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1、包头师范学院本科生毕业论文（设计）专用纸实数集完备性的几个等价定理及其证明宋莉（包头师范学院数学系）中文摘要：实数集是一个“优美”的数集，其中之一在于它关于极限运算是完备的.而极限理论是展开微积分的基础，从而微积分建立在严密的基础之上.反映实数集完备性的几个基本定理是实数理论的重要组成部分也是数学分析中的一个难点，本人再次将实数完备性认真的学习了一遍，并查找资料，对其相关的命题、定理加以整理，找出几种七个基本定理的等价性证明.关键词：实数集完备性基本定理的等价性证明1引言每个人从小都要学数数，从1、2、3开始学习自然数.两个自然数相加，相乘仍 然是自然数.此时可称自然数对加法和乘法两种运算完备
2、；学到减法，当遇到“小 大”或除法时，已不是自然数于是数系先扩充到整数集，再扩充到有理数集，在有 理数集内“ +”、“- ”、“、“*四则运算封闭.现代人对数的认识和学习是符合数集 形成和扩充的历史过程的，有理数集是一个比较完美的数集它具有以下性质：1）稠密性；2 ）对四则运算的封闭性；3 ）元素的有序性；任意两数均可比较大小.这些性质使古希腊人认为有理数集就是所有数的全体，而且设想把它们由小到 大，连续无空隙地排列在一条直线上，即把有理数与数轴上的点之间建立一一对应关 系.这种设想使古希腊学者毕达哥拉斯喊出他的哲理名言“万物皆有数”（有理数）但是事实并非如此.毕氏学派一学徒希帕索斯发现了正方
3、形的边长与对角线不可公 度，即2不是数（有理数），这就引发了数学史上的第一次数学危机，它动摇了古希 腊几何理论的基础，也第一次向人们揭示了有理数的缺陷.它表明，虽然有理数密密麻麻地排在数轴上，但并没有铺满整条数轴，数轴上还有许许多多不能用有理数填补 的“空隙”.这个问题直到牛顿、莱布尼茨建立微积分时仍未得到解决 .一段时间后, 关于实数连续性的公理才分别从不同的角度建立起来极限理论是微积分学的基础，而极限的理论问题首先是讨论存在性 .一个数列是 否有极限，不仅与该数列本身的结构有关，而且与该数列所在的数集有关 例如在有 理数集讨论极限，则单调有界数列可能没有极限.例如：单调有界的有理数列（1屮
4、a n= 1+- I 在单调有理数集上就没有极限这表明有理数集关于极限运算不封 n丿闭.有理数集的这一不完备性（或称不连续性）给极限理论的研究带来很多不便之处. 然而，实数集关于极限的运算是封闭的，即具有完备性（或连续性） 因此，将极限 理论建立在实数集上，使微积分学建立在严密的基础之上 描述实数集的完备性有多种不同的方法本文将介绍实数系完备性的七个等价定 理，从确界原理出发，证明与其等价的六个关于实数集完备性定理2实数完备性的几个基本定理2.1确界原理：设S为非空集合，若S有上界，则S必有上确界；若S有下界， 则S必有下确界.2.2单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限注：确界定理
5、和单调有界定理在有理数集上不一定成立.例如：从中学数学出发，将无理数理解为不循环十进无尽小数.取2的有效不a. : a =1，a2=1.4，a3 =1.41，,，得到严格增加的有理数数列 an，它有上界.2且收敛于2，这表明单调递增数列an在有理数集中没有极限若记 A=a n n e N ，贝U 1 0,按上确界的定义，存在数列an中的某一项aN ,使a- Ya”. 又由 an的递增性a，知当nN时，有a- ；aNan ；另一方面，由于a是 an的一个上界，故对一切an，都有an_aN时，有 a- ； an a+ ；.即 lim an =a.nnC n同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限
6、等于它的下确界.3.2 B 二 C证明：设an , bn为一闭区间套，则它满足：（1） an , bn - an 1, bn 1,n = 1,2,3 ,；（2）计 一 （th - an） =0 ；于是有 a a2 乞, an , bn ,乞 b2 b|.an为递增有界数列根，bn 为递减有界数列.根据单调有界定理，an有极限，且有an,n=1,2,3，,.同理，0也有极限，且由（2），有lim bn = lim bn - an an = lim bn -an + lim an =0+ =.n ,n ,n .n -_：；且 bn , n=1,2,3 ，,.综上，知 an, b.最后证明满足 an
7、 , bn 中的是唯一的.假设 1 R,使 ： a,bn 1,n=1,2,3 ，,.于是-厂兰a*.根据保号性，有lim |二-二 | 兰 lim（ bn -an）=0，n1 n7故有=.是唯一的.3.3 C = D证明：（用反证法）假设定理的结论不成立，即H中任意有限个开区间都不能覆盖a,b.将a,b等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能被H中有限个1开区间覆盖.记这个子区间为印，bj，则印，bj a,b，且d-耳=一 （ba）.再将2Q，b1等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能被H中有限个开区间1覆盖.记这个子区间为a2, b2，则a2, b2 d, bj，且b2- a?
8、 = （b-a）.重复上 第5页包头师范学院本科生毕业论文（设计）专用纸述步骤，得到一个闭区间列bn，bn.它满足： hm,bn J bn,b a,bI，n=1,2,3,；1(2)nmbn-an=nmn b-a=0,即an,bn是一闭区间套;(3)每一个闭区间兔，Q 都不能被H中有限个开区间覆盖；而根据区间套定理，存在唯一的一点：= an , 0 ， n=1,2,3 ，,.使lim an =lim bn =.由于H是a.b的一个开覆盖，故存在开区间(：，一：厂H,使；二. n ,n_(a, 0).于是，由区间套定理可推出：当n充分大时有an,bnu(G,P),这表明开区间an , bn 只须用
9、H中的一个开区间(，一：)就能覆盖，与an, bn构成 时的假设“不能用H中有限个开区间覆盖”相矛盾 ，假设不成立，即必存在属于 H 的有限个开区间也能覆盖a,b.3.4 D = E证明：设E为R中一个有界无穷点集，a与b分别为E的下界与上界，于是有E a,b.(用反证法)假如E中无聚点，贝U -x a,b，x都不是E的聚点，于是存在 包含x的开区间lx，使得lx中仅有E中的有限多个点.显然，开区间集 H=Ix |x - a,b是a,b的一个开覆盖.根据有限覆盖定理，从 H中存在有限个区 间冈，1X2 ,1X3，,，IXn 也覆盖a,b，由于E=(IX!E)(1X2E),( IxnE).又由已
10、知E为无限集，显然等式右边为有限集，与已知E为无限集矛盾.这表明假设 E无聚点不成立.-E中至少有一个聚点.3.5 E = F证明：若数列有无限多项相等，设a.二a.?二，=ank =,显然，常数数列是收敛的子数列.若数列a 没有无限多项相等，则有有界无限点集E=和 N 1根据聚点定理，E至少有一个聚点.下面证明：存在子数列：n收敛于.根据聚点 定义，取；=1,anU,1.一f八取呂=-an u低一,要求n 门2 22i2丿1 _ .取名=，3 ank wu , |，要求 n knkkk 4 ank0 所以lim ank =匕,即子数列 伉 收敛3.6 F = G证明：必要性 u ）若数列 /
11、 收敛，设lim an二a 根据数列极限定义，即-；0, nJpCmN N +，Pk N,有 ak -a N1,有 an am N1，有an _an _am *amo 兰 an_amo *amamo 取 M=max G , a?,，a”，1+|am于是，-n N 有an 0, BN e N+yn,m N,有 an am| c 名.又已知lim an= a，即k对上述同样e 0,三k乏N十Nnk k,有ank a .取 L=maXN, k 从而，-n L, nk L ,同时有an ank V总与_ a 名于是， _a 兰|* _ank|+|ank _a 老2， 即 lim an 二 a .n3.
12、7 G 二A证明：设S为非空有上界数集，有实数的阿基米德性，对任意正数 ，存在整数 K：，使得l.= K：.：-为S的上界，而: =（ K：.-1）?不是S的上界，即存在- S, 使得厂 （K-.-1）:-.1分别取=-,n=1,2,3,则对每一个正整数 n,存在相应的n，使得n为Sn11的上界，而n-1不是S的上界，故存在厂S,使得厂 n-丄.nn1又对正整数 m, m是S的上界。故有 缶-厂.结合上式得-冷 ，同理有n111m-，n 丄，从而得| ,- -n| max （丄，）,于是对任给；0,存在正整数N,使得当 mm nm,nN时，有I，m- n | ； 由柯西收敛准则，数列 n 收敛
13、设n下面证明就是S的上确界首先，对任意.S和正整数n有:- .n，由1lim，n =得二:即是S的一个上界；其次，对任何；0,由 0 （n：）及 n n1 总总1lim r则对充分大的n,同时有丄v ,鼻，、，又因为n-不是S的一个上界，n-“n 22n故存在厂：=S，使得: n- 1 结合上式得，-=，-、：.这说明为S的上确n22界同理可证：若S为非空有下界数集，则必存在下确界。在这里，完成了七个基本定理的一种顺序的循环证明在实数系中，这几个命题是 相互等价的，即从其中任何一个命题出发都可以推出其余的六个定理主要参考文献:1数学分析上册高等教育出版社2数学分析附录u实数理论上册华东师范大学3数学分析上册复旦大学4数学分析中的方法和若干冋题上册湖南科技出版社数学分析习题课讲义上册高等教育出版社6集合论与现代数学基础导引上册谢林等主编致谢本论文得以完成，首先感谢我的指导老师汪凤贞老师 在写这篇论文的过程中， 汪老师认真负责，并抽出大量时间进行辅导我想这不仅是写论文，自己也深受汪老 师刻苦钻研的精神所感染，我会把这种精神发扬到以后的学习工作中去同时也感谢所有帮助过我的老师和同学.第11页