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1、2019北京市各区一模数学文科试题分类汇编 12导数及其应用 xR?ax4x)?ae?f(. 届高三一模）已知函数，1、（朝阳区2019)xf( （）求函数的单调区间；21a?1x?y?)(xy?f. 在抛物线时，求证：曲线的上方（）当 x?lng(x)xea)?(fx201921x?0x?图象在届高三一模）已知函数图象在处的切线与函数、（大兴区 处的切线互相平行a 的值；（）求2?)|PQ|(f(x)y?gxtx?(t?0)y?QP 两点，求证：和，分别与曲线交于（）设直线 2x2)x?ln)?ax?(a?f(x. 届高三一模）已知函数（东城区20193、a)(xf1x? 时取得极值，求实数
2、的值；（）若函数在1a0)f(x. （）当时，求零点的个数 22mx3?32R?)g(x?m2?x?x?(2?m)xfx? ，4、（房山区2019届高三一模）已知函数, mx?x?1m?2xfy? 处的切线方程；（）当在 时，求曲线?xg的单调区间； （）求?0?mmx?g01)f(xx?01，?x的取值，使得，总存在，若对于任意成立，求（）设0101范围. xae已知函数 xln?)?af(x届高三一模）（丰台区5、2019 xxa?0时，求函数（）当的单调区间； )xf(a的取值范围 （）若函数在处取得极大值，求实数)f(x1x? 1523 x?x?xf()ax?1届高三一模）2019、6
3、（海淀区已知函数 23a?6f(x)(0，+?)上的单调区间；在时，求函数 当 (I)a?0f(x)既有极大值又有极小值()求证：当 时，函数 32?1(a?3axRf(x)?2x). （怀柔区7、2019届高三一模）已知函数 a?0f(x)(1,f(1)处的切线方程； 在点时，求（）当f(x)的单调区间；（）求 小 0,2)f(x值（）求在区间上的最 xaxe)?f(x(0,0)2x?y? 在点平行。处的切线与直线8、（门头沟区2019届高三一模）已知a 的值；()求实数2xg(x)?f(x)?b(?x)(b?R). （）设 2bi)0,?0)?g(x的最大值； （,）若函数在上恒成立求b?
4、0iig(x)有几个零点，并给出证明. ）当时，判断函数（ ax?eax?f(x)?a?0 9、（石景山区2019届高三一模）设函数， 2y?f(x)(1,f(1)xa； 轴平行，求（）若曲线处的切线与在点f(x)1x?xa的最大值轴上方，求时，函数的图象恒在（）当 ? ?ax?lnxx,a?Rf. ）设函数届高三第二次统练（一模）10、（顺义区2019?xy?1,1f上，求在该点处曲线的切线方程； 在曲线（I）若点?a2xf?的取值范围. 恒成立，求（II）若 a?Ralnfxx? 、11（通州区2019届高三一模）设 2x ?xfy?m0a?m?y?ex的值；时，直线是曲线 的切线，求（）
5、当?xf的单调区间；（）求 1a?)xf(的取值范围（）若恒成立，求 x x2m?R3?f(x)?mex12、，其中 （西城区2019届高三一模）设函数（）当为偶函数时，求函数的极值； )x)?xff(x)(h(xm的取值范围上有两个零点，求 （）若函数在区间4,?f(x)2 lnx?a?1xf() 2019届高三一模）已知函数13、（延庆区 xy?f(x)(1,f(1)处的切线方程；（）当时，求曲线在点 1a?（）求函数的单调区间； )xf(?零点的个数. （）当时，求函数在上区间)xf(1a?e0, 参考答案 x?R?x4?a(x)?ef. 定义域、解：（）求导得.1?0a?)xf(R0)
6、?(xf. 在当上为减函数,函数时，4?0a?f(x)0?(xf)ln?x为增函数； 得当时，令, a4?f(x)0fx()?lnx?为减函数,令. 得 aa?0f(x)(?,?). 时，函数所以减区间是440a?)(xf,?)(?,ln)(ln. 当 时，函数5分；减区间是 增区间是 aax2x2F(x)?e?4x?x?101?e?4x?x?. （）依题意，只需证设.x?x2?4F?(x)?e)(?FxG(x). 则，设x?0?2?Ge(x)?)?,?G(x)(. ，所以上单调递增因为在x(0,1)0G(x)?3?0,G(1)?e2?0?G(0)?即记为内有唯一所以为又因解在，0x?4?2e
7、x. 00?xxx?x?(x)?0FF(x)F0(x)?F(x)单调递增； 时，当，单调递减；当时，00x22(0,1)x?x?5,6x?4x?1?x?()F(x?Fx)e. 所以0000min000220)(Fx?4x6?5?3)?(x?xg()x0xg()?(1)g?(0,1)?x. 设则，.所以021?xy?0?F(x)xy?f( 分在抛物线.，即曲线13所以上方?a(0)f?xx? 12 ex)f(x)?ae?fa(分、解（）由，得，所以1?(1)?1gg(x)?lnx?(xg) 2 分，得由，所以 x?(1)?fg(0)a?13 分，由已知，得a?1 4 分经检验，符合题意t （）由
8、题意 0t|e?lnt|,|PQ|?xx?0 1 x?ln)?eh(x分，设1x?ex)h?( 2 分，则 x1x?(x)?e? 设， x1x?则3分 ，所以在区间单调递增， ?0ex)?()(x)?(0, 2x1 ?， ，4又分 0?()?e?20(1)?e?1? 2?在区间存在唯一零点，所以 )(0,(x)?11xx?e 5分设零点为 ，则，且,1)?(x0 00x20?),?x?(x?(0,x)x，当 时，；当0?h(x)?0xh)00(0,x)(x,?)递增， 递减，在6分所以，函数在 )h(x001x?lnx?)?ex?lnh(x)h(x， 0 000x01xlnx?x?e ，得由0
9、 00x011h(x)x2?2)?h(x,1)x?( 8所以，由于，分 00 00x20h(x)?2x ，即从而2lnxe?t?lnt|e?2t ，也就是2lnte?|PQ|?2 9 分即，命题得证3、解：（I）定义域为. )?(0,(fx2?(a?2)x?121ax(2x?1)(ax?1)f(x)?2ax?(a?2)?. xxxa=1. ，解得由已知，得0?f(1)(2x?1)(x?1)a=1时，. 当f(x)? x. 所以1?x)?0?0?x?1,f(x)?0f(x. 所以，增区间为减区间为)+f(x)(0,1)?(1,x?1时取得极小值，其极小值为所以函数在，符合题意 0f(x)=f(1
10、)a?1. 所以 5分 (2x?1)(ax?1)10axxf()? xa11所以. ?x?0?,f(x)0f(x)?0?x aa11所以减区间为，增区间为. )(xf)?(,(0,)+ aa111所以函数在时取得极小值，其极小值为. )(xf-1lna+f()=x? aaa10a1，所以. 因为1?0,lna? a111所以. 所以. 0+1=f()=+ 2eeeee0a0. 又因为，所以1所以. 0)f( e1根据零点存在定理，函数在上有且仅有一个零点. )f(x)(0, a22?(a?2)x?x?x?lnx?ax(ax?a?3)xf()?ax?(a2)xxxln. 因为，3-aax?a?3
11、?0，得. 令x a1-3a10a aaa-3. 时，所以当0f(x)x a1根据零点存在定理，函数在上有且仅有一个零点. )f(x),+?( a0a?ee?aex?a)(x?(e1)f(x)?0 ，此时 2xf(x)x?1 处不可能取得极大值函数在a?elna?1（2）当时， x (1,lna(0,1) 1f(x) 0 + - f(x) 极大值 f(x)x?1 处取得极大值函数在a(e,?) . 的取值范围是综上可知，15320xa?6,?6x?)?x1?xf(x 6、解：（）当时， 322?5x?6?(x?2)(f(x)?xx?3)， 所以f(x)?0,x?2x?3. 得，或令f(x),f
12、(x)的变化情况如下表： 当变化时，x x3 2 (3,(0,2)?)(2,3) ? ?00 f(x) 极小值极大值f(x) ZZ (0,2)(3,?)(2,3)(0,+?f(x) ，单调递减区间是，所以在上的单调递增区间是 a?0时，)当 (1523x?ax?x)?x?1f(0x?， 若，则 232?5x?a?x(x?5)f(x)?x?a 所以f(x)?000,a?x 因为，所以1523x?ax?f(x)?x10x?， 若，则 232?5x?x?af(x) 所以f(x)?0,?25?4a?0， 令x,xxx?0 ，且所以有两个不相等的实根2121f(x),f(x)0?xx的变化情况如下表：变
13、化时，不妨设，所以当 2 0 ,0)?(x (0,x)x(x,?) 222? 无定义?f(x) ? 0 极大值)(fx 极小值 ZZ f(x)图象是连续不断的， 因为函数f(x)0?a即存在极大值又有极小值所以当 时，f(x)R, （）的定义域为7、解：30a?x=6f(x)1x?x)?2f(，时，当， (1)=6ff(1)=3， 6x-y-3=0)xf(1)f(1,-5处的切线方程是在点分 所以fx=6xx+a ，）（）（20fx+ a=0fx=6x）上为增函数；）在（当，则时，（）a0a0fx=6xx+a0 ）时，由）当（，即（xax0fxa0+ ；得）的单调增区间为（，或，），所以（）和
14、（fx=6xx+a0ax0 ，）由（得）（fxa0 ；所以（，）的单调减区间为（）a0a0 时，当即fx=6xx+a0xax0 ，（）得（）或由fx0a+ ；，所以，（）和（）的单调增区间为（）fx=6xx+a00xa ，（），得（）由fx0a ）的单调减区间为（）所以，（a=0fx+ ；）的单调增区间为（综上所述，当）时，（a0fxa0+fxa，当）和（）的单调减区间为（时，（）的单调增区间为（）0a0fx0a+fx）的单调减区间为，）；当）和（，时，（，）的单调增区间为（0a ，）（-10 分a0a0fx02fx ）的最小值为，（）当）在即（时，由（）可知，（上单调递增，所以f0=1 ；）
15、（0a22a0fx0aa2 ，时，由（）可知，）在当（）上单调递减，在（，即3+1=a fxfa；（）的最小值为上单调递增，所以）（a2a2fx02fx）的最小值为（上单调递减，所以）在当（即，时，由（）可知，f2=17+12a （）a0fxf0=12a0fxfa）；（综上所述，当时，（）的最小值为）的最小值为（时，3+1a2fxf=a2=17+12a-14 分（）的最小值为；时，（）/x/1a(0)?(?xf()aex1)f?a? 由题意得：)(、解：822xxx/xi?b)x?1)(ge(x)?(?b(?x)?xe?b(?x)?(gx)?f(x) ）（）（ 22x/0?(x)e?b?0?g
16、b?1,0?g(0)g(x)xx?0,?)g( 时，若当递增，则，/（舍）x?(x)?0?b1,x?lnb?0?1,g)?xg(x)?0,)(0,lnb若在，时递减，则当，12b0?(x)?g(0)?gg(lnb)的最大值为1. 不恒成立，所以，2xxxx1)?b(?xe?xe(x)?b(?x)gii)xg( ；，显然有一个零点（0） 22xbxx/?e(x)?b(?1)?t?(tx)?e 设 22b?0t(x)g(x)只有一个零点时，当0 无零点；所以/0b?0)?t(x)(xtR 当上单增，所以在时，有222? e2)?t(?(0)?1?b?0,?1?0tb又 ，由零点存在定理可知， bx
17、g(,0)x)t(x(?有二个零点所以上有唯一一个零点 ，所以在0b?0b?0g(xg(x)有二个零点，. 综上所述，时，只有一个零点时，0ax?axe?f(x)?，9、解：（） 2x?a?e(x)?f， ?(1)?e?a?f， ?a?e0f?(1)0e?a? ，即 ，解得由题设知 ?ae 满足题意。经验证 （）方法一：?x?0?xfae?a?xln ，则，即令，e?0?lna1a? ）当1（时，即?ax?0?fxa,ln?,lnxf 单调递减；在，故有对于任意?0lna,1x?fx,1faxln单调递增， 有对于任意 ，故在 a3?a?ln?alna?a?0axfalnx?成立 因此当 时，
18、 有最小值为 ? 22? a?e1lna? （2）当时，即?,10xf?x?,1xf单调递减， 在 有对于任意，故 ?ff(1)x所以 ?xf的图象恒在轴上方， 因为x?1f0，所以 ?f010f?xa?2e， 因为，所以，即2e 综上，的最大值为 aa?x?0ax?e?f?x1?x，由题设知，当 时，方法二： 2xe1a?1x? ）当（1 时， 12x? 213?xxxx?e?ex?e? xe22?gx?xg?0，则 设， 12211?x?x?x? 2 22?xg0,1单调递减， 在故?2x1ggea?2e. ，所以的最小值大于因此，11? ?e?x0f?x2成立 ）当（2 时， 2xe1a
19、?x，3）当 时，（ 12x? 2xxe?e1?0a?ea?2因为 ，所以当成立时 11x?x? 222e 综上，的最大值为a?x?1,1yf 上，在曲线）因为点I（、解：10? 1a?x?xflnx. -1所以分 ， x?2x1?fx -3分， 又 2xx2x1?1f所以分 . -4 21?1xy?1?03?x2y? -5即分在该点处曲线的切线方程为 2 ax1ax?2?0,?f?x-6分（II）定义域为 ， 2xx2x?0xf0a? 讨论：（1）当时，?2xx?a0,?f01ff-8，不满足在此时上单调递减，又分 4?0a?=0fx=x 2）当可得时，令（ 2a 列表可得 x 2?a42?
20、a，0,? ?2a4?4?44?xf,?0,上单调递减，在上单调递增-10在分 所以? 22aa?444?a?2?fxf=2?ln2?ln2? ，所以令解得=所以? 222最小值aaa?aa?2. 的取值范围为-13分所以 ?xf20,? ax?lnx?2x?0 或法二：定义域为恒成立，又恒成立即，2?lnx2?lnx?0,+x?axg? 恒成立。令，所以 xx xlnx?1x?x?00g?gx则，由， 2x2?gg+gx0,11，?x?12 所以在单调递增，在上单调递减，max2a? 所以1?0?a?fxx?xlnf 分 时， . 1 ， 、解：11（）当 x1?e?xf?yP,x .2分
21、设切点 ，则 ， 000x011?y?x ，所以 00e?m?y?ex2?m?y,xP .4分 的坐标代入切线方程 ，得 把切点；00a?x?lnf?x）?（0，? 分 （） 的定义域为 .5， 2x2a?x22a1?x?f .6分 33xxx?0a?）?（0，?x?0xff 分在上单调递增； ， .7时，（）当 ?x?0a?0xf? ，得时，令（）当? ?）a0，2（a，20x0xff? 在单调递减；，在，所以?a2a,?,2x?0xff 在在.8单调递增 分，所以，11a?x)(f0x?ln?x?0, 恒成立，恒成立，即在（） 2xxx?20a?lnx?xx?0,x? 恒成立分在.9也就是
22、 ?2?xxlnx?x?0,gx?a ，则，令?1?2x?gxlnxx 分 .10 ?0g?1 .11 分，因为?0?ln201x?xx)(x?01,0xg? ；，所以时，因为当?02?1?x0?xxln)?1(?x,0xg? 当 时，因为分，.12，所以 ?1x?1xg?1g?a 时取得极小值在所以?（0，?）1?ag1x?g 因为在定义域内也是最小值只有一个极小值，所以a?1?0a?1所以，即 ?1，a .13分的取值范围是 所以f(?x)?f(x)xf( 12，是偶函数，得、解：（）由函数x2x?x23?x3?mmee(?x)? 都成立，对于任意实数即m?0.2 分 所以 32?3?3x
23、(x)x)?x?3xhh(x)?xf(. ，则此时?x?10h(x)?. 3 分由 ，解得h(x)?)(hx x 的变化情况如下表所示：变化时，当与 x(1,?)1,1)(?1)?(?,1?1 ?)(xh0 0 h(x) 极大值极小值 h(x)(1,?)(?1,1)1)?(?, . 5分上单调递增所以，上单调递减，在 在 h(?1)?2h)(x)h(1)?2h(x. 6 分，所以有极大值有极小值 2?x3x2?m. （）由，得 0me?x?3?f(x)? xe2x?3y?mf(x)?2,4 上有两个零点”等价于“直线在区间与曲线所以“，?x)g( xex?2,4. 8 分 有且只有两个公共点”
24、 2?2x?3?x )xg(? .9 求导，得 分 对函数(x)?g xe?x?1x?30)g?(x. 10 分由，解得， 21?g(x)x(g x 的变化情况如下表所示：变化时，当与 x(?1,3)(3,4)2,?1)(? 3 1? ?)gx(0 0 g(x) 极大值 极小值 g(x)(3,4)(?1)1,3)(?2, 11. 分上单调递减，在上单调递增所以 ，在 6132e?(?1)?g2e2)?g(?g(?2)g(4)?g(?1)g(3)? ，又因为， 34ee2136x?3y?mx?2,4?m?2e?m 有且只有两个时，直线与曲线或所以当，?g(x) 34xeee . 公共点136?2
25、,4)xf(?m2e?m13分时，函数 上有两个零点在区间. 即当或 34ee?lnx?(x)f，1分、（）当时， 131?a 2x?(1)?0f?k?0 ，2分 (1,0)0(1)?f，切点 ?y?1.3分 切线方程是1?lnx?a?(xf)，4（）分 2x1?a?0x)f?(ex? 令 5分， ?x(x)ff(x)的变化情况如下、及 x 1?ae 1?a1?a,?)(0,e)(e ? ? 0 ?)(xf f(x) 减 增1?a)(0,e)xf(上单调递增，所以， 在区间1?a,?e()(xf上单调递减7分在区间 1?ae?11?a?)f(e)xf(分8（）法一：由（）可知的最大值为 a1?
26、e 1?a(0,1)x)e(1,f( 单调递增，在区间时，）当（1在区间上单调递减?e0,)xf(f(1)?0上只有一个零点 由 ，故10分 在区间1?a0?a?a?11?e11a? 时， （2）当， 1?ae1?a1?)?f(e0 且12分 a1?e?a?e0,0)?ef()f(x上无零点 因为，所以，在区间13分 ?e0,1a?)(xf上只有一个零点在区间时，综上，当 ?e0,1?a)xf(上无零点 当 在区间时， （）法二： lnx?alnx?a?1?0?1(fx)令 xx， g(x)?x?lnxxln?x?a分令8 1x?1?(x)?1?g?0x?1 xx 10分 x (0,1) 1 ?e1, ? ? 0 ?)(gx g(x) 极小值 1 减 增 11分 a?1 由已知 ?e0,1a?)xf(上只有一个零点12所以，当在区间分时， ?e0,1a?)(fx上无零点 在区间当 时，13分