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1、第六章 一元一次方程一、基本概念（一）方程的变形法则法则 1：方程两边都或 同一个数或同一个 ，方程的解不变。例如：在方程 7-3x=4 左右两边都减去 7，得到新方程： -3x+3=4-7 。在方程 6x=-2x-6 左右两边都加上 4x，得到新方程： 8x=-6 。移项： 将方程中的某些项 改变符号 后，从方程的一边移动到另一边，这样的变形叫做移项，注意 移项要变号 。例如： （1） 将方程 x 5 7 移项得： x 7+5 即 x 12（2）将方程 4x 3x 4 移项得： 4x3x4 即 x 4法则 2：方程两边都除以或同一个 的数，方程的解不变。2例如： （1） 将方程 5x2两边都
2、除以-5 得：x=- 25x=231（2）将方程32 x13 两边都乘以 32得：这里的变形通常称为“ 将未知数的系数化为 1（ 1）如遇未知数的系数为整数， “系数化为 1”时，就要除以这个整数；如遇到未知数的系数为 分数，“系数化为 1”时，就要乘以这个分数的倒数。（2）不论上一乘以或除以数时，都要注意结果的符号。 方程的解的概念： 能够使方程左右两边都相等的未知数的值，叫做方程的 解。 求不方程的解的过程，叫做 解方程。（二）一元一次方程的概念及其解法1定义：只含有 一个未知数 ，并且含有未知数的式子都是， 未知数的次数是 ，这样的方程叫做一元一次方程。例如：方程 7-3x=4 、6x=
3、-2x-6 都是一元一次方程。而这些方程 5x23x+10、2x+yl 3y、x-11 5 就不是一元一次方程x-12一元一次方程的一般式为： ax+b=0（其中 a、b 为常数，且 a 0） 一元一次方程的一般式为： ax=b（其中 a、b 为常数，且 a0）3解一元一次方程的一般步骤步骤： 去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数的系数化为1。注意：（1）方程中有多重括号时， 一般应按先去小括号， 再去中括号， 最后去大括号的方法去括号， 每去一层括号合并同类项一次，以简便运算。（2）“去分母”指去掉方程两边各项系数的分母；去分母时，要求各分母的最小公倍数，去掉分母 后，注意添括号。去分母
4、时，不要忘记不等式两边的每一项都乘以最小公倍数（即公分母）（三）一元一次方程的应用1纯数学上的应用：（1）一元一次方程定义的应用； （ 2）方程解的概念的应用； （3）代数中的应 用；（4）公式变形等。2实际生活上的应用：（1）调配问题；（2）行程问题；（3）工程问题；（4）利息问题；（5）面积 问题等。3探索性应用：这类问题与上面的几类问题有联系，但也有区别，有时是一种没有结论的问题， 需要你给出结论并解答。第七章 二元一次方程组一、基本概念（一）二元一次方程组的有关概念1二元一次方程的定义： 都含有个未知数， 并且的次数都是 1，像这样的整式方程，叫做二元一次方程。一般形式为： ax+by
5、=c（a、b、c 为常数，且 a、b 均不为 0） 结合一元一次方程，二元一次方程对“元”和“次”作进一步的理解； “元”与“未知数”相 通，几个元是指几个未知数， “次”指未知数的 最高次数 。例如：方程 7y-3x=4 、-3a+3=4-7b 、 2m+3n=0、 1-s+t=2s 等都是二元一次方程。 22而 6x2=-2y-6 、 4x+8y=-6z 、 =n 等都不是二元一次方程。m2二元一次方程组的定义：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组例如：2x 3y 5x y 87a 3b 3a 2b 1m n 2 mn1s t 2s t 2 等都是二元一次方程组。3s t
6、 112x 3y 5x z 87a 3a 3a 2a 11m n 2等都不是二元一次方程组 mn12x 5 s 2注意：（1）只要两个方程一共含有两个未知数，也是二元一次方程组。如：2x 5 、 s 2 也y 8 t 11是二元一次方程组。3二元一次方程和二元一次方程组的解（1）二元一次方程的解：能够使二元一次方程的左右两边都相等的两个 未知数的值，叫做二元一次方程的解。（2）二元一次方程组的解： 使二元一次方程组的 两个方程 左右两边的值都相等的 两个 未知数的值， 叫做二元一次方程组的解。 （即是两个方程的公共解）注意：写二元一次方程或二元一次方程组的解时要用“联立”符号“ ”把方程中两个
7、未知数的 值连接起来写。二元方程解的写法的标准形式是： x a ，（其中 a、 b为常数）yb（二）二元一次方程组的解法1解二元一次方程组的基本思想： “消元”，化二元一次方程组为一元一次方程来解。 2二元一次方程组的基本解法（1）代入消元法 （代入法）定义：通过“代人”消去一个未知数， 将方程组转化为一元一次方程来解的这种解法叫做代人 消元法，简称代入法。步骤：选取一个方程，将它写成用一个未知数表示另一个未知数，记作方程。 把代人另一个方程，得一元一次方程。解这个一元一次方程，得一个未知数的值。 把这个未知数的值代人，求出另一个未知数值，从而得到方程组的解。（2）加减消元法 （加减法）定义：
8、通过将两个方程相加 （ 或相减 ） ，消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解， 这种解法叫加减消元法，简称加减法。步骤：把两个方程同一个未知数的系数乘以适当的倍数，使得这两个未知数的绝对值相同。 把未知数的绝对值相同的两个方程相加或相减，得一元一次方程。解这个一元一次方程，得一个未知数的值。把这个未知数的值代人原方程组中系数叫简单的一个方程， 求出另一个未知数值， 从而得到方程组的解。注意：正确选用两种基本解二元一次方程组（1）若二元一次方程组中有一个未知数系数的绝对值为 1，适宜用“代入法”。（2）用加减法解二元一次方程组，两方程中若有一个未知数系数的绝对值相等，可直接加减 消元；
9、若同一未知数的系数绝对值不等， 则应选一个或两个方程变形， 使一个未知数的系数的绝对 值相等，然后再直接用加减法求解；若方程组比较复杂，应先化简整理。第 8 章 一元一次不等式一、基本概念（一）不等式的有关概念和性质1不等式的定义：用表示不等关系的式子叫做不等式。常见不等号：、”、“4、-3a+34-7a、2m+3n0 等都是不等式。而-2y-6 、4x+8y=-6z 等都不是不等式。2不等式解的定义：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。例如：不等式 1205x中 x25，26，27，等都是 120 b，那么 a+cb+c，a-c b-c； 如果 a b，那么 a+cb+c，a-c b
10、-c.不等式的基本性 2： 不等式的两边都乘以（或除以）同一个，不等号的方向不变。即：如果 a0，那么 ac bc，a/c b， c 0，那么 acbc，a/c 4、6x-2x-6 、3x-2x+150 都是一元一次不等式。 21而这些方程 5x23x+10、2x+yDAB， ADC ABDBD C问： ADB（）+（）2三角形外角的和。 三角形的外角与和它相邻角有什么关系 ?（ 互补） （1）三角形外角和的定义：与三角形的每个角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角，从 与每个角相等的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和。 （2）三角形外角和定理： 三角形的外角和是 360
11、（三）三角形的三边关系 1三角形三边不等关系定理：三角形的任何两边的和大于第三边。三角形的任何两边的差小于第三边。即三角形第三边的取值围是：| 任何两边的差 | 第三边任何两边的和 以上定理主要用语判断给出一定长度的线段能否构成三角形和求第三边的取值围。 2三角形具有稳定性这就是说三角形的三条边固定， 那么三角形的形状和大小就完全确定了。 三角形的这个性质叫 做三角形的稳定性。四边形就不具有这个性质。（四）多边形的角和与外角和1多边形及其相关概念定义：由 n 条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为n 边形，又称多边形。一个 n边形有 n个角，有 2n 个外角。如果多边形的 各边
12、都相等，各角也都相等 ，则称为正多边形， 如正三角形、正四边形（正方形） 、 正五边形等等。对角线：连结多边形 不相邻的两个顶点 的线段 叫做多边形的对角线。从 n 边形的 一个顶点 引对角线，可以引 （n-3） 条，这 （n-3） 条对角线把 n 边形分成 （n-2 ）个三 角形。从 n边形的所有顶点引对角线的总条数为： n（n 3） 条。22多边形的角和公式n 边形的角和 （n-2） 1803多边形的外角和。（1）多边形的外角和定义：从与每个角相邻的两个外角中分别 取一个相加 ，得到的和称为 多边形 的外角和 。（2）多边形的外角和定理：多边形的外角和等于 360。 多边形的外角和与多边形
13、的边数无关。（五）用正多边形拼地板1用相同的正多边形拼地板：能拼成既 不留空隙 ，又不重叠 的平面图形的 关键是围绕一点 拼在一 起的几个多边形的 角相加恰好等于 360。在正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形中能够拼出完整地面是 这就是说，当 （360 （n2）180 ） 为正整数时即n-2 为正整数时，用这样的正 n 边形就可以铺满地面。设正多边形的个数为 n，每个角为 ， 则要铺满地面，它们满足下列关系： n=3602用多种正多边形拼地板铺垫满地面的标志：满足围绕一点的这几个正多边形的一个角的和等于360设正多边形甲的个数为 n，每个角为 ，正多边形乙的个数为 m，每个角为 ，
14、则它们满足下列关系： n+m=360第十章 轴对称、平移与旋转一、轴对称：1. 轴对称图形：如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分能 ， 那么这个图形就是 ，这条直线就是它的 。2. 两个图形成轴对称：如果一个图形沿一条直线折叠后，它能与另一个图形 那么这两个图形成 ，这条直线就是它们的 ， 折叠时重合的对应点就是3. 轴对称的性质：轴对称 （成轴对称的两个 ） 图形的对应线段，对应角4. 垂直平分线的定义：5. 对称轴的画法：先连结一对 点，再作所连线段的6. 对称点的画法：过已知点作对称轴的 并二、平移 图形的平移：一个图形沿着一定的方向平行移动一定的距离，这样的图形运动称 为 ，它是
15、由移动的 和 所决定。平移的特征：经过平移后的图形与原图形对应线段 （ 或在同一直线上 ） 且 ， 对应角 , 图形的 与 都没有发生变化，即平移前后的两个图形 连结每对对应点所得的线段 （ 或在同一直线上 ） 且。三、旋转图形的旋转：把一个图形绕一个 沿某个 旋转一定 的变换， 叫做 ，这个定点叫做 。图形的旋转由 、 和 所决定。 注意：旋转 在旋转过程中保持不动 旋转 分为 时针 和 时针。 旋转 一般小于 360。 旋转的特征：图形中每一点都绕着 旋转了 的角度，对应点到旋 转中心的 相等，对应线段 ，对应角 ，图形的 和 都没有发生变化，也就是旋转前后的两个图形 。旋转对称图形：若一
16、个图形绕一定点旋转一定角度 （ 不超过 180） 后，能与 重合，这种图形就叫 。四、中心对称 中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转 后，如果能够与 重合， 那么这个图形叫做 图形，这个点就是它的 。成中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转 后，如果它能够与 重合 那么就说这两个图形关于这个点成 ，这个点叫做 。 这两个图形中的对应点叫做关于中心的 。中心对称的性质：关于中心对称的图形，对应点所连线段都经过 ， 而且被对称中心 。（ 中心对称是旋转对称的特殊情况 ） 。 中心对称点的作法连结 和 ，并延长一倍。 对称中心的求法方法：连结一对对应点，再求其 ； 方法：连结两对对应点，找他们的 。五、图形的全等1. 全等图形定义：能够完全 的两个图形叫做全等图形。2. 图形变换与全等：一个图形经翻折、平移、旋转变换所得到的新图形与 全等；全等的两个图形经过上述变换后一定能够 。3. 全等多边形：有关概念：对应顶点、对应边、对应角等。性质：全等多边形的 、 相等； 判定： 、 分别对应相等的两个多边形全等。4. 全等三角形：性质：全等三角形的 、 相等；判定： 、 分别对应相等的两个三角形全等。