以a，b，c为边能否构成三角形？如果能构成，请求出三角形的周长；如果不能，请说明理由. 解析：（1）根据“几个非负数的和为0，则这几个数都为0”求解； （2）根据“三角形任意两边之和大于第三边”进行判断.